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阶梯电价数学建模论文

2011年河南科技大学数学建模竞赛选拔

承诺书

我们仔细阅读了数学建模竞赛选拔的规则.

我们完全明白，在做题期间不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人研究、讨论与选拔题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反选拔规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守选拔规则，以保证选拔的公正、公平性。

如有违反选拔规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们选择的题号是（从A/B/C中选择一项填写）：

B

队员签名：

1.郭良雨

2.朱延朝

3.李帅威

日期：

2012年8月19日

2011年河南科技大学数学建模竞赛选拔

编号专用页

评阅编号（评阅前进行编号）：

评阅记录（评阅时使用）：

评

阅

人

评

分

备

注

题目：

阶梯电价问题

关键词：

阶梯电价matlab用电量分档

摘要：

2012年6月14日，发改委表示居民“阶梯电价”将于7月1日在全国范围内实施。

发改委对“多用者多付费”的阶梯价格机制改革，将有助于形成节能减排的社会共识，促进资源节约型、环境友好型社会的建设。

因此通过查找数据来对问题进行依次建立模型并进行讨论，最后进行总结和评价。

对于问题一，首先以北京市为例，建立一个正态分布的概率密度函数。

根据网上查找到的居民用电量，然后利用统计数据对此进行总体分布的皮尔逊

拟合检验。

得出准确的分布函数之后，将第一档的上限值带入分布函数中，计算求得其概率。

概率大于80%，即可以保证80%的用户电价收费保持平稳。

对于问题二，至于如何评判电价的好坏，从四点入手。

1、通过对各阶段电费增加支出相对于原电费支出的比值，得到第一档内电量的用户电费基本保持不变，第二档内电费最高增加4.352%，第三档增加较多。

2、用各地的人均GDP与人均用电量进行相关性分析，得出相关度为0.8772，相关性较好，说明多数地区经济越发达，用电量越多。

3、以北京为例，阶梯电价对用电量在2760与2880之间的用户有影响，对其他阶段的用户影响不大。

4、以北京市为例，用搜集到的近年来北京地区的用电量，用matlab编程拟合出用电量与时间的函数

得出时间x为2016即可以使用4年。

对于问题三，从家庭人数、城乡差异、低保人群免费用电量、分档层次等方面给出建议。

一、问题重述

1.1背景

长期以来，我国对居民电价采取低价政策。

随着我国能源供应紧缺、环境压力加大等矛盾的逐步凸显，煤炭等一次能源价格持续攀升，电力价格也随之上涨，但居民电价的调整幅度和频率均低于其他行业用电，居民生活用电价格一直处于较低水平。

为了促进资源节约和环境友好型社会建设、体现公平负担的原则、合理体现电能资源价值、引导居民合理用电、节约用电，资源节约和环境保护、有必要对居民生活用电实行阶梯电价。

实行阶梯电价一方面可以促进节约用电，另一方面有利于用电公平。

但是由此引发了一系列与市民平时生活紧密联系的问题：

新的阶梯电价主要变化有哪些？

实行阶梯电价后居民日常用电的费用是增加还是减少？

居民的生活水平将受到怎样的影响等。

1.2问题的提出

1．阶梯电价实行前后，居民日常用电费用的变化情况。

2．阶梯电价实行后，居民的生活费用支出情况有怎样的变化。

3．通过分析、构建模型，说明阶梯电价对居民生活费用支出的影响程度。

4．对照阶梯电价实行的目的和建立机制，分析实行阶梯水价的可能性，并给出合理的居民用水阶梯水价。

二、问题分析

阶梯问题共分三问：

问题一：

阶梯电价实行前后，居民日常用电费用的变化情况?

以北京市的阶梯电价的两个方案进行研究，通过阶梯电价实行前后进行比较，利用Matlab软件做出图像，可以很直观的得出比较结果

问题二：

评价一个好电价，从四个方面进行论证：

与现在的电价相比阶梯电价对于居民的用电支出影响大小如何评价?

以北京市的阶梯电价的两个方案进行研究，通过对现在的电价标准与阶梯电价进行比较，利用Matlab软件做出图像，可以很直观的得出比较结果。

这些政策和地区的经济发展水平有何相关关系?

衡量地区的经济水平指标通过上网查询有三大指标，用人均GDP作为地区经济水平的指标。

利用EXCEL画出曲线图，通过曲线图建立电量与经济发展水平的关系。

以方案一为例，通过Matlab软件，得到电量与经济发展水平的相关系数。

同一地区的不同草案哪一个更好?

通过两个方面进行分析，一个就是通过居民的角度进行分析，同时从环境的角度从北京市两草案进行比较，从而分析两草案在不同角度差别。

其中从环境的角度，从控制不合理用电方面证明了方案一的正确性。

随着生活水平的提高，居民用电量也在增加，目前的草案必将会调整，用搜集到的近年来北京地区的用电量，用matlab编程拟合出用电量与时间的函数，从而得知调整时间。

问题三：

从家庭人数、城乡差异、低保人群免费用电量、分档层次等方面给出建议。

三模型假设

1.假设本题中用到的数据真实可靠；

2.假设对数据的基本推理正确；

3.在本题中以北京为例说明；

4.假设用电量的分布是连续的、以月为单位计算的；

5.假设电力供应足够满足用电需求；

6.假设某地区人口在一段时间内不发生明显变化；

7.排除个人暗中操作偷电等因素；

8.假设用电量反映家庭的收入程度。

符号说明

符号

符号解释及说明

符号

符号解释及说明

北京市家庭用电量

皮尔逊分布

用电量为

的用户数在总用户中所占的比例

效用

北京市家庭用电量均值

电价

北京市家庭用电量方差

原月用电支出

样本观测值落在区间中的个数

收入

5、模型的建立与求解

2.1与现在相比，阶梯电价对居民的用电量支出影响大小

若以北京市进行研究和探讨

对于现在居民用电始终保持以月用电量0.4883元为电价，

在实行阶梯电价后，方案一如表格所示：

分档

电量

电价

第一档

不超过230度

不变（0.4883元/度）

第二档

231-400度

每度提高0.05元（0.5383元/度）

第三档

超过400度

每度提高0.3元（0.7883元/度）

按照方案一可以得到以下方程组：

0.4883xx<=2760

y=0.4883*2760+0.5383*（x-2760）2760

0.4883*2760+0.5383*2040+0.7883*（x-4880）x>4800

超过80%的用户：

电费不会增支；

用电较多的一部分用户：

用电费增支不超过8.5元；

用电最多的居民用户：

月用电量超过400度以后，每多用一度电，电费多支出0.3元。

。

利用Matlab软件可以做出图像

方案二如下表所示

分档　

电量

电价

第一档

不超过240度

不变（0.4883元/度）

第二档

241-400度

每度提高0.05元（0.5383元/度）

第三档

超过400度

每度提高0.3元（0.7883元/度）

按照方案二可得到下列方程组：

0.4883xx<=2880

y=0.4883*2760+0.5383*（x-2760）2880

0.4883*2760+0.5383*2040+0.7883*（x-4880）x>4800

超过80%的用户：

电费不会增支；

用电较多的一部分用户：

用电费增支不超过8.5元；

用电最多的居民用户：

月用电量超过400度以后，每多用一度电，电费多支出0.3元。

。

利用Matlab可以做出图像

与现在电价对比阶梯电价对居民支

注：

蓝色直线根据现在电价绘制，红色曲线根据阶梯电价绘制

假设一户家庭共4人，年用电量为5000度

按照目前的电价，年电费为5000×0.4883元/度=2441.5元

按照方案一年电费为230×12×0.4883+[4800-（230×12）]×0.5383+200×0.7883=2603.5元

按照方案二年电费为240×12×0.4883+[4800-（240×12）]×0.5383+200×0.7883=2597.5元

另外,月用电超过400度后，每多用1度电，电费将多支出0.3元。

这次全国非居民销售电价每千瓦时平均提价约３分钱，如果按此标准调整居民电价，所有居民家庭电费支出都将增加，但如果实行阶梯电价，用电量不同的居民用户用电负担有所差异。

月用电量在第一档以内的居民家庭，电费支出相对减少；月用电量超过一定数量后，用电量越多，增加电费相对越多。

实行阶梯电价需要保证80%的用户电价平稳，建立模型解决。

以北京市为例，北京市常住人口886.1万，远大于30，服从正态分布，建立正态分布概率分布模型，从而求出在一档范围内用户的概率。

模型函数如下

（1）

表示用电量为

的用户的比例。

模型的建立

以三口之家为例，这里以北京市为研究对象。

由附表可知北京市平均每户用电量大约180度，通过计算得标准差为45。

模型函数如下

（2）

其中m=180,s=45.

3.模型I的检验--分布拟合

现利用统计数据对此进行总体分布的皮尔逊

拟合检验。

令3口之家月用电量为随机量

，

：

总体x的分布函数是

：

总体x的分布函数不是

把总体的值域（0,400）划分成8个等份区间

每个区间个体数目均不小于5。

在

总体x的分布函数是

为真的情况下,用极大似然估计总体分布函数中的

和

。

在

总体x的分布函数是

为真的情况下，计算理论概率

并计算理论概率

。

按样本观测值落在区间

中的个数，即实际频数

和理论频数

计算

的值。

给定显著性水平

，查自由度为

的

分布表得

其中m是未知参数的个数为2。

经计算，

，接受

，即3口之家月用电量分布函数是

。

4.模型求解

根据题目中所给出的北京市的方案一第一档年用电量2760度，可算出平均每月的用电量为2760/12=230，即x=230，又根据概率密度的计算方法：

统计量：

（3）

则

（4）

代入数据得

故f（x）=86.65%>80%

说明实际的家庭居民用电量的覆盖率大于阶梯电价的覆盖率，即题目中给出草案的阶梯电价可以保证80%的居民家庭的电价保持平稳。

2.1与现在相比，阶梯电价对居民的用电量支出影响大小

若以北京市进行研究和探讨

对于现在居民用电始终保持以月用电量0.4883元为电价，

在实行阶梯电价后，方案一如表格所示：

分档

电量

电价

第一档

不超过230度

不变（0.4883元/度）

第二档

231-400度

每度提高0.05元（0.5383元/度）

第三档

超过400度

每度提高0.3元（0.7883元/度）

按照方案一可以得到以下方程组：

0.4883xx<=2760

y=0.4883*2760+0.5383*（x-2760）2760

0.4883*2760+0.5383*2040+0.7883*（x-4880）x>4800

超过80%的用户：

电费不会增支；

用电较多的一部分用户：

用电费增支不超过8.5元；

用电最多的居民用户：

月用电量超过400度以后，每多用一度电，电费多支出0.3元。

。

利用Matlab软件可以做出图像

方案二如下表所示

分档　

电量

电价

第一档

不超过240度

不变（0.4883元/度）

第二档

241-400度

每度提高0.05元（0.5383元/度）

第三档

超过400度

每度提高0.3元（0.7883元/度）

按照方案二可得到下列方程组：

0.4883xx<=2880

y=0.4883*2760+0.5383*（x-2760）2880

0.4883*2760+0.5383*2040+0.7883*（x-4880）x>4800

超过80%的用户：

电费不会增支；

用电较多的一部分用户：

用电费增支不超过8.5元；

用电最多的居民用户：

月用电量超过400度以后，每多用一度电，电费多支出0.3元。

。

利用Matalb可以做出图像

与现在电价对比阶梯电价对居民支出的影响如下图

注：

蓝色直线根据现在电价绘制，红色曲线根据阶梯电价绘制

假设一户家庭共4人，年用电量为5000度

按照目前的电价，年电费为5000×0.4883元/度=2441.5元

按照方案一年电费为230×12×0.4883+[4800-（230×12）]×0.5383+200×0.7883=2603.5元

按照方案二年电费为240×12×0.4883+[4800-（240×12）]×0.5383+200×0.7883=2597.5元

另外,月用电超过400度后，每多用1度电，电费将多支出0.3元。

这次全国非居民销售电价每千瓦时平均提价约３分钱，如果按此标准调整居民电价，所有居民家庭电费支出都将增加，但如果实行阶梯电价，用电量不同的居民用户用电负担有所差异。

月用电量在第一档以内的居民家庭，电费支出相对减少；月用电量超过一定数量后，用电量越多，增加电费相对越多。

不论是方案一还是方案二，对居民来讲影响都不太大。

如实行方案一，北京可同全国其他城市“统一步伐”，有利于阶梯电价机制尽快形成。

如今能源压力如此严重，实行阶梯电价有必要。

5.2.2阶梯电价与地区经济发展的关系

衡量地区经济发展的指标用人均GDP来衡量。

由附录中的地区通过查找信息,列出了各地区的经济发展指标如图：

省市

人均GDP（元）

阶梯电价1

阶梯电价2

天津

86496

200

340

上海

82560

260

400

北京

80394

230

400

广东

50500

210

430

山东

46976

190

300

重庆

34705

200

320

海南

29012

140

230

江西

25988

150

280

四川

26147

170

240

广西

25449

130

220

甘肃

19628

140

240

由上表利用EXCEL画出阶梯电价随人均GDP变化的曲线图：

由阶梯电价与人均GDP的关系，用Matlab软件进行相关性分析。

LinearmodelPoly1:

f（x）=p1*x+p2

Coefficients（with95%confidencebounds）:

p1=-27.71（-35.53,-19.89）

p2=343.8（290.8,396.9）

Goodnessoffit:

SSE:

1.182e+004

R-square:

0.8772

AdjustedR-square:

0.8636

RMSE:

36.24

阶梯电价的与人均GDP相关系数是0.8772.

所以阶梯电价与人均GDP相关性良好。

5.2.3同一地区不同方案进行比较

对于同一地区的不同方案的好坏，可以从两个因素进行讨论，第一：

在居民的角度考虑问题；在环境的角度考虑问题。

两种因素都从从北京市的两种方案入手：

在居民的角度考虑问题：

北京“方案一”规定的首档电量为年用电2760度以下。

据北京市发改委的数据显示，2011年，北京市执行居民电价的用户616.24万户，居民用电量168亿度，计算可知，去年北京平均每户用电量在2720度左右。

对于方案一来说年用电量小于2760度为第一档，方案二年用电量小于2880度。

对于第二档和第三档，方案一和方案二大致相同。

从居民的角度来看，当然第一档的电量越高越好，这样居民的用电范围就可以扩大，从上述叙述中可知对于第一档与往常电价相同，而第二档与第三档却使居民的用电电总费用上涨。

由于家庭人口数处于变动中，把人口数考虑进来会比较复杂，执行起来有困难。

尤其对于一些低收入家庭往往是好几代住在一起，虽然人均用电量有限，但整体用电量较大，实行阶梯电价有可能造成低收入家庭人均用电成本升高。

这样方案二更适合于他们。

但是由5.2.1知方案一与方案二差别不大。

从环境的角度考虑问题：

居民阶梯电价改革的目的,是为了体现资源性产品价格的市场化改革方向,实现节能减排，减少不合理的用电消费。

方案一以2760度为第一档，月平均量为230度；方案二以2880度为第一档，月平均量为240度。

若实行方案一，则月用电量在230度附近的家庭会尽量将月用电量控制在230度以内，设这部分家庭数为a；若实行方案二，则用电量在240度附近的家庭会尽量将月用电量控制在240度以内，设这部分家庭数位b。

根据正态函数分布关系，a>b,北京市人口基数很大，a与b的差值会很大。

所以若实行方案一，即将第一档用电量控制的比较低将会产生很可观的社会效应，节约大量电能，促使居民用电消费支出趋于合理。

综合考虑，方案一相对于方案二要更好。

5.2.4分析目前的草案可以延续实行多长时间

为了验证草案可以延续实行多长时间，以北京市市委研究对象，通过查找相关信息，得出北京市近年的居民生活总用电（见附表三）：

用matlab绘制出图像

可见其大致符合指数函数。

用matlab进行函数拟合。

GeneralmodelGauss2:

f（x）=a1*exp（-（（x-b1）/c1）^2）+a2*exp（-（（x-b2）/c2）^2）

Coefficients（with95%confidencebounds）:

a1=2.13e+005（1.12e+005,3.141e+005）

b1=2005（2004,2006）

c1=5.891（4.28,7.501）

a2=6.508e+009（-1.364e+011,1.494e+011）

b2=2148（1812,2484）

c2=47.18（-7.041,101.4）

Goodnessoffit:

SSE:

3.757e+009

R-square:

0.9995

AdjustedR-square:

0.9994

RMSE:

1.158e+004

第一档的用电范围要达到80%，所以根据以上函数可知：

可以求出X=2016

即方案可实行到2016年

3.针对完善目前各省市的阶梯电价的建议和意见

第一

用电分档应考虑家庭人数的问题。

把家庭人口数量的因素加入到考虑范围来，以家庭为单位来分配基本的标准电量，这样可以避免人口多的家庭用电量超过基本标准。

从而使阶梯电价更加公平，更能让人民接受

第二

应该综合考虑城乡收入、消费、用电支出占总支出百分比等因素，制定出不同的收费标准，更加细化阶梯电价方案，让社会各阶层体会到电价的公平性

第三

应该给城镇人口中的低保及收入偏低的社会弱势群体多一些关爱，分配更低价或者免费的电量，然后增加用电多的阶段里的用电单价

第四

有些地区已经实施了冬夏两套阶梯收费标准，大多城市都需要冬夏阶梯收费标准不同，甚至按季度定阶梯收费的标准

第五

阶梯电价的“阶梯”太少，应该多分几个阶段，这样才能更好的代表社会各阶层人民的需要，才更能让人民接受

附件

附件一：

北京市户籍户数及人口数（2010年）：

地区

户籍户数及人口

暂住人口

户数（万户）

人口数（万人）

（万人）

合计

非农业户

农业户

合计

非农业户

农业户

全市

496.1

380.1

116.0

1257.8

989.5

268.3

886.1

首都功能核心区

81.0

81.0

…

230.1

230.1

…

50.5

东城区

34.3

34.3

…

95.6

95.6

…

22.0

西城区

46.7

46.7

…

134.5

134.5

…

28.5

城市功能拓展区

198.3

181.0

17.3

550.7

515.4

35.4

522.9

朝阳区

73.4

66.4

7.0

188.6

174.4

14.3

219.2

丰台区

44.1

38.3

5.9

106.3

94.3

12.0

111.7

石景山区

13.6

13.6

36.2

36.2

19.0

海淀区

67.1

62.7

4.4

219.6

210.6

9.0

173.0

城市发展新区

141.4

79.8

61.7

314.6

165.5

149.0

275.9

房山区

35.2

19.7

15.5

76.8

41.1

35.7

20.9

通州区

32.3

17.7

14.6

66.3

33.0

33.3

64.8

顺义区

26.1

14.5

11.6

58.2

29.6

28.6

25.4

昌平区

23.3

14.2

9.1

53.3

32.6

20.7

84.2

大兴区

24.5

13.7

10.8

59.9

29.2

30.8

80.6

生态涵养发展区

75.3

38.3

37.0

162.4

78.5

83.9

36.7

门头沟区

11.7

8.6

3.1

24.6

18.7

5.9

9.6

怀柔区

13.3

5.9

7.3

27.7

12.0

15.6

10.8

平谷区

16.7

8.8

7.9

39.5

19.2

20.3

6.3

密云县

20.2

8.8

11.4

42.8

17.0

25.8

6.9

延庆县

13.4

6.2

7.2

27.9

11.6

16.3

3.2

资料来源：

北京市公安局。

附件二：

北京市人均生活用能源

项目

人均生活用能源

2010

2009

煤炭

（千克）

150

158.6

电力

（千瓦时）

749.8

746.7

液化石油气

（千克）

11.6

13.2

天然气

（立方米）

54.6

57.1

汽油

（升）

167.3

168.3

注：

本表人均生活用能源按常住人口年平均数计算

附件三：

24省份居民阶梯电价听证方案一览（部分截取自[1]）

省区市

第一档电量

第二档电量

第三档电量

听证会

北京方案一

北京方案二

年用电量2760度以下

年用电量2761-4800度

年用电量4800度以上

5月11日

年用电量2880度以下

年用电量2881-4800度

年用电量4800度以上

上海方案一

上海方案二

上海方案三

月用电量260度以下

月用电量260-400度

月用电量400度以上

5月11日

冬夏用电高峰月用电量350度以下，非高峰月用电量210度以下

冬夏用电高峰月用电量