旋转图形所行路程.docx
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旋转图形所行路程
.
旋转图形所行路程问题
1．如图，正△ABC的中心为O，半径为R将其直线L向右滚动，当正三角形翻滚一周
时，其中心O经过的路径是多少？
答案：
2R
A
BCL
2．如图，将半径为R的正方形沿其直线L向右滚动，当正方形翻滚一周时，其中心O经
过的路径是多少？
答案：
2R
AD
BCL
3．如图，将任意多边形沿其直线L向右滚动，当这个多边形翻滚一周时，其中心O经过的
路径是多少？
答案：
2R
O
......
L
4．如图，正△ABC的边长为2，将其沿直线L向右滚动，当正三角形翻滚一周时，其
点B所行路径是多少？
.
解：
〔1〕当正三角形ABC向右翻滚一周时，其中心O经过的路线是三条等弧，
120R
所以其中心O经过的路程为：
3=2πR．
180
5．如图，正方形ABCD的边长为2，将其沿直线L向右滚动，当正方形翻滚一周时，
其点B所行路径是多少？
AD
BCL
解：
根据勾股定理，得
AC=2
2
．
那么当正方形滚动一周时，正方形的顶点
A所经过的路线的长是：
90
2
2
90
2
2
〔cm〕．
2
2
180180
6．正△ABC的边长为3cm，边长为1cm的正△RPQ的顶点R与点A重合，点P，Q分别
在AC，AB上，将△APQ沿着边AB，BC，CA顺时针连续翻滚〔如下图〕，直至点P第
一次回到原来的位置，那么点P运动路径的长为多少？
1201
解：
从图中可以看出翻转的第一次是一个120度的圆心角，半径是1，所以弧长=，
180
.
第二次是以点P为圆心，所以没有路程，在BC边上，
120
1
AC边上也是如此，
第一次
第二次同样没有路程，
180
120
1
点P运动路径的长为
×3=2π．
180
故答案为：
2π．
7．矩形ABCD的边AB=8，AD=6地翻滚，当它翻滚至类似开始的位置
，现将矩形ABCD放在直线l上且沿着l向右作无滑动AlBlClDl时〔如下图〕，那么顶点A所经过的路线长是
_________．
90
8
90
10
90
6
解：
=12
180180180
8．如图，水平地面上有一面积为
30cm2的扇形
AOB，半径
OA=6cm
，且
OA
与地面垂
直.在没有滑动的情况下，将扇形向右滚动至
OB
与地面垂直为止，那么
O点移动的距离为
〔〕A、20
cm
B、24
cm
C、10
cm
D、30
cm
.
解：
根据扇形面公式，得
1
1
S=
lR=×6×10π=30π〔cm2〕．
2
2
9．〔2021?
泰安〕如，将
1的正三角形
OAP沿x正方向翻
2021次，点
P依次落在点P
，P，P
⋯P
的位置，点P
2021
的横坐
。
1
2
3
2021
y
P
LL
AO
P1
x
〔第19〕
解：
察形合翻的方法可以得出
P1、P2的横坐是
1，P3的横坐是
2.5，P4、P5
的横坐是
4，P
6
的横坐是5.5⋯依次推下去，P
、P
2006
的横坐是
2005，P
2007
2005
的横坐是
，P2021、P2021的横坐就是2021．
故答案2021
10．如，在直角坐系中，点A〔-3，0〕，B〔0，4〕，△OAB作旋，
依次得到三角形①，②，③，④⋯，三角形⑩的直角点的坐。
．
.
解：
由原图到图③，相当于向右平移了12个单位长度，象这样平移三次直角顶点是〔36，
0〕，再旋转一次到三角形⑩，直角顶点仍然是〔36，0〕，那么三角形⑩的直角顶点的坐标为
（36，0〕．
11．〔2006?
锦州〕如图，将边长为a的正方形ABCD沿直线l按顺时针方向翻滚，当正方
形翻滚一周时，正方形的中心O所经过的路径长为。
．解：
∵边长为a的正方形ABCD，其对角线的一半即OC=a，
∴第一次旋转的弧长=，
而经过这样的四次旋转后就翻滚了一周，
∴当正方形翻滚一周时，正方形的中心O所经过的路径长为×4=πa．
故填空答案：
πa
12．如图，小明为节省搬运力气，把一个边长为1m的正方体木箱在地面上由起始位置沿
直线l不滑行地翻滚，翻滚一周后，原来与地面接触的面ABCD又落回到地面，那么点A1所
走路径的长度为。
.
解：
第一次是以
B为旋转中心，
BA1长
m为半径旋转90°，
此次点A走过的路径是
?
=
πm．
第二次是以B1为旋转中心，
B1A1长1m
为半径旋转90°，
此次走过的路径是
π=
πm．
第三次是以A为旋转中心，
AA1
长1m
为半径旋转90°，
此次走过的路径是
π=
πm．
∴点A1从起始位置翻滚一周后所经过的长度
=π+π+π=〔
+1〕πm．
13．如图1，是用边长为2cm的正方形和边长为2cm正三角形硬纸片拼成的五边形
ABCDE．在桌面上由图1起始位置将图片沿直线l不滑行地翻滚，翻滚一周后到图2的位
置．那么由点A到点A4所走路径的长度为。
解：
第一次旋转是以点C为圆心，AC为半径，旋转角度是
90度，所以弧长是
cm
第二次旋转是以点
D1，为圆心，A1D1为半径，角度是60
度所以弧长=
cm
第三次是以E为圆心，EA
1
为半径，角度是120度，所以
cm
1
1
第四次是以点A1
为圆心所以
A没有路程
.
第五次是以点B为圆心，AB为半径，角度是90度所以弧长是cm
四段弧长的和就是由点A到点A4所走路径的长度=cm．
14．〔2006?
厦门〕如图为某物体的三视图，友情提醒：
在三视图中，
AB=BC=CD=DA=EI=IG=NZ=MZ=KY=YL，θ=60°，FE=GH=KN=LM=YZ．现搬运工
人小明要搬运此物块边长为acm物块ABCD在地面上由起始位置沿直线l不滑行地翻滚，
翻滚一周后，原来与地面接触的面ABCD又落回到地面，那么此时点B起始位置翻滚一周后
所经过的长度是。
解：
此题实际求的是两段弧长，第一段，以C为圆心，BC为半径，转动了60°角，因此这
段弧长为60×a×π÷180=，第二段弧长是，以D为圆心，BD长为半径，转动了120°
角，因此这段弧长的距离应该是120×a×π÷180=，因此B点经过的距离应该
是aπ．
15．如图，边长为的正△ABC，点A与原点O重合，假设将该正三角形沿数轴正方向翻滚
一周，点A恰好与数轴上的点A′重合，那么点A′对应的实数是。
.
解：
×3=．
16．如图，把一长方形在直线m上翻滚，请在图中作出A点所经过的路径．
解：
如下图．
17．如图，王虎使一长为4cm，宽为3cm的长方形木板，在桌面上做无滑动的翻滚〔顺时
针方向〕木板上点A位置变化为A→A1→A2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使
木板与桌面成30°角，那么点A翻滚到A2位置时共走过的路径长为多少？
解：
第一次是以B为旋转中心，
BA长5cm
为半径旋转90
°〔，2分〕
此次点A走过的路径是
．〔4分〕
第二次是以C为旋转中心，3cm
为半径旋转
60°，〔2分〕
.
此次走过的路径是
，〔2分〕
∴点A两次共走过的路径是
．〔2分〕
18．如图，张三同学把一个直角边长分别为3cm，4cm的直角三角形硬纸板，在桌面上翻滚〔顺时针方向〕，顶点A的位置变化为A1?
A2?
A3，其中第二次翻滚时被桌面上一小木块挡住，使纸板一边A2C1与桌面所成的角恰好等于∠BAC，那么A翻滚到A2位置时共走过的
路程为〔
〕
解：
根据题意得：
=4πcm，
19．将正方体骰子放置于水平桌面上，如图〔1〕．在图〔2〕中，将骰子向右翻滚
90°，
然后在桌面上按逆时针方向旋转
90°．那么骰子中各相对面上的点数分别为1对6，2
对5，
3对4．
．
解：
观察图形可知与
1相邻的面是
2、3、4、5，那么与
1相对的面是
6；
那么与3相邻的面是
1、2、5、6
，那么与3相对的面是
4；那么与2相对的面是5．
故骰子中各相对面上的点数分别为：
1对6，2对5，3
对4．
故答案为：
1对6，2
对5，3对4．
.
20．〔2021?
无锡〕如图，等腰梯形MNPQ的上底长为2，腰长为3，一个底角为60°．正
方形ABCD的边长为1，它的一边AD在MN上，且顶点A与M重合．现将正方形ABCD
在梯形的外面沿边MN、NP、PQ进行翻滚，翻滚到有一个顶点与Q重合即停止滚动．
〔1〕请在所给的图中，用尺规画出点A在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图；
〔2〕求正方形在整个翻滚过程中点A所经过的路线与梯形MNPQ的三边MN、NP、PQ
所围成图形的面积S．
解：
〔1〕作图如图；
〔2〕∵点A绕点D翻滚，然后绕点C翻滚，然后
绕点B翻滚，半径分别为1、、1，翻转角分
别为90°、90°、150°，
∴S=
+2×
+2×
+4××12
=+π+π+2
=π+2．
21．△ABC中，∠ACB=90°，AB=2，CB=1，将△ABC沿水平线〔AB所在的直线〕作
翻转运动．以下图是△ABC二次翻转形成的图形．
.
（1〕第一次翻后的形△BC′A′是由△ABC按方向旋所得的，那么哪一点是旋中心？
旋了多少度？
〔2〕在下中，画出△ABC第三次翻后的形，你仔察中的△ABC与由它第三次翻后的形，想一想他之可以是怎的，将它完整地表达出来．
解：
〔1〕旋中心是点B，旋了120°；
〔2〕形
AC=
．
∴BB″=1++2=3+
．
∴△A″B″C″是由△ABC
沿着
AB
所指的方向〔即沿着水平〕向右平移了〔
3+
〕得到．
22．如，将1的等三角形△ABC放在水平直
l上向右翻
n次，第一次以
点C旋中心，第二次以点
A旋中心，第三次以点
B旋中心，⋯，到第2021
次后停止翻，在中出“第②次〞三角形点坐
A〔2，0〕、B〔3，0〕、
C〔2.5，
〕与“第2021
次〞三角形点坐
A〔2021.5，
〕、B〔2021，
0〕、C〔2021
，0〕的位置．
.
解：
如图：
以原始状态时点B为坐标原点，水平直线l为x轴，过B点垂直于l的直线为y
轴建立平面直角坐标系．
根据等边三角形和旋转的性质可知“第②次〞时三角形顶点坐标为A〔2，0〕、B〔3，0〕、
C点横坐标为〔2+3〕
÷2=2.5，纵坐标为1×
，即C
〔2.5，〕．
∵每连续翻滚三次是一个循环，2021÷3=670．故图形的三角形顶点与原始状态时相同，“第
2021次〞时三角形顶点坐标为A〔2021.5，〕、B〔2021，0〕、C〔2021，0〕．
23．如图，将半径为1、圆心角为60°的扇形纸片AOB，在直线l上向右作无滑动的滚动至
扇形A'O'B'处，那么顶点O经过的路线总长为
．
解：
顶点O经过的路线可以分为三段，当弧AB切直线l于点B时，有OB⊥直线l，此时
O点绕不动点B转过了90°；
.
第二段：
OB⊥直线l到OA⊥直线l，O点绕动点转动，而这一过程中弧AB始终是切于直
线l的，所以O与转动点P的连线始终⊥直线l，所以O点在水平运动，此时O点经过的
路线长=BA’=AB的弧长
第三段：
OA⊥直线l到O点落在直线l上，O点绕不动点A转过了90°
所以，O点经过的路线总长S=π+π+π=π．
故答案为π．
24．〔2006?
黄冈〕将边长为8cm的正方形ABCD的四边沿直线l向右滚动〔不滑动〕，
当正方形滚动两周时，正方形的顶点A所经过的路线的长是cm．
解：
第一次旋转是以点
C为圆心，AC为半径，旋转角度是
90度，
所以弧长=
=4π；
第二次旋转是以点
D为圆心，AD为半径，角度是
90度，
所以弧长=
；
第三次旋转是以点A为圆心，所以没有路程；
第四次是以点B为圆心，AB为半径，角度是90度，
所以弧长=
；
所以旋转一周的弧长共=4
+8π．
所以正方形滚动两周正方形的顶点
A所经过的路线的长是8
+16π．
25．如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上一点由原点到达点
.
A，以下说法正确的选项是〔〕
A、点A所表示的是π
B、数轴上只有一个无理数π
C、数轴上只有无理数没有有理数
D、数轴上的有理数比无理数要多一些
解：
A、∵圆的周长为π，∴滚动一圈的路程即π，∴点A所表示的是π，应选项正确；
B、数轴上不止有一个无理数π，应选项错误；
C、数轴上既有无理数，也有有理数，应选项错误；
D、数轴上的有理数与无理数多少无法比拟，应选项错误；应选A．
26．〔2021?
桂林〕如图，将边长为a的正六边形A1A2A3A4A5A6在直线l上由图1的位置
按顺时针方向向右作无滑动滚动，当A1第一次滚动到图2位置时，顶点A1所经过的路径
的长为〔〕
A、B、C、D、
解：
连A1A5，A1A4，A1A3，作A6C⊥A1A5，如
.
图，
∵六边形
A1A2A3A4A5A6为正六边形，
∴A1A4=2a
，∠A1A6A5=120
°，
∴∠CA1A6=30
°，
∴A6C=
a，A1C=
a，
∴A1A5=A
1A3=
a，
当A1第一次滚动到图
2位置时，顶点
A1所经过的路径分别是以
A6，A5，A4，A3，A2
为圆
心，以
a，
a，2a，
a，a为半径，圆心角都为
60°的五条弧，
∴顶点A1所经过的路径的长
=
+
+
+
+
=
πa．
应选
A．
27．如图，扇形OAB的圆心角为30°，半径为1，将它沿箭头方向无滑动滚动到O′A′B′的
位置时，那么点O到点O′所经过的路径长为
．解：
∵扇形OAB的圆心角为30°，半径为1，
∴AB弧长==，
∴点O到点O′所经过的路径长=×2+=π．
故答案为
28．一个半圆形工件，未搬动前如下图，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆
弧局部不受损伤，先将半圆作如下图的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面
.
平移50米，半圆的直径为4米，那么圆心O所经过的路线长是____．
O
O
l
OO
解：
由图形可知，圆心先向前走O1O2的长度即
1
O2O3旋转
1
圆的周长，然后沿着弧
圆
4
4
的周长，
最后向右平移50
米，
所以圆心总共走过的路程为圆周长的一半即半圆的弧长加上
50，
由得圆的半径为2，
设半圆形的弧长为
L，
那么半圆形的弧长
90
90
2
L=
180
2，
∴圆心O所经过的路线长=〔2π+50
〕米．
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