实验一曲柄滑块机构的运动规律.docx

1、实验一曲柄滑块机构的运动规律上海应用技术学院数学实验报告题目曲柄滑块机构的运动规律姓名：周玲院系：理学院数学与应用数学系学号：1112211115指导老师： 许建强2015年3月30日一、 实验目的 3.二、 实际问题 3.三、 数学模型 3.四、 数值积分方法 2.五、 实验任务 4.任务一一 4.任务二 5.任务三 7.任务四 错误！未定义书签。实验目的本实验主要涉及微积分中对函数特性的研究。通过实验复习函数求导法 Taylor公式和其他有关知识。着重介绍运用建立近视似模型并进行数值计算来 研究讨论函数的方法。1、实际问题曲柄滑块机构是一种常用的机械 结构，它将曲柄的转动转化为滑块在 直线

2、上的往复运动，是气压机、冲床、 活塞式水泵等机械的主机构。右图为 其示意图。记曲柄OQ的长为r,连杆QP的长为I,当曲柄绕固定点O以角速度w旋转 时，由连杆带动滑块P在水平槽内做往复直线运动。假设初始时刻曲柄的端点Q 位于水平线段OP上,曲柄从初始位置起转动的角度为 二,而连杆QP与OP的锐 夹角为1（称为摆角）。在机械设计中要研究滑块的运动规律和摆角的变化规律 ， 确切的说,要研究滑块的位移，速度和加速度关于二的函数关系，摆角及其角速 度和角加速度关于二的函数关系，进而（1） 求出滑块的行程s（即滑块往复运动时左、右极限位置间的距离）；（2） 求出滑块的最大和最小加速度（绝对值）,以了解滑块

3、在水平方向上的作用 力；（3） 求出1的最大和最小角加速度（绝对值）,以了解连杆的转动惯量对滑块的 影响；在求解上述问题时，我们假定：r =100（mm）,l =3r = 300（mm）严=240（转 /min）符号说明：r 曲柄0Q的长；l 连杆PQ的长度；1 摆角（连杆PQ与 0P的锐 夹角）；角速度；P 滑块；x 滑块的位移；a 滑块的加速度。三、数学模型取O点为坐标原点，OP方向为x轴正方向，P在x轴上的坐标为x，那么可用x 表示滑块的位移。利用三角关系，立即得到(1.1 )x = r cos . l2 - r2 sin2二由于-t ，故有dx _ dxdt dtdx(1.2)于是滑块

4、的速度进而，可以得到滑块的加速度为同样，基于关系式我们有摆角的表达式式（1.6 ）对t求导,可得由此再得r2 sin v costEL 一 Sv = cor sin 1 +dv dva dt drcos日r costJ2 -r2sin2日丿j(l2 cos(2日)+ r2sin40) + 32 2 . 2 2(l - r sin )2l sin ： = r sin7- -arcsin-sin。IJ 丿lcos止二rcos卫莎dtdtd ： r cosvdt l cos :d2：dt2 sin 日 cosP -cos日 sin P dcos2 :dt利用（1.6），不难由上两式导出r costd

5、t 12 - r2 sin2d2 ： r 2 sin 寸(l2 _ r2)至此，我们得到了滑块位移32 2 2 2（l - r sin r）x和连杆摆角1运动规律中有关变量依赖dt2（1.3）（1.4）（1.5）（1.6）（1.7）（1.8）（1.9）（1.10）（1.11）二的表达式。四、数值积分方法将位移的表达式（1.1）改写为2 1X nrcosr 1(1 gsi n2d)2r 2般而言，产是远比1小的数，于是利用（1 ;）二二亠:亠-,(1.12)得到滑块位移的近似模型为2(1.13)r 2% = r cost l si nr2l从而有相应的近似速度dx1 dx1V1d-dt d =

6、dt2rsi n(2 旳2l(1.14)r . :血r sin 日 sin(2日)I 2l 丿和近似加速度(1.15)a1 =切-_ 2r cost rcos（2v）dt I l 丿这里的速度V1和加速度a1是直接对近似位移模型X1求导得来的，而不是对v和a 的精确表达式（1.4 ）和（1.5 ）的近似。当然我们也可以直接从滑块速度的解析 式（1.4 ）进行近似。仍利用公式（1.12 ）有12 X21 -si n2 日l2 丿1Jl2 - r2sin2 日 I把上式代入（1.4），就得到滑块速度的近似模型 aJ 丄 rcosO .v2 = r sin 日 |1 + I l I2 、r 21 +

7、 sin 日、2l2 丿21 J sin212YI(1.16)从（1.16 ）出发，又可得近似加速度a2 =七2Ccu日 + rcos（2日）+ r3（sin2（2日）+2sin2 日 cos2）】l 4l3对摆角：可以利用幕级数展开的 Maclaurin公式g3arcsi n ；二； ,6得到摆角的近似模型。粗略一些，可以取1 二丄 sin 二l（当；较小时可用此式）。而必要时可以取(1.17)(1.18)(1.19), 3 2.丄 r sin(凶)丄 r sin 日 sin(2) =国r sin令十 + 32l 4l3(1.20)相应的近似角速度为d idtd ：2dtfr cos 日 +

8、Jr3213sin2 v cos/(1.21 )(1.22)近似角加速度为d2、dt2-2-sinl齢Isin，dt2 l嗒(sin3n(2e)cos 昇(1.23)(1.24)五、实验任务任务一试用摆角的角加速度的三种表达式,即式(1.11 )、(1.23 )和(1.24),取 步长为一，r，l，的值如前，计算当0,二变化时角加速度的值，并列表12加以比较。实验程序：fun ctio n m1_2(t)r=100;l=300;w=240/60*2*pi;a0=-r*wA2*si n( t)*(lA2-rA2)./(lA2-rA2*si n(t).A2).A(3/2)a1=-wA2*r*si

9、n( t)/la2=-wA2*(r*si n( t)/l+A3*(si n(t).A3-si n(2*t).*cos(t)/(2*L3) m1_1(0:pi/12:pi)运行结果如下:t/rada0/(rad/sA2)a1/(rad/sA2)a2/(rad/sA2)0000pi/12-48.9857-54.4948-48.04822*pi/12-97.6175-105.2758-97.9653pi/12-144.1871-148.8824-144.74684pi/12-184.6798-182.343-184.87555pi/12-213.0328-203.3772-212.4053pi/2-

10、223.3237-210.5516-222.24897pi/12-213.0328-203.3772-212.40538pi/12-184.6798-182.343-184.87559pi/12-144.1871-148.8824-144.746810pi/12-97.6175-105.2758-97.96511pi/12-48.9857-54.4948-49.0482pi000从结果中可以看出误差的大小，取决于近似表达式的精度，在利用泰勒公式求dt近似模型时，如果展开的精度越高，则误差就越小，在数据表中也可以看出 取得精度比 丄1高，所以结果与真实值相差的更小。dt任务二可以化简为可以化简为

11、将化简结果与d： _ r cost dt . 12 - r2 sin2 rd -3dtdt21.21)(1.24)(1.10)竺d23dt22rcos 2sin( 2Rs in4l2_ r时2 sin0(l2 _ r2) 3(12r2 sin2 v)2r 2(12T3r2)(1.10)(1.11)sin0 +3y s in382l2 丿式进行比较，可以发现有类似的项。(1.11)利用（1.12 ）式，对角摆角的角速度（1.10）式和角速度（1.11 ）式进行简 化，将结果与（1.21）（1.24）式进行比较，并与上题的计算结果相比较。解析：由式 （1 ；）；工1 亠=亠，；：1 （ 1.12）

12、实验程序：fun ction m2_1(t)r=100;l=300;w=240/60*2*pi;b0=r*w*cos(t)./sqrt(lA2-rA2*si n( t).A2) b1=w*r*cos(t)/lb2=w*(r*cos(t)/l+A3*si n(t).A2.*cos(t)/(2*lA3)b3=r*w/l*(cos(t)+A2*si n(2*t).*si n( t)/(4*L2) a0=-r*wA2*si n( t)*(lA2-rA2)./(lA2-A2*si n(t).A2).A(3/2) a1=-wA2*r*si n( t)/la2=-wA2*(r*si n(t)/l+A3*(s

13、i n(t).A3-si n(2*t).*cos(t)/(2*L3)a3=-r*wA2*(lA2-rA2)/lA3*(si n( t)+3*L2*si n( t).A3/(2*lA2) m2_1(0:pi/12:pi)从上表中可看出方案三最优。宁与宁最接近真值，dt最接近真值d ：3dt由此看来,运行结果如下：角速度:t/radb/(rad/s)b1/(rad/s)b2/(rad/s)b3/(rad/s)08.37768.37768.37768.3776pi/128.12248.09218.1222| 8.12222*pi/127.35817.25527.3560| 7.35603pi/126

14、.0956 :5.92386.08846.08844pi/124.37504.18884.36334.36335pi/122.2902 :2.16832.2807P 2.2807pi/20.0000 :0.00000.00000.00007pi/12-2.2902-2.1683-2.2807-2.28078pi/12-4.3750 1-4.1888-4.3633-4.36339pi/12-6.0956 1-5.9238-6.0884-6.088410pi/12-7.3581 ,-7.2552-7.3560-7.356011pi/12-8.1224-8.0921-8.1222-8.1222pi-

15、8.3776-8.3776-8.3776-8.3776角加速度:t/rada0/(rad/sA2)a1/(rad/sA2)a2/(rad/sA2)a3/(rad/sA2)0 10000pi/12-48.9857-54.4948-49.0482-48.98062*pi/12-97.6175-105.2758-97.9650-97.47763pi/12 :-144.1871-148.8824-144.7468-143.36834pi/12-184.6798-182.3430-184.8755-182.34305pi/12 :-213.0328-203.3772-212.4053-208.8914p

16、i/2-223.3237-210.5516-222.2489-218.34987pi/12-213.0328-203.3772-212.4053-208.89148pi/12 1-184.6798-182.3430-184.8755-182.34309pi/12-144.1871-148.8824-144.7468-143.368310pi/12-97.6175-105.2758-97.9650-97.477611pi/12 :-48.9857-54.4948-49.0482-48.9806pi-0.0000-0.0000-0.0000-0.0000任务三给定一机构如右图所示。设连杆 QP长度

17、l=300mm,曲柄 0Q的长为 r=100mn,距离e=20mm曲柄的角速度 w=240转/min。对二在一个周期（即 0,2二）中计算滑块的位移、行程、速，且与轴线Ox平度、加速度和摆角及其最值。 解析 :这个机构的特点是：滑块的运动轨迹仍然在原来的平面上 行,但运动轨迹与Ox有距离e （称为偏心距）。这样进程时间将与退程时间不同x方向上的位移,由于P点始终在直线y=e上,所以我们只需要考虑滑块在 不需要再考虑在y轴上的位移。取O点为坐标原点，沿x轴向右方向为正，P在x轴上的坐标为X,用x表示滑块的位移，利用三角关系有:(2.1)(2.2)x = r cost . l2 -（r si nr

18、 - e）2由于二二t，故有dx dx dx= =odt dtdx竺求导程序：dr syms r l e t x=r*cos(t)+sqrt(lA2-(r*si n( t)-e).A2); diff(x,t)r cos(e - r sin RI2 -(e - r sin v)2于是滑块的速度dx=r sin Jv - - rsinr cos1 (r sin - e)l2 _(r sin J - e)2(2.3)r cos71 (r sin J - e)l2 _ (r sin ： - e)2(2.4)从而，得到滑块的加速度为dv dv a =dt=co2 r cos9(r2 cos 2 resi

19、n )(|2-(rsi n-e)2) r2cos2rs in -e)2(2.5)2 2 3(l - (r sin e)由关系式(2.6 )得摆角的表达式为一 arcsin() (2.7)滑块的行程：s 二 Xmax -Xmin (|r)2匚e2 - d二r)2匚e2二 200.50219968744实验程序：(1)滑块的位移：fun ction m3_1(t)r=100;1=300;e=20;x=r*cos(t)+sqrt(L2-(r*si n( t)-e).A2)m3_1(0:pi/12:2*pi)(2)滑块的速度：fun cti on m3_2(t)r=100;1=300;w=240/60

20、*2*pi;e=20;v=-w*r*si n(t)-(w*r*cos(t).*(r*si n( t)-e)/sqrt(|A2-(r*s in( t)-e).A2)m3_2(0:pi/12:2*pi)(3)滑块的加速度：fun cti on m3_3(t)r=100;1=300;w=240/60*2*pi;e=20;a=wA2*(-r*cos(t)-(A2*cos(2*t)+r*e*si n( t).*(L2-(r*si n( t)-e).A2)+rA2*cos(t).A2.*(r*si n(t)-e).A2)./(|A2-(r*si n(t)-e).A2).A(3/2) m3_3(0:pi/1

21、2:2*pi)(4)摆角及其最值：fun ctio n m3_4(t)r=100;1=300;w=240/60*2*pi;e=20;b=asi n(r*si n( t)-e)/l) m3_4(0:pi/12:2*pi)运行结果如下：t/radx/mmv/(mm/s)1.0e+003 *a/(mm/sA2)1.0e+004 *b/rad0399.33260.0071| -8.4362-0.0667pi/12396.5349-0.6434-8.03490.01962pi/12385.0988-1.2495-6.75600.10023pi/12366.3937-1.7701-4.80000.1699

22、4pi/12342.5134-2.1695-2.48060.22395pi/12 :315.9398-2.4205-0.17980.2582pi/2289.1366-2.50621.74770.2699 17pi/12264.1760-2.42053.08990.25828pi/12 :242.5134-2.16953.83600.22399pi/12224.9723-1.77014.13290.169910pi/12211.8937-1.24954.18460.100211pi/12 :203.3498-0.64344.16780.0196pi199.33260.00714.1969-0.0

23、66713pi/12199.87810.65764.3189-0.153514pi/12 1205.11651.26374.5107-0.235515pi/12215.24661.78434.6677-0.307216pi/12230.42092.18374.5933-0.363317pi/12 1250.53482.43474.0281-0.3992 13pi/2274.95452.52042.7568-0.411519pi/12302.29862.43470.7584-0.399220pi/12 1330.42092.1837-1.7232-0.3633 21pi/12356.66801.

24、7843-4.2652-0.307222pi/12378.32161.2637-6.4299-0.235523pi/12393.06320.6576-7.8838-0.15352pi399.33260.0071-8.4362-0.0667由上表可看出，摆角：，在二处取得最小值 0.0667 ;在：处取得最大值20.4115。任务四设T1和T2分别为滑块进程和退程所需时间，试根据任务二中的数据求出 T1和T2,两者是否相等？在I和r不变的前提下，令k=T1/T2。如果要求k=1.2，试 求偏心距e的值。答：T2。丄 e e -由 0.2n 2.2arcsin -2.2arcsin 0，200 400实验程序及结果： x=fzero(x) 0.2*pi+2.2*asi n(x./200),2) x =-56.3465