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实验一曲柄滑块机构的运动规律

上海应用技术学院

数学实验报告

题目

曲柄滑块机构的运动规律

姓名：

周玲

院系：

理学院数学与应用数学系

学号：

1112211115

指导老师：

许建强

2015年3月30日

一、实验目的3.

二、实际问题3.

三、数学模型3.

四、数值积分方法2.

五、实验任务4.

任务一一4..

任务二5.

任务三7..

任务四错误！

未定义书签。

实验目的

本实验主要涉及微积分中对函数特性的研究。

通过实验复习函数求导法Taylor公式和其他有关知识。

着重介绍运用建立近视似模型并进行数值计算来研究讨论函数的方法。

1、实际问题

曲柄滑块机构是一种常用的机械结构，它将曲柄的转动转化为滑块在直线上的往复运动，是气压机、冲床、活塞式水泵等机械的主机构。

右图为其示意图。

记曲柄OQ的长为r,连杆QP的长为I,当曲柄绕固定点O以角速度w旋转时，由连杆带动滑块P在水平槽内做往复直线运动。

假设初始时刻曲柄的端点Q位于水平线段OP上,曲柄从初始位置起转动的角度为二,而连杆QP与OP的锐夹角为1（称为摆角）。

在机械设计中要研究滑块的运动规律和摆角的变化规律，确切的说,要研究滑块的位移，速度和加速度关于二的函数关系，摆角［及其角速度和角加速度关于二的函数关系，进而

（1）求出滑块的行程s（即滑块往复运动时左、右极限位置间的距离）；

（2）求出滑块的最大和最小加速度（绝对值）,以了解滑块在水平方向上的作用力；

（3）求出1的最大和最小角加速度（绝对值）,以了解连杆的转动惯量对滑块的影响；

在求解上述问题时，我们假定：

r=100（mm）,l=3r=300（mm）严=240（转/min）

符号说明：

r—曲柄0Q的长；l—连杆PQ的长度；1—摆角（连杆PQ与0P的锐夹角）；角速度；P—滑块；x—滑块的位移；a—滑块的加速度。

三、数学模型

取O点为坐标原点，OP方向为x轴正方向，P在x轴上的坐标为x，那么可用x表示滑块的位移。

利用三角关系，立即得到

（1.1）

x=rcos".l2-r2sin2二

由于--t，故有

dx_dx

dtdt

（1.2）

于是滑块的速度

进而，可以得到滑块的加速度为

同样，基于关系式

我们有摆角的表达式

式（1.6）对t求导,

可得

由此再得

r2sinvcost

—EL一S’

v=—corsin1+

dvdv

a—

dtd

cos日

rcost

J2-r2sin2日丿

j（l2cos（2日）+r2sin40）'

22.22

（l-rsin）2

lsin：

=rsin

7--arcsin

-sin。

J丿

lcos止二rcos卫…莎

d：

r•cosv

dtlcos:

d2：

dt2

⑷sin日cosP-cos日sinPd°

cos2:

利用（1.6），不难由上两式导出

rcost

dt12-r2sin2

d2：

r■2sin寸（l2_r2）

至此，我们得到了滑块位移

2222

（l-rsinr）

x和连杆摆角1运动规律中有关变量依赖

dt2

（1.3）

（1.4）

（1.5）

（1.6）

（1.7）

（1.8）

（1.9）

（1.10）

（1.11）

二的表

达式。

四、数值积分方法

将位移的表达式（1.1）改写为

Xnrcosr1（1—gsin2d）2

般而言，产是远比1小的数，于是利用

（1;）二二[亠:

亠-,

（1.12）

得到滑块位移的近似模型为

（1.13）

%=rcostlsinr

从而有相应的近似速度

dx1dx1

dtd=dt

sin（2旳

（1.14）

r.:

——血rsin日sin（2日）

I2l丿

和近似加速度

（1.15）

a1=切-_2rcostrcos（2v）

dtIl丿

这里的速度V1和加速度a1是直接对近似位移模型X1求导得来的，而不是对v和a的精确表达式（1.4）和（1.5）的近似。

当然我们也可以直接从滑块速度的解析式（1.4）进行近似。

仍利用公式（1.12）有

2X~2

1-\sin2日

l2丿

Jl2-r2sin2日I

把上式代入（1.4），就得到滑块速度的近似模型

•aJ丄rcosO[.

v2=—⑷rsin日|1+

IlI

2、

1+—sin日

、2l2丿

1Jsin

212

（1.16）

从（1.16）出发，又可得近似加速度

a2=七2「Ccu日+rcos（2日）+r3（sin2（2日）+2sin2日cos2）】

l4l3

对摆角：

可以利用幕级数展开的Maclaurin公式

arcsin；二；——,

得到摆角的近似模型。

粗略一些，可以取

1二丄sin二

（当；较小时可用此式）。

而必要时可以取

（1.17）

（1.18）

（1.19）

32.

□丄rsin（凶）丄rsin日sin（2^）=—国rsin令十+3

2l4l3

（1.20）

相应的近似角速度为

d：

rcos日+

213

sin2vcos/

（1.21）

（1.22）

近似角加速度为

d2、

dt2

-2-sin^

齢…'Isin，

dt2l

嗒（sin3—n（2e）cos昇

（1.23）

（1.24）

五、实验任务

任务一

试用摆角的角加速度的三种表达式,即式（1.11）、（1.23）和（1.24）,取步长为一，r，l，「的值如前，计算当"[0,二]变化时角加速度的值，并列表

加以比较。

实验程序：

functionm1_2（t）

r=100;l=300;w=240/60*2*pi;

a0=-r*wA2*sin（t）*（lA2-rA2）./（lA2-rA2*sin（t）.A2）.A（3/2）

a1=-wA2*r*sin（t）/l

a2=-wA2*（r*sin（t）/l+「A3*（sin（t）.A3-sin（2*t）.*cos（t））/（2*L3））

>>m1_1（[0:

pi/12:

pi]）

运行结果如下:

t/rad

a0/（rad/sA2）

a1/（rad/sA2）

a2/（rad/sA2）

pi/12

-48.9857

-54.4948

-48.0482

2*pi/12

-97.6175

-105.2758

-97.965

3pi/12

-144.1871

-148.8824

-144.7468

4pi/12

-184.6798

-182.343

-184.8755

5pi/12

-213.0328

-203.3772

-212.4053

pi/2

-223.3237

-210.5516

-222.2489

7pi/12

-213.0328

-203.3772

-212.4053

8pi/12

-184.6798

-182.343

-184.8755

9pi/12

-144.1871

-148.8824

-144.7468

10pi/12

-97.6175

-105.2758

-97.965

11pi/12

-48.9857

-54.4948

-49.0482

从结果中可以看出误差的大小，取决于近似表达式的精度，在利用泰勒公式求

近似模型时，如果展开的精度越高，则误差就越小，在数据表中也可以看出取得精度比丄1高，所以结果与真实值相差的更小。

任务二

可以化简为

将化简结果与

d：

_rcostdt..12-r2sin2r

d-3

dt2

1.21）~（1.24）

（1.10）

竺

d2'3

dt2

cos2sin（2Rsin^

4l2

_r时2sin0（l2_r2）

——3

（12「r2sin2v）2

r2（12

~T3

r2）

（1.10）

（1.11）

sin0+3^ysin38

2l2丿

式进行比较，可以发现有类似的项。

（1.11）

利用（1.12）式，对角摆角的角速度（1.10）式和角速度（1.11）式进行简化，将结果与（1.21）~（1.24）式进行比较，并与上题的计算结果相比较。

解析：

由式（1；）；工1亠=亠，；：

：

1（1.12）

实验程序：

functionm2_1（t）

r=100;l=300;w=240/60*2*pi;

b0=r*w*cos（t）./sqrt（lA2-rA2*sin（t）.A2）b1=w*r*cos（t）/l

b2=w*（r*cos（t）/l+「A3*sin（t）.A2.*cos（t）/（2*lA3））

b3=r*w/l*（cos（t）+「A2*sin（2*t）.*sin（t）/（4*L2））a0=-r*wA2*sin（t）*（lA2-rA2）./（lA2-「A2*sin（t）.A2）.A（3/2）a1=-wA2*r*sin（t）/l

a2=-wA2*（r*sin（t）/l+「A3*（sin（t）.A3-sin（2*t）.*cos（t））/（2*L3））

a3=-r*wA2*（lA2-rA2）/lA3*（sin（t）+3*L2*sin（t）.A3/（2*lA2））>>m2_1（[0:

pi/12:

pi]）

从上表中可看出

方案三最优。

宁与宁最接近真值，

最接近真值

d：

由此看来,

运行结果如下：

角速度:

t/rad

b/（rad/s）

b1/（rad/s）

b2/（rad/s）

b3/（rad/s）

8.3776

pi/12

8.1224

8.0921

8.1222

|8.1222

2*pi/12

7.3581

7.2552

7.3560

|7.3560

3pi/12

6.0956:

5.9238

6.0884

4pi/12

4.3750

4.1888

4.3633

5pi/12

2.2902:

2.1683

2.2807

P2.2807

pi/2

0.0000:

0.0000

7pi/12

-2.2902

-2.1683

-2.2807

8pi/12

-4.37501

-4.1888

-4.3633

—-4.3633

9pi/12

-6.09561

-5.9238

-6.0884

10pi/12

-7.3581,

-7.2552

-7.3560

11pi/12

-8.1224

-8.0921

-8.1222

-8.3776

角加速度:

t/rad

a0/（rad/sA2）

a1/（rad/sA2）

a2/（rad/sA2）

a3/（rad/sA2）

pi/12

-48.9857

-54.4948

-49.0482

-48.9806

2*pi/12

-97.6175

-105.2758

-97.9650

-97.4776

3pi/12:

-144.1871

-148.8824

-144.7468

-143.3683

4pi/12

-184.6798

-182.3430

-184.8755

-182.3430

5pi/12:

-213.0328

-203.3772

-212.4053

-208.8914

pi/2「

-223.3237

-210.5516

-222.2489

-218.3498

7pi/12

-213.0328

-203.3772

-212.4053

-208.8914

8pi/121

-184.6798

-182.3430

-184.8755

-182.3430

9pi/12

-144.1871

-148.8824

-144.7468

-143.3683

10pi/12

-97.6175

-105.2758

-97.9650

-97.4776

11pi/12:

-48.9857

-54.4948

-49.0482

-48.9806

-0.0000

任务三

给定一机构如右图所示。

设连杆QP长度l=300mm,曲柄0Q的长为r=100mn,距离e=20mm曲柄的角速度w=240转/min。

对二在一个周期（即[0,2二]）中计算滑块的位移、行程、速

，且与轴线Ox平

度、加速度和摆角及其最值。

解析:

这个机构的特点是：

滑块的运动轨迹仍然在原来的平面上行,但运动轨迹与Ox有距离e（称为偏心距）。

这样进程时间将与退程时间不同

x方向上的位移,

由于P点始终在直线y=e上,所以我们只需要考虑滑块在不需要再考虑在y轴上的位移。

取O点为坐标原点，沿x轴向右方向为正，P在

x轴上的坐标为X,用x表示滑块的位移，利用三角关系有:

（2.1）

（2.2）

x=rcost•.l2-（rsinr-e）2

由于二二t，故有

dxdxdx

——==o——

dtdt

竺求导程序：

>>symsrlet

>>x=r*cos（t）+sqrt（lA2-（r*sin（t）-e）.A2）;

>>diff（x,t）

rcos^（e-rsinR

I2-（e-rsinv）2

于是滑块的速度

=—rsinJ

v--rsin^

rcos1（rsin-e）

l2_（rsinJ-e）2

（2.3）

rcos71（rsinJ-e）

l2_（rsin：

-e）2

（2.4）

从而，得到滑块的加速度为

dvdva=

=co2—rcos9

（r2cos2^resin^）（|2-（rsin^-e）2）r2cos2"rsin-e）2

>（2.5）

223

（l-（rsine））

由关系式

（2.6）

得摆角的表达式为

一arcsin（^^）（2.7）

滑块的行程：

s二Xmax-Xmin»（|—r）2匚e2-d二r）2匚e2二200.50219968744

实验程序：

（1）滑块的位移：

functionm3_1（t）

r=100;

1=300;

e=20;

x=r*cos（t）+sqrt（L2-（r*sin（t）-e）.A2）

>>m3_1（[0:

pi/12:

2*pi]）

（2）滑块的速度：

functionm3_2（t）

r=100;

1=300;

w=240/60*2*pi;

e=20;

v=-w*r*sin（t）-（w*r*cos（t）.*（r*sin（t）-e））/sqrt（|A2-（r*sin（t）-e）.A2）

>>m3_2（[0:

pi/12:

2*pi]）

（3）滑块的加速度：

functionm3_3（t）

r=100;

1=300;

w=240/60*2*pi;

e=20;

a=wA2*（-r*cos（t）-（（「A2*cos（2*t）+r*e*sin（t））.*（L2-（r*sin（t）-e）.A2）+rA

2*cos（t）.A2.*（r*sin（t）-e）.A2）./（|A2-（r*sin（t）-e）.A2）.A（3/2））

>>m3_3（[0:

pi/12:

2*pi]）

（4）摆角及其最值：

functionm3_4（t）

r=100;

1=300;

w=240/60*2*pi;

e=20;

b=asin（（r*sin（t）-e）/l）

>>m3_4（[0:

pi/12:

2*pi]）

运行结果如下：

t/rad

x/mm

v/（mm/s）

1.0e+003*

a/（mm/sA2）

1.0e+004*

b/rad

399.3326

0.0071

|-8.4362

-0.0667

pi/12

396.5349

-0.6434

-8.0349

0.0196

2pi/12

385.0988

-1.2495

-6.7560

0.1002

3pi/12

366.3937

-1.7701

-4.8000

0.1699

4pi/12

342.5134

-2.1695

-2.4806

0.2239

5pi/12:

315.9398

-2.4205

-0.1798

0.2582

pi/2

289.1366

-2.5062

1.7477

0.26991

7pi/12

264.1760

-2.4205

3.0899

0.2582

8pi/12:

242.5134

-2.1695

3.8360

0.2239

9pi/12

224.9723

-1.7701

4.1329

0.1699

10pi/12

211.8937

-1.2495

4.1846

0.1002

11pi/12:

203.3498

-0.6434

4.1678

0.0196

199.3326

0.0071

4.1969

-0.0667

13pi/12

199.8781

0.6576

4.3189

-0.1535

14pi/121

205.1165

1.2637

4.5107

-0.2355

15pi/12

215.2466

1.7843

4.6677

-0.3072

16pi/12

230.4209

2.1837

4.5933

-0.3633

17pi/121

250.5348

2.4347

4.0281

-0.39921

3pi/2

274.9545

2.5204

2.7568

-0.4115

19pi/12

302.2986

2.4347

0.7584

-0.3992

20pi/121

330.4209

2.1837

-1.7232

-0.3633]

21pi/12

356.6680

1.7843

-4.2652

-0.3072

22pi/12

378.3216

1.2637

-6.4299

-0.2355

23pi/12

393.0632

0.6576

-7.8838

-0.1535

2pi

399.3326

0.0071

-8.4362

-0.0667

由上表可看出，摆角：

，在二处取得最小值0.0667;在—"：

处取得最大值

0.4115。

任务四

设T1和T2分别为滑块进程和退程所需时间，试根据任务二中的数据求出T1和

T2,两者是否相等？

在I和r不变的前提下，令k=T1/T2。

如果要求k=1.2，试求偏心距e的值。

答：

T2。

丄ee-

由0.2n2.2arcsin-2.2arcsin0，

200400

实验程序及结果：

>>x=fzero（@（x）0.2*pi+2.2*asin（x./200）,2）x=

-56.3465

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