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高中数学教案函数的概念

乐山市沙湾职业高级中学

教学学期:

2014年下期   

适用班级:

14机械2班汽修班计算机班   

任课教师:

李雪松  

 

课题§3.1函数的概念

(1)

【教学目标】1.培养从图表中获得函数关系的能力,明确自变量、因变量;

2.理解函数的“集合式”定义及符号表达;

3.理解函数的定义域和值域.

【教学重点】函数的概念:

对应法则、定义域和值域

【教学难点】从集合的观点对函数概念的理解。

【教学过程】

一、引入

同学们,我们生活的这个世界,有各种各样的事物,而每个事物间又是相互联系、相互依赖的。

如:

随着时间的变化,太阳东升日落,气温也在悄悄变化,我国的国民生产总值在不断增长等等。

试问:

我们如何刻画这些变化着的现象?

怎样找到这些现象中变量之间的关系?

二、探究活动

在现实生活中,我们会遇到下列问题:

1.(书P38)图3-1某城市一天的气温变化图

⑴上午8时的气温约是多少?

图中的A点表示了什么信息?

⑵请指出这一天气温相同的两对时间点。

⑶这一天的最高气温是多少?

最低气温是多少?

分别在几时?

⑷图3-1表示了该城市什么时间段的气温变化情况?

这一天的温差是多少?

气温从最低上升到最高经过了多长时间?

⑸这段时间段内气温在上升?

哪些时间段内气温在下降?

#对任一时刻t,都有惟一的温度θ与之对应。

2.(书P63)问题解决

上述三个问题中,都反映出两个变量之间的关系,当一个变量的取值确定后,另一个变量的值也随之惟一确定。

回忆初中学习的函数的概念?

(书P62页脚)

考察上述函数关系,回答下列问题:

⑴各个函数关系中自变量取值的集合分别是什么?

其中有空集?

●每个问题均涉及两个非空数集A,B。

A

B

问题1

{t|0≤t≤24}

{θ|-2≤θ≤10}

问题2

{1,2,3,…}

{5,10,15,20,…}

问题3

{x|8.5≤x≤18}

{y|127.5<y≤175}

问题4

(0,10)

(0,25]

 

 

⑵各个函数关系中对于自变量的每一个取值,按什么规则找到唯一的因变量值与之对应?

●存在某种对应法则,对于A中任意元素x,B中总有一个元素y与之对应。

〖单值对应〗对于A中的任一个元素x,B中有惟一的元素y与之对应。

或一个输入值对应到惟一的输出值。

【练习1】

1.问题1中的对应t→θ,是否为单值对应?

θ→t是否为单值对应?

2.完成教材第65页练习,这些对应是单值对应吗?

〖总结1〗单值对应为一对一,多对一,而不能一对多。

〖函数的概念〗⑴设A、B是一个非空的数集,如果对于集合A中的任何一个元素x,按照某个确定的法则f,在B中都有惟一确定的元素y与它对应,那么这种对应关系f就称为从A到B的函数,记为y=f(x),其中x为自变量,y为因变量。

函数y=f(x)也可简记为f(x)。

函数y=f(x)在x=a时的函数值记作f(a)。

所有自变量x组成的集合A叫函数的定义域,因变量y的取值集合叫做函数的值域。

⑵函数是建立在两个非空的数集上的单值对应。

⑶函数的三要素:

定义域、对应法则、值域。

⑷一一对应函数:

如果y是x的函数,并且对于值域中任一y,在定义域A中存在惟一的x,使y=f(x),则这样的函数叫做一一对应函数.

三、例题

例1.判断下列对应是否为函数,若是,是否为一一对应函数:

〖小结2〗

判断对应是否为函数,一般从两方面入手:

(1)D中的每一个值是否对对应关系都有意义?

(2)由对应法则f得到的值是否唯一?

函数概念的要点:

⑴两个非空数集A、B。

⑵A中的任一个元素,B中都有惟一的元素与之对应;而B中的元素在A中的对应元素可以不惟一,也可以没有。

例2.(书P40例2)已知函数

,求当x=-1,0,2时的函数值。

点拨:

中的

用一具体值代人时,可直接求出函数式的值,当

中的

用一代数式代入时,可求得另外一个解析式。

提高练习:

(1)用上例求

(2)已知

,求

的解析式。

【练习2】完成教材第40页练习2.

四、课堂练习见上练习1、2

五、课堂小结

1.理解函数的概念。

2.把握函数的“对应关系”,确定自变量,因变量。

六、布置作业

1.完成教材第42页习题1,3

2.完成《学习指导用书》及《教与学》中《函数的概念

(1)》中练习。

课题§3.2函数的表示方法

【教学目标】1.能从不同方式表示的函数关系中获得函数的基本特征;

2.掌握函数的三种表示法。

【教学重点】能用几种方法表示函数

【教学难点】理解解析式、图像法表示函数

【教学过程】

一、阅读并划出三种表示法的定义的关键词

函数的表示法(书P65-66)

(1)列表法

定义:

列出表格来表示两个变量的函数关系。

它的优点是:

不必通过计算就能知道函数对应值。

例:

初中接触过的平方表,平方根表,立方表,立方根表,三角函数表,汽车、火车站的里程价目表等等。

又如:

1990-1994年国民生产总值表(略)。

(2)图象法

定义:

用函数图象表示两个变量之间的关系。

例:

平时作的函数图象:

二次函数、一次函数、反比例函数图象。

又如:

气象台温度的自动记录器,记录的温度随时间变化的曲线(略)

人口出生率变化曲线(略)

它的优点是:

直观形象地表示出函数变化情况。

注意:

函数的图象可以是直线(如:

一次函数)、曲线(如:

抛物线),也可以是折线及一些孤立的点集(或点)。

(3)解析法

定义:

把两个变量的函数关系,用一个等式来表示,这个等式叫做函数的解析表达式。

它的优点是:

关系清楚,容易求函数值、研究性质。

例:

匀速直线运动公式:

(如

圆面积公式:

圆柱表面积:

二次函数

≥2)

二、例题讲解

教学例题6,7

三、课堂练习

1.画出

的图像。

四、课堂小结

1.理解函数三种表示法;

2.会三种函数的表示法间的转化。

五、布置作业

1.完成《教与学》P68联系1

课题§3.3函数的单调性

【教学目标】1.渗透数形结合的数学思想。

2.理解函数单调性的概念,并能判断一些简单函数在给定区间上的单调性。

【教学重点】函数单调性概念。

【教学难点】函数单调性概念。

【教学过程】

【探究活动】

一、创设情境

问题1:

观察下列函数的图象,并指出图象变化趋势。

 

(1)

(2)(3)

 

问题2:

这四个函数在定义域范围内,哪些区间上随自变量x的增大,因变量y也增大,哪些区间上随自变量x的增大,因变量y减小?

二、师生探究

问题3:

如何用数学语言来准确表达函数的单调性?

例如,怎样表述当x的值在区间(0,+

)上增大时,函数y的值也增大?

能否说,由于x=1时,y=3;x=2时,y=5就说随着x的增大,函数值y也随着增大?

能否说,由于x=1,2,3,4,5,…时,相应地y=3,5,7,9,…就说随着x的增大,函数值y也随着增大?

那么单调增函数如何精确定义呢?

一般地,设函数

的定义域为A,区间

.

如果对于区间

内的任意两个值

时都有

,那么就说

在这个区间

上是单调增函数,

称为

的单调增区间。

练习:

指出问题1中各函数的单调增区间。

问题4:

如何定义单调减函数?

如果对于区间

内的任意两个值

时都有

,那么就说

在这个区间

上是单调减函数,

称为

的单调减区间。

练习:

指出问题1中各函数的单调减区间。

如果函数

在某个区间是增函数或减函数。

那么就说函数

在这一区间具有单调性,这一区间叫做

的单调区间。

练习:

指出问题1中各函数的单调区间。

说明:

(1)函数的单调性是在函数的定义域或其子区间上的性质;

(2)函数的单调性是对某个区间而言的,在某一点上不存在单调性;

(3)函数单调性的定义中,实际上含有两层意思:

①对于任意的

,若

,有

,则称

上是增函数;

②若

上是增函数,则当

时,就有

三、数学应用

例1画出下列函数的图象,并写出单调区间:

(1)

(2)

〖总结1〗:

判定或证明函数在某个区间上的单调性的方法步骤:

①取值:

在给定区间上任取两个值

,且

②作差变形:

作差

,通过因式分解、配方、分母有理化等方法变形;

(一般写出因式相乘的形式)

③定号:

判断上述差

的符号,若不能确定,则可分区间讨论;

④结论:

根据差的符号,得出单调性的结论。

四、课堂练习

书P75练习

五、课堂小结

1.函数单调性如何定义的?

单调增函数、单调减函数分别要满足什么条件?

2.怎样判断函数单调性?

有哪些方法?

 

六、布置作业

1、书P75习题3

课题§3.4函数的奇偶性

【教学目标】1.师生共同探究,从形的角度来直观感受,从数的角度进行严格论证。

2.理解奇函数、偶函数的概念,掌握判断函数奇偶性的方法。

【教学重点】奇偶性的概念及函数奇偶性的判定。

【教学难点】奇偶性的概念及函数奇偶性的判定。

【教学过程】

【探究活动】

四、创设情境

“对称”是大自然的一种美,这种“对称美”在数学中也存在吗?

五、师生探究

问题1:

(1)观察下列函数的图象,总结各函数之间的共性。

 

(2)什么叫“关于y轴对称”?

(3)图象是由点构成的,那么关于y轴对称的两个点的坐标之间有什么关系?

(4)上述图象上的每个点都能在其上找到它关于y轴的对称点吗?

总结:

一般地,如果对于函数

的定义域内的任意一个

,都有

,那么称函数

是偶函数。

问题2:

(1)观察下列函数的图象,总结各函数之间的共性。

(2)什么叫“关于原点对称”?

(3)图象是由点构成的,那么关于原点对称的两个点的坐标之间有什么关系?

(4)上述图象上的每个点都能在其上找到它关于原点的对称点吗?

 

总结:

一般地,如果对于函数

的定义域内的任意一个

,都有

,那么称函数

是奇函数。

如果一个函数

是奇函数或偶函数,我们就说它具有奇偶性。

说明:

从函数奇偶性的定义可以看出,具有奇偶性的函数:

(1)其定义域关于原点对称;

(2)

必有一成立。

因此,判断某一函数的奇偶性时,首先看其定义域是否关于原点对称,若对称,再计算

,看是等于

还是等于

,然后下结论;若定义域关于原点不对称,则函数没有奇偶性。

(3)无奇偶性的函数是非奇非偶函数。

(4)函数是奇函数

函数的图象关于原点对称

函数是偶函数

函数的图形关于

轴对称

六、数学应用

例1判断下列函数的奇偶性:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

解:

(2)

函数的定义域为R,关于原点对称.

是奇函数.

〖总结1〗:

判断函数奇偶性的步骤:

①判断函数的定义域是否关于原点对称;

②化简函数表达式;

③比较

的关系。

注:

多项式函数的各项关于自变量的次数为偶(奇)数时,该函数为偶(奇)数。

(常数项即自变量的次数为0)

思考:

判断函数y=c(c为常数)的奇偶性。

(书P57问题解决)

分:

当c=0——既是奇函数又是偶函数

当c

0——偶函数

四、课堂练习

书82习题1—2

五、课堂小结

1.函数的奇偶性是如何定义的?

2.如何判断函数具有奇偶性?

有几种方法?

3.具有奇偶性的函数的图象有何特征?

4.既是奇函数又是偶函数的函数是

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