《定量分析方法》模拟试题.docx
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《定量分析方法》模拟试题
《定量分析方法》模拟试题
一、单项选择题（每小题4分，共20分）
1.若某物资的总供应量小于总需求量，则可增设一个（），其供应量取总需求量与总供应量的差额，并取该产地到各销地的单位运价为0，可将供不应求运输问题化为供求平衡运输问题。
（A）虚产地
（B）虚销地
（C）需求量
（D）供应量
2．某物流企业计划生产A，B两种产品，已知生产A产品1公斤需要劳动力7工时，原料甲3公斤，电力2度；生产B产品1公斤需要劳动力10工时，原料甲2公斤，电力5度。
在一个生产周期内，企业能够使用的劳动力最多6300工时，原料甲2124公斤，电力2700度。
又已知生产1公斤A，B产品的利润分别为10元和9元。
为建立能获得最大利润的线性规划模型，设生产A产品
公斤，生产B产品
公斤，则对于原料甲，有如下约束条件（）。
（A）3
＋2
＝2124
（B）3
＋2
≤2124
（C）3
＋2
≥2124
（D）3
＋2
≤6300
3．设
，则
＝（）。
（A）
（B）
（C）
（D）
4.设某公司运输某物品的总成本（单位：
百元）函数为C（q）＝500＋2q＋
，则运输量为100单位时的边际成本为（）百元/单位。
（A）202
（B）107
（C）10700
（D）702
5.已知运输某物品q吨的边际收入函数（单位：
元/吨）为MR（q）＝100－2q，则运输该物品从100吨到200吨时收入的增加量为（）。
（A）
（B）
（C）
（D）
二、计算题（每小题7分，共21分）
1．已知矩阵
，求：
AB＋C。
2．设
，求
。
3.计算定积分：
。
四、应用题（第1题、第2题各14分，第3题19分，共47分）
1.某物流公司生产某种商品，其年销售量为4000000件，每批生产需准备费1000元，而每件商品每年库存费为0.05元，如果该商品年销售率是均匀的，试求经济批量。
2.某物流公司下属企业欲制定生产A和B两种产品的生产计划。
已知生产一件A产品需要原材料1吨，动力1单位，生产设备3工时；生产一件B产品需要原材料2吨，动力1单位，生产设备1工时。
在一个生产周期内，可用原材料16吨，动力10单位，生产设备24工时。
每件A产品利润3千元，每件B产品利润4千元。
试建立能获得最大利润的线性规划模型，并写出用MATLAB软件计算该线性规划问题的命令语句。
3．某物流公司下属化肥公司下设A1，A2和A3三个供应站，定点向B1，B2，B3和B4四个城镇供应同一品种的化肥。
已知各供应站每月能供应的化肥量及四城镇每月的需求量、单位运价分别如下表所示：
化肥供需表单位：
百吨/月
供应站
供应量
城镇
需求量
A1
A2
A3
700
200
100
B1
B2
B3
B4
500
250
100
150
单位运价表单位：
千元/百吨
城镇
供应站
B1
B2
B3
B4
A1
A2
A3
10
4
5
5
3
6
2
1
3
3
2
4
问如何制定运输计划，使每月总运输费用最小？
参考答案
一、单项选择题
1.因为总供应量小于总需求量，即供不应求，应增设一个虚产地，该虚产地的供应量取总需求量与总供应量的差额，该虚产地到各销地的单位运价为0，便可将该不平衡运输问题化为平衡运输问题，故应选A。
2.生产A产品x1公斤，需要原料甲3x1公斤；同时，生产B产品x2公斤，需要原料甲2x2公斤；一个周期内，原料甲能够使用的数量最多为2124公斤。
因此，原料甲应满足：
3x1＋2x2≤2124，故B正确。
3.
，故选择C。
4.边际成本函数为MC（q）＝2＋2q，运输量为100单位时的边际成本为MC（100）＝202，A正确。
5.由定积分的定义，A正确。
二、计算题
1．
2．
3.
四、应用题
1.库存总成本函数为：
令
，得经济批量：
q＝400000（件）
2.设生产A，B两种产品分别为x1件和x2件，则线性规划模型为：
用MATLAB软件计算该线性规划问题的命令语句为：
>>clear;
>>C=-[34];
>>A=[12;11;31];
>>B=[161024];
>>LB=[00];
>>[X,fval]=linprog（C,A,B,[],[],LB）
3．构造运输平衡表（单位：
百吨）与运价表（单位：
千元/百吨），并编制初始调运方案：
运输平衡表与运价表
城镇
供应站
B1
B2
B3
B4
供应量
B1
B2
B3
B4
A1
400
250
50
700
10
5
2
3
A2
100
100
200
4
3
1
2
A3
100
100
5
6
3
4
销量
500
250
100
150
1000
对初始调运方案中空格（按行、列顺序）找闭回路，计算检验数，直到出现负检验数：
13＝0，21＝－5。
已出现负检验数，方案需要调整，调整量为：
＝100（百吨）。
调整后的第二个调运方案为：
运输平衡表与运价表
城镇
供应站
B1
B2
B3
B4
供应量
B1
B2
B3
B4
A1
300
250
150
700
10
5
2
3
A2
100
100
200
4
3
1
2
A3
100
100
5
6
3
4
销量
500
250
100
150
1000
对第二个调运方案中空格计算检验数，直到出现负检验数：
13＝－5。
已出现负检验数，方案需要调整，调整量为：
＝100（百吨）。
调整后的第三个调运方案为：
运输平衡表与运价表
城镇
供应站
B1
B2
B3
B4
供应量
B1
B2
B3
B4
A1
200
250
100
150
700
10
5
2
3
A2
200
200
4
3
1
2
A3
100
100
5
6
3
4
销量
500
250
100
150
1000
对第三个调运方案中空格计算检验数：
22＝4，23＝5，24＝5，32＝6，33＝6，34＝6。
所有检验数非负，故第三个调运方案最优，最低运输总费用为：
S＝200×10＋250×5＋100×2＋150×3＋200×4＋100×5
＝5200（千元）
案例一：
XYZ汽车厂在计划期内生产三种型号的汽车：
小轿车，吉普车和卡车。
生产这三种汽车，每一辆可获得利润分别为6000元/辆，5000元/辆，9600元/辆。
汽车厂内三个主要车间的生产能力是有限的。
铸工车间、冲压车间和装配车间的生产能力，即可供利用的总工时分别不能超过45000，24000和28000工时。
每种汽车在三个车间内的加工工时是不同的，工时消耗定额列于下表。
试列出其线性规划模型。
产品品种
小轿车
吉普车
卡车
总工时
产量
x1
x2
x3
铸工车间
42
15
30
45000
冲压车间
30
24
6
24000
装配车间
28
21
14
28000
单位利润（元/辆）
6000
5000
9600
解：
设小轿车、吉普车和卡车的产量分别为x1、x2、x3，则可写出线性规划模型
Max（Z）=6000x1+5000x2+9600x3
s.t. 42x1+15x2+30x3≤45000
30x1+24x2+6x3≤24000
28x1+21x2+14x3≤28000
x1,x2,x3≥0
案例二：
某计算机厂生产两种型号A型和B型计算机，其利润分别为600元/台和400元/台。
据了解，计划期内可动用的原材料和工时是有限的，原材料只有100单位，工时只有120单位。
“单位产品的原材料和工时消耗定额”列于下表。
试分别用几何求解法和单纯形法求解最优解（生产计划指标）。
解法二（单纯形法）：
设x1，x2分别表示A型和B型计算机的计划产量，则本问题的线性规划模型可表示为：
Max（Z）= 6x1+4x2
s.t. 2x1+3x2≤100
（1）
4x1+2x2≤120
（2）
x1,x2≥0 （3）
第一步，将不等式化为等式，即有
Max（Z）=6x1+4x2…………………… （4）
2x1+3x2＋x3＝100 ………………… （5）
4x1+2x2+x4＝120 ……………………（6）
x1,x2,x3,x4≥0 ……………………（7）
第二步，列出单纯形法表，即
I
1
Cj
6
4
0
0
θ
2
Cb
基变量
B
x1
x2
x3
x4
3
0
x3
100
2
3
1
0
4
0
x4
120
4
2
0
1
5
Zj
0
0
0
0
6
Cj-Zj
6
4
0
0
第三步，利用单纯形法表进行计算，即
（1）寻找换入基变量
首先用Max（Cj-Zj）找到可用于换入基变量所在的列，在用该列对应的系数计算出相应的θi＝Bi/xj，再用Minθi找到可用于换入基变量所在的行。
Minθi=Min{50,30}=30
I
1
Cj
6
4
0
0
θ
2
Cb
基变量
B
x1
x2
x3
x4
3
0
x3
100
2
3
1
0
100/2=50
4
0
x4
120
4
2
0
1
120/4=30
5
Zj
0
0
0
0
6
Cj-Zj
6
4
0
0
Max（Cj-Zj）=Max{6,4,0,0}=6
（2）变换基变量，即将基变量中x4的换成x1，进行计算。
第四行除以4；第四行乘以-6加到第六行；第四行乘以-2加到第三行；
根据Zj＝Cj-（Cj-Zj），求得第五行。
I
1
Cj
6
4
0
0
θ
2
Cb
基变量
B
x1
x2
x3
x4
3
0
x3
40
0
2
1
-1/2
4
6
x1
30
1
1/2
0
1/4
5
Zj
?
6-0
4-1
0-0
0-（-3/2）
6
Cj-Zj
0
1
0
-3/2
此时，x1＝30，x2＝0，x3＝40，x4＝0，
Z=6x1+4x2=6×30＋4×0＝180
第五行各个系数项分别用第一行的数减去第六行的数得到。
上表运算成下表：
I
1
Cj
6
4
0
0
θ
2
Cb
基变量
B
x1
x2
x3
x4
3
0
x3
40
0
2
1
-1/2
40/2=20
4
6
x1
30
1
1/2
0
1/4
30/0.5=60
5
Zj
180
6
3
0
3/2）
6
Cj-Zj
0
1
0
-3/2
Max（Cj-Zj）=Max{0,1,0,-3/2}=1,确定第二次变换基变量应为x2所在列；计算此时的θ值。
Minθi=Min{20,60}=20,确定第二次变换基变量应在第三行。
因此，确定第二次换入基变量为x2，换入基变量x2。
I
1
Cj
6
4
0
0
θ
2
Cb
基变量
B
x1
x2
x3
x4
3
4
x2
40
0
2
1
-1/2
40/2=20
4
6
x1
30
1
1/2
0
1/4
30/0.5=60
5
Zj
180
6
3
0
3/2
6
Cj-Zj
0
1
0
-3/2
第三行除以2；第三行乘以-1加到第六行；第三行乘以-1/2加到第四行；此时，x1=20,x2=20,x3=0,x4=0,Z=6×20＋4×20=200
I
1
Cj
6
4
0
0
θ
2
Cb
基变量
B
x1
x2
x3
x4
3
4
x2
20
0
1
1/2
-1/4
4
6
x1
20
1
0
-1/4
1/8
5
Zj
200
6
4
1/2
5/4
6
Cj-Zj
0
0
-1/2
-5/4
观察上表，Max（Cj-Zj）=Max{0,0,-1/2,-5/4}＝0,Cj-Zj的四个系数均不大于零，表明当前表中所列解即为最优解。
因此，最优解为x1=20,x2=20，目标函数最大值为200百元。
例1 设某物资要从产地A1，A2，A3调往销地B1，B2，B3，B4，运输平衡表（单位：
吨）和运价表（单位：
百元/吨）如下表所示：
运输平衡表与运价表
销地
产地
B1
B2
B3
B4
供应量
B1
B2
B3
B4
A1
7
3
11
3
11
A2
4
1
9
2
8
A3
9
7
4
10
5
需求量
3
6
5
6
20
（1）用最小元素法编制的初始调运方案，
（2）检验上述初始调运方案是否最优，若非最优，求最优调运方案，并计算最低运输总费用。
解：
用最小元素法编制的初始调运方案如下表所示：
运输平衡表与运价表
销地
产地
B1
B2
B3
B4
供应量
B1
B2
B3
B4
A1
4
3
7
3
11
3
11
A2
3
1
4
1
9
2
8
A3
6
3
9
7
4
10
5
需求量
3
6
5
6
20
找空格对应的闭回路，计算检验数：
l11＝1，l12＝1，l22＝0，l24＝－2
已出现负检验数，方案需要调整，调整量为q＝1
调整后的第二个调运方案如下表：
运输平衡表与运价表
销地
产地
B1
B2
B3
B4
供应量
B1
B2
B3
B4
A1
5
2
7
3
11
3
11
A2
3
1
4
1
9
2
8
A3
6
3
9
7
4
10
5
需求量
3
6
5
6
20
求第二个调运方案的检验数：
l11＝－1
已出现负检验数，方案需要再调整，调整量为q＝2
调整后的第三个调运方案如下表：
运输平衡表与运价表
销地
产地
B1
B2
B3
B4
供应量
B1
B2
B3
B4
A1
2
5
7
3
11
3
11
A2
1
3
4
1
9
2
8
A3
6
3
9
7
4
10
5
需求量
3
6
5
6
20
求第三个调运方案的检验数：
l12＝2，l14＝1，l22＝2，l23＝1，l31＝9，l33＝12
所有检验数非负，故第三个调运方案最优，最低运输总费用为：
2×3＋5×3＋1×1＋3×8＋6×4＋3×5＝85（百元）
例7 某厂生产某种产品的固定成本为2万元，每多生产1百台产品，总成本增加1万元，销售该产品q百台的收入为R（q）＝4q－0.5q2（万元）。
当产量为多少时，利润最大？
最大利润为多少？
解：
产量为q百台的总成本函数为：
C（q）＝q＋2
利润函数L（q）＝R（q）－C（q）＝－0.5q2＋3q－2
令ML（q）＝－q＋3＝0得唯一驻点q＝3（百台）
故当产量q＝3百台时，利润最大，最大利润为
L（3）＝－0.5×32＋3×3－2＝2.5（万元）
四、应用题：
（第11、12题各14分，第13题19分，共47分）
11．运输某物品q百台的成本函数为C（q）＝4q2＋200（万元），收入函数为R（q）＝100q－q2（万元），问：
运输量为多少时利润最大？
并求最大利润。
13.某公司从三个产地A1，A2，A3运输某物资到三个销地B1，B2，B3，各产地的供应量（单位：
吨）、各销地的需求量（单位：
吨）及各产地到各销地的单位运价（单位：
百元/吨）如下表所示：
运输平衡表与运价表
销地
产地
B1
B2
B3
供应量
B1
B2
B3
A1
60
5
4
1
A2
100
8
9
2
A3
140
4
3
6
需求量
140
110
50
300
（1）在下表中写出用最小元素法编制的初始调运方案：
运输平衡表与运价表
销地
产地
B1
B2
B3
供应量
B1
B2
B3
A1
60
5
4
1
A2
100
8
9
2
A3
140
4
3
6
需求量
140
110
50
300
（2）检验上述初始调运方案是否最优，若非最优，求最优调运方案，并计算最低运输总费用
四、答案
11.利润函数L（q）＝R（q）－C（q）＝100q－5q2－200
6分
令边际利润ML（q）＝100－10q＝0，得惟一驻点q＝10（百台）
11分
故当运输量为10百台时，可获利润最大。
最大利润为L（10）＝300（万元）。
14分
13.用最小元素法编制的初始调运方案如下表所示：
运输平衡表与运价表
销地
产地
B1
B2
B3
供应量
B1
B2
B3
A1
10
50
60
5
4
1
A2
100
100
8
9
2
A3
30
110
140
4
3
6
需求量
140
110
50
300
12分
找空格对应的闭回路，计算检验数，直到出现负检验数：
l12＝0，l22＝2，l23＝－2
14分
已出现负检验数，方案需要调整，调整量为q＝50吨。
17分
调整后的第二个调运方案如下表所示。
运输平衡表与运价表
销地
产地
B1
B2
B3
供应量
B1
B2
B3
A1
60
60
5
4
1
A2
50
50
100
8
9
2
A3
30
110
140
4
3
6
需求量
140
110
50
300
求第二个调运方案的检验数：
l12＝0，l13＝2，l22＝2，l33＝8
所有检验数非负，第二个调运方案最优。
最低运输总费用为
60×5＋50×8＋50×2＋30×4＋110×3＝1250（百元）
19分
3.甲、乙两地分别要运出物资1100吨和2000吨，这批物资分别送到A、B、C、D四个仓库中收存，四个仓库收进的数量分别为100吨、1500吨、400吨和1100吨，仓库和发货点之间的单位运价如下表所示，试用最小元素法确定一个初始调运方案，再调整寻求最优方案，使运输最费用最小。
运价表 单位：
元/吨
收点
发点
A
B
C
D
甲
15
37
30
51
乙
20
7
21
25
解：
最小元素法确定初始调运方案
运输平衡表
收点
发点
A
B
C
D
发货量
A
B
C
D
甲
1100
15
37
30
51
乙
2000
20
7
21
25
收货量
100
1500
400
1100
3100
收点
发点
A
B
C
D
发货量
A
B
C
D
甲
1100
15
30
51
乙
1500
500
20
21
25
收货量
100
400
1100
3100
收点
发点
A
B
C
D
发货量
A
B
C
D
甲
100
1000
30
51
乙
1500
500
21
25
收货量
0
0
400
1100
3100
收点
发点
A
B
C
D
发货量
A
B
C
D
甲
100
1000
51
乙
1500
400
100
100
25
收货量
0
0
0
1000
3100
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