高中数学第一章算法初步111算法的概念教案新人教A版必修3.docx

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高中数学第一章算法初步111算法的概念教案新人教A版必修3

2019-2020年高中数学第一章算法初步1.1.1算法的概念教案新人教A版必修3

一、课标要求：

1、本章的课标要求包括算法的含义、程序框图、基本算法语句，通过阅读中国古代教学中的算法案例，体会中国古代数学世界数学发展的贡献。

2、算法就是解决问题的步骤，算法也是数学及其应用的重要组成部分，是计算机科学的基础，利用计算机解决问需要算法，在日常生活中做任何事情也都有算法，当然我们更关心的是计算机的算法，计算机可以解决多类信息处理问题，但人们必须事先用计算机熟悉的语言，也就是计算能够理解的语言（即程序设计语言）来详细描述解决问题的步骤，即首先设计程序，对稍复杂一些的问题，直接写出解决该问题的程序是困难的，因此，我们要首先研究解决问题的算法，再把算法转化为程序，所以算法设计是使用计算机解决具体问题的一个极为重要的环节。

3、通过对解决具体问题的过程与步骤的分析（如二元一次方程组的求解等问题），体会算法的思想，了解算法的含义。

理解程序框图的三种基本逻辑结构：

顺序结构、条件结构、循环结构。

理解并掌握几种基本的算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句。

进一步体会算法的基本思想。

4、本章的重点是体会算法的思想，了解算法的含义，通过模仿、操作、探索，经过通过设计程序框图解决问题的过程。

点是在具体问题的解决过程中，理解三种基本逻辑结构，经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程，理解几种基本的算法语句。

二、编写意图与特色：

算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重要基础。

随着现代信息技术飞速发展，算法在科学技术、社会发展中发挥着越来越大的作用，并日益融入社会生活的许多方面，算法思想已经成为现代人应具备的一种数学素养。

需要特别指出的是，中国古代数学中蕴涵了丰富的算法思想。

在本模块中，学生将在义务教育阶段初步感受算法思想的基础上，结合对具体数学实例的分析，体验程序框图在解决问题中的作用；通过模仿、操作、探索，学习设计程序框图表达解决问题的过程；体会算法的基本思想以及算法的重要性和有效性，发展有条理的思考与表达的能力，提高逻辑思维能力。

1、结合熟悉的算法，把握算法的基本思想，学会用自然语言来描述算法。

2、通过模仿、操作和探索，经历设计程序流程图表达解决问题的过程。

在具体问题的解决过程中理解程序流程图的三种基本逻辑结构：

顺序结构、条件结构、循环结构。

3、通过实际问题的学习，了解构造算法的基本程序。

4、经历将具体问题的程序流程图转化为程序语句的过程，理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句，体会算法的基本思想。

5、需要注意的问题

1）从熟知的问题出发，体会算法的程序化思想，而不是简单呈现一些算法。

2）变量和赋值是算法学习的重点之一，因为设置恰当的变量，学习给变量赋值，是构造算法的关键，应作为学习的重点。

3）不必刻意追求最优的算法，把握算法的基本结构和程序化思想才是我们的重点。

4）本章所指的算法基本上是能在计算机上实现的算法。

三、教学内容及课时安排：

1.1算法与程序框图（约2课时）

1.2基本算法语句（约3课时）

1.3算法案例（约5课时）

复习与小结（约2课时）

四、评价建议

1．重视对学生数学学习过程的评价

关注学生在数学语言的学习过程中，是否对用集合语言描述数学和现实生活中的问题充满兴趣；在学习过程中，能否体会集合语言准确、简洁的特征；是否能积极、主动地发展自己运用数学语言进行交流的能力。

2．正确评价学生的数学基础知识和基本技能

关注学生在本章（节）及今后学习中，让学生集中学习算法的初步知识，主要包括算法的基本结构、基本语句、基本思想等。

算法思想将贯穿高中数学课程的相关部分，在其他相关部分还将进一步学习算法

1．1．1算法的概念

一、教学目标：

1、知识与技能：

（1）了解算法的含义，体会算法的思想。

（2）能够用自然语言叙述算法。

（3）掌握正确的算法应满足的要求。

（4）会写出解线性方程（组）的算法。

（5）会写出一个求有限整数序列中的最大值的算法。

（6）会应用Scilab求解方程组。

2、过程与方法：

通过求解二元一次方程组，体会解方程的一般性步骤，从而得到一个解二元一次方程组的步骤，这些步骤就是算法，不同的问题有不同的算法。

由于思考问题的角度不同，同一个问题也可能有多个算法，能模仿求解二元一次方程组的步骤，写出一个求有限整数序列中的最大值的算法。

3、情感态度与价值观：

通过本节的学习，使我们对计算机的算法语言有一个基本的了解，明确算法的要求，认识到计算机是人类征服自然的一各有力工具，进一步提高探索、认识世界的能力。

二、重点与难点：

重点：

算法的含义、解二元一次方程组和判断一个数为质数的算法设计。

难点：

把自然语言转化为算法语言。

三、学法与教学用具：

学法：

1、写出的算法，必须能解决一类问题（如：

判断一个整数n（n>1）是否为质数；求任意一个方程的近似解；……），并且能够重复使用。

2、要使算法尽量简单、步骤尽量少。

3、要保证算法正确，且计算机能够执行，如：

让计算机计算1×2×3×4×5是可以做到的，但让计算机去执行“倒一杯水”“替我理发”等则是做不到的。

教学用具：

电脑，计算器，图形计算器

四、教学设想：

1、创设情境：

算法作为一个名词，在中学教科书中并没有出现过，我们在基础教育阶段还没有接触算法概念。

但是我们却从小学就开始接触算法，熟悉许多问题的算法。

如，做四则运算要先乘除后加减，从里往外脱括弧，竖式笔算等都是算法，至于乘法口诀、珠算口诀更是算法的具体体现。

我们知道解一元二次方程的算法，求解一元一次不等式、一元二次不等式的算法，解线性方程组的算法，求两个数的最大公因数的算法等。

因此，算法其实是重要的数学对象。

2、探索研究

算法（algorithm）一词源于算术（algorism），即算术方法，是指一个由已知推求未知的运算过程。

后来，人们把它推广到一般，把进行某一工作的方法和步骤称为算法。

广义地说，算法就是做某一件事的步骤或程序。

菜谱是做菜肴的算法，洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法，歌谱是一首歌曲的算法。

在数学中，主要研究计算机能实现的算法，即按照某种机械程序步骤一定可以得到结果的解决问题的程序。

比如解方程的算法、函数求值的算法、作图的算法，等等。

3、例题分析：

例1任意给定一个大于1的整数n，试设计一个程序或步骤对n是否为质数做出判定。

算法分析：

根据质数的定义，很容易设计出下面的步骤：

第一步：

判断n是否等于2，若n=2，则n是质数；若n>2，则执行第二步。

第二步：

依次从2至（n-1）检验是不是n的因数，即整除n的数，若有这样的数，则n不是质数；若没有这样的数，则n是质数。

这是判断一个大于1的整数n是否为质数的最基本算法。

例2用二分法设计一个求议程x2–2=0的近似根的算法。

算法分析：

回顾二分法解方程的过程，并假设所求近似根与准确解的差的绝对值不超过0.005，则不难设计出以下步骤：

第一步：

令f（x）=x2–2。

因为f

（1）<0，f

（2）>0，所以设x1=1，x2=2。

第二步：

令m=（x1+x2）/2，判断f（m）是否为0，若则，则m为所长；若否，则继续判断f（x1）·f（m）大于0还是小于0。

第三步：

若f（x1）·f（m）>0，则令x1=m；否则，令x2=m。

第四步：

判断|x1–x2|<0.005是否成立？

若是，则x1、x2之间的任意取值均为满足条件的近似根；若否，则返回第二步。

小结：

算法具有以下特性：

（1）有穷性；

（2）确定性；（3）顺序性；（4）不惟一性；（5）普遍性

典例剖析：

1、基本概念题

x-2y=-1,①

例3写出解二元一次方程组的算法

2x+y=1②

解：

第一步，②-①×2得5y=3；③

第二步，解③得y=3/5；

第三步，将y=3/5代入①，得x=1/5

学生做一做：

对于一般的二元一次方程组来说，上述步骤应该怎样进一步完善？

老师评一评：

本题的算法是由加减消元法求解的，这个算法也适合一般的二元一次方程组的解法。

下面写出求方程组

的解的算法：

第一步：

②×A1-①×A2，得（A1B2-A2B1）y+A1C2-A2C1=0；③

第二步：

解③，得；

第三步：

将代入①，得。

此时我们得到了二元一次方程组的求解公式，利用此公司可得到倒2的另一个算法：

第一步：

取A1=1，B1=-2，C1=1，A2=2，B2=1，C2=-1；

第二步：

计算与

第三步：

输出运算结果。

可见利用上述算法，更加有利于上机执行与操作。

基础知识应用题

例4写出一个求有限整数列中的最大值的算法。

解：

算法如下。

S1先假定序列中的第一个整数为“最大值”。

S2将序列中的下一个整数值与“最大值”比较，如果它大于此“最大值”，这时你就假定“最大值”是这个整数。

S3如果序列中还有其他整数，重复S2。

S4在序列中一直到没有可比的数为止，这时假定的“最大值”就是这个序列中的最大值。

学生做一做写出对任意3个整数a,b,c求出最大值的算法。

老师评一评在例2中我们是用自然语言来描述算法的，下面我们用数学语言来描述本题的算法。

S1max=a

S2如果b>max,则max=b.

S3如果C>max,则max=c.

S4max就是a,b,c中的最大值。

综合应用题

例5写出求1+2+3+4+5+6的一个算法。

分析：

可以按逐一相加的程序进行，也可以利用公式1+2+…+n=进行，也可以根据加法运算律简化运算过程。

解：

算法1：

S1：

计算1+2得到3；

S2：

将第一步中的运算结果3与3相加得到6；

S3：

将第二步中的运算结果6与4相加得到10；

S4：

将第三步中的运算结果10与5相加得到15；

S5：

将第四步中的运算结果15与6相加得到21。

算法2：

S1：

取n=6；

S2：

计算；

S3：

输出运算结果。

算法3：

S1：

将原式变形为（1+6）+（2+5）+（3+4）=3×7；

S2：

计算3×7；

S3：

输出运算结果。

小结：

算法1是最原始的方法，最为繁琐，步骤较多，当加数较大时，比如1+2+3+…+10000，再用这种方法是行不通的；算法2与算法3都是比较简单的算法，但比较而言，算法2最为简单，且易于在计算机上执行操作。

学生做一做求1×3×5×7×9×11的值，写出其算法。

老师评一评算法1；第一步，先求1×3，得到结果3；

第二步，将第一步所得结果3再乘以5，得到结果15；

第三步，再将15乘以7，得到结果105；

第四步，再将105乘以9，得到945；

第五步，再将945乘以11，得到10395，即是最后结果。

算法2：

用P表示被乘数，i表示乘数。

S1使P=1。

S2使i=3

S3使P=P×i

S4使i=i+2

S5若i≤11，则返回到S3继续执行；否则算法结束。

小结由于计算机动是高速计算的自动机器，实现循环的语句。

因此，上述算法2不仅是正确的，而且是在计算机上能够实现的较好的算法。

在上面的算法中，S3，S4，S5构成一个完整的循环，这里需要说明的是，每经过一次循环之后，变量P、i的值都发生了变化，并且生循环一次之后都要在步骤S5对i的值进行检验，一旦发现i的值大于11时，立即停止循环，同时输出最后一个P的值，对于循环结构的详细情况，我们将在以后的学习中介绍。

4、课堂小结

本节课主要讲了算法的概念，算法就是解决问题的步骤，平时列论我们做什么事都离不开算法，算法的描述可以用自然语言，也可以用数学语言。

例如，某同学要在下午到体育馆参加比赛，比赛下午2时开始，请写出该同学从家里发到比赛地的算法。

若用自然语言来描述可写为

（1）1:

00从家出发到公共汽车站

（2）1:

10上公共汽车

（3）1:

40到达体育馆

（4）1:

45做准备活动。

（5）2:

00比赛开始。

若用数学语言来描述可写为：

S11:

00从家出发到公共汽车站

S21:

10上公共汽车

S31:

40到达体育馆

S41:

45做准备活动

S52:

00比赛开始

大家从中要以看出，实际上两种写法无本质区别，但我们在书写时应尽量用教学语言来描述，它的优越性在以后的学习中我们会体会到。

5、自我评价

1、写出解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个算法。

2、写出求1至1000的正数中的3倍数的一个算法（打印结果）

6、评价标准

1、解：

算法如下

S1计算△=b2-4ac

S2如果△〈0，则方程无解；否则x1=

S3输出计算结果x1，x2或无解信息。

2、解：

算法如下：

S1使i=1

S2i被3除，得余数r

S3如果r=0，则打印i，否则不打印

S4使i=i+1

S5若i≤1000,则返回到S2继续执行，否则算法结束。

7、作业：

1、写出解不等式x2-2x-3<0的一个算法。

解：

第一步：

x2-2x-3=0的两根是x1=3，x2=-1。

第二步：

由x2-2x-3<0可知不等式的解集为{x|-1

评注：

该题的解法具有一般性，下面给出形如ax2+bx+c>0的不等式的解的步骤（为方便，我们设a>0）如下：

第一步：

计算△=；

第二步：

若△>0，示出方程两根（设x1>x2），则不等式解集为{x|x>x1或x

第三步：

若△=0，则不等式解集为{x|x∈R且x}；

第四步：

若△<0，则不等式的解集为R。

2、求过P（a1,b1）、Q（a2,b2）两点的直线斜率有如下的算法：

第一步：

取x1=a1，y1=b1，x2=a2，y1=b2；

第二步：

若x1=x2；

第三步：

输出斜率不存在；

第四步：

若x1≠x2；

第五步：

计算；

第六步：

输出结果。

3、写出求过两点M（-2,-1）、N（2,3）的直线与坐标轴围成面积的一个算法。

解：

算法：

第一步：

取x1=-2，y1=-1，x2=2，y2=3；

第二步：

计算；

第三步：

在第二步结果中令x=0得到y的值m，得直线与y轴交点（0,m）；

第四步：

在第二步结果中令y=0得到x的值n，得直线与x轴交点（n,0）；

第五步：

计算S=；

第六步：

输出运算结果

2019-2020年高中数学第一章算法初步1.1.1算法的概念课后提升作业含解析新人教A版必修

一、选择题（每小题5分，共40分）

1.我们学习的算法不同于求解一个具体问题的方法，下列要求中正确的是（）

A.写出的算法，必须能解决一类问题，并且能重复使用

B.求解某个问题的算法是唯一的

C.算法过程要一步一步执行，每一步执行的操作，必须确切，不能含混不清，而且经过有限步或无限步后能得出结果

D.算法要求按部就班地做，每一步可以有不同的结果

【解析】选A.根据算法的特征知A正确.

2.在用二分法求方程零点的算法中，下列说法正确的是（）

A.这个算法可以求所有的零点

B.这个算法可以求任何方程的零点

C.这个算法能求所有零点的近似解

D.这个算法可以求变号零点的近似解

【解析】选D.二分法的理论依据是函数的零点存在定理，它解决的是求变号零点的问题，并不能求所有零点的近似值.

3.关于一元二次方程x2-5x+6=0的求根问题，下列说法正确的是（）

A.只能设计一种算法

B.可以设计两种算法

C.不能设计算法

D.不能根据解题过程设计算法

【解析】选B.算法具有不唯一性，对于一个问题，我们可以设计不同的算法.

4.计算下列各式中的S值，能设计算法求解的是（）

①S=1+2+3+…+100;

②S=1+2+3+…+100+…;

③S=1+2+3+…+n（n≥1,且n∈N）.

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【解析】选B.②中的S值是不确定的，非有限步之内能够完成的.

5.已知算法：

第一步，输入n；

第二步，判断n是否是2,

若n=2,则n满足条件；

若n>2，则执行第三步;

第三步，依次检验从2到n-1的整数能不能整除n，若不能整除n,满足条件.上述满足条件的数是（）

A.质数B.奇数C.偶数D.4的倍数

【解析】选A.该算法是判断一个数除1和它本身之处是否还有其他约数.故满足条件的数是质数.

6.已知直角三角形两直角边长为a,b，求斜边长c的一个算法分下列三步：

①计算c=；②输入两直角边长a,b的值；③输出斜边长c的值.其中正确的顺序为（）

A.①②③B.②③①

C.①③②D.②①③

【解析】选D.按照解决这类问题的步骤，应该先输入两直角边长.再由勾股定理求出斜边长，输出斜边长.

7.下列说法中，叙述不正确的是（）

A.算法可以理解为由基本运算及规定的运算顺序构成的完整的解题步骤

B.算法可以看成按要求设计好的、有限的、明确的计算序列，并且这样的步骤或序列能够解决一类问题

C.算法只是在计算机产生之后才有的

D.描述算法有不同的方式，可以用日常语言和数学语言等

【解析】选C.计算机只是执行算法的工具之一，生活中有些问题还是非计算机能解决的.

8.如图,汉诺塔问题是指有3根杆子A,B,C,杆上有若干碟子,把所有的碟子从B杆移到A杆上,每次只能移动一个碟子,大的碟子不能叠在小的碟子上面,把B杆上的3个碟子全部移动到A杆上,则最少需要移动的次数是（）

A.12B.9C.6D.7

【解析】选D.由上至下三个碟子用a,b,c表示,移动过程如下:

a→A,b→C,a→C,c→A,a→B,b→A,a→A,共移动7次.

二、填空题（每小题5分，共10分）

9.已知一个学生的语文成绩为89分，数学成绩为96分，外语成绩为99分.求他的总分和平均分的一个算法为：

第一步，取A=89，B=96,C=99.

第二步，____________________________________________________.

第三步，____________________________________________________.

第四步，输出计算的结果.

【解析】因为该算法是计算三科的平均分，故第二步应该求和，第三步计算平均分.

答案:

计算总分D=A+B+C计算平均分E=

【补偿训练】（xx·东莞高一检测）请说出下面算法要解决的问题

_________________________________________________.

第一步，输入三个不同的数，并分别用a，b，c表示.

第二步，比较a与b的大小，如果a

第三步，比较a与c的大小，如果a

第四步，比较b与c的大小，如果b

第五步，输出a,b,c.

【解析】第一步是给a，b，c赋值.

第二步运行后a>b.

第三步运行后a>c.

第四步运行后b>c，所以a>b>c.

第五步运行后，显示a,b,c的值，且从大到小排列.

答案:

输入三个不同的数a，b，c，并按从大到小的顺序输出

10.（xx·天津高一检测）结合下面的算法：

第一步，输入x.

第二步,判断x是否小于0，若是，则输出3x+2，

否则执行第三步.

第三步,输出x2+1.

当输入的x的值分别为-1,0,1时，输出的结果分别为__________、__________、__________.

【解题指南】按算法步骤逐一执行，即可求得结果.

【解析】当x=-1时，-1＜0，输出3×（-1）+2=-1，

当x=0时，0=0，输出02+1=1，

当x=1时，1＞0，输出12+1=2.

答案:

-112

三、解答题（每小题10分，共20分）

11.已知直线l1：

3x-y+12=0和直线l2：

3x+2y-6=0，设计算法求l1和l2及y轴所围成的三角形的面积.

【解题指南】先求出三角形的三个顶点的坐标，再求出任意一边及该边上高的长度，最后求出三角形的面积.

【解析】第一步，解方程组得l1,l2的交点为P（-2,6）;

第二步，在方程3x-y+12=0中令x=0，得y=12，从而得到l1与y轴的交点为A（0,12）；

第三步，在方程3x+2y-6=0中令x=0，得y=3，从而得到l2与y轴的交点为B（0,3）;

第四步，求出△ABP的边长|AB|=12-3=9；

第五步，求出△ABP的边AB上的高h=2；

第六步，根据三角形的面积公式计算S=·|AB|·h=×9×2=9；

第七步，输出S.

12.（xx·包头高一检测）函数y=

写出给定自变量x，求函数值的算法.

【解析】算法如下：

第一步，输入x.

第二步，若x>0，则令y=-x+1后执行第五步，否则执行第三步.

第三步，若x=0，则令y=0后执行第五步，否则执行第四步.

第四步，令y=x+1；

第五步，输出y的值.

【补偿训练】某铁路部门规定甲、乙两地之间旅

客托运行李的费用为：

其中ω（单位：

kg）为行李的质量，如何设计计算托运费用c（单位：

元）的算法.

【解析】第一步，输入行李的质量ω.

第二步，如果ω≤50，则令c=0.53×ω，否则执行第三步.

第三步，c=50×0.53+（ω-50）×0.85.

第四步，输出托运费c.

【能力挑战题】一箱苹果，4个4个地数，最后余下1个；5个5个地数，最后余下2个；9个9个地数，最后余下7个.请设计一种算法，求出这箱苹果至少有多少个.

【解题指南】寻找共同满足三种数法的最小值.

【解析】第一步,确定最小的除以9余7的正整数：

7.

第二步,依次加9就得到所有除以9余7的正整数：

7，16，25，34，43，52,….

第三步,在第二步得到的一列数中确定最小的除以5余2的正整数：

7.

第四步,然后依次加上45，得到：

7，52，97,….

第五步,在第四步得到的一列数中找出最小的满足除以4余1的正整数：

97.

因此,这箱苹果至少有97个.