高三数学第一轮复习巩固与练习空间中的垂直关系.docx

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高三数学第一轮复习巩固与练习空间中的垂直关系

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高三数学第一轮复习巩固与练习：

空间中的垂直关系

一、选择题（共9小题，每小题4分，满分36分）

1．PA垂直于正方形ABCD所在平面，连接PB，PC，PD，AC，BD，则下列垂直关系正确的是（　　）

①面PAB⊥面PBC②面PAB⊥面PAD

③面PAB⊥面PCD④面PAB⊥面PAC

A．①②

B．①③

C．②③

D．②④

2．设a、b、c表示三条直线，α、β表示两个平面，则下列命题的逆命题不成立的是（　　）

A．c⊥α，若c⊥β，则α∥β

B．b⊂α，c⊄α，若c∥α，则b∥c

C．b⊂β，若b⊥α，则β⊥α

D．b⊂β，c是a在β内的射影，若b⊥c，则b⊥a

3．若l、m、n是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（　　）

A．若α∥β，l⊂α，n⊂β，则l∥n

B．若α⊥β，l⊂α，则l⊥β

C．若l⊥n，m⊥n，则l∥m

D．若l⊥α，l∥β，则α⊥β

4．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中为真命题的是（　　）

A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥α

B．若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥β

C．若α⊥γ，α⊥β，则β∥γ

D．若m⊥β，m∥α，则α⊥β

5．设a、b是不同的直线，α、β是不同的平面，则下列四个命题中正确的是（　　）

A．若a⊥b，a⊥α，则b∥α

B．若a∥α，α⊥β，则a⊥β

C．若a⊥β，α⊥β，则a∥α

D．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β

6．如图所示，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，BC1⊥AC，则C1在面ABC上的射影H必在（　　）

A．直线AB上

B．直线BC上

C．直线CA上

D．△ABC内部

7．如图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB=90°，M为AB中点，PM垂直于△ABC所在平面，那么（　　）

A．PA=PB＞PC

B．PA=PB＜PC

C．PA=PB=PC

D．PA≠PB≠PC

8．在二面角α-l-β的两个面α，β内，分别有直线a，b，它们与棱l都不垂直，则（　　）

A．当该二面角是直二面角时，可能a∥b，也可能a⊥b

B．当该二面角是直二面角时，可能a∥b，但不可能a⊥b

C．当该二面角不是直二面角时，可能a∥b，但不可能a⊥b

D．当该二面角不是直二面角时，不可能a∥b，也不可能a⊥b

9．在正四面体P-ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是（　　）

A．BC∥平面PDF

B．DF⊥平面PAE

C．平面PDF⊥平面ABC

D．平面PAE⊥平面ABC

二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）

10．已知a、b是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：

①若a⊥α，a⊥β，则α∥β；

②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；

③若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b；

④若α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，则a∥b．

其中正确命题的序号有①④

．

11．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足DM⊥PC（或BM⊥PC等）

时，平面MBD⊥平面PCD．（只要填写一个你认为是正确的条件即可）

12．已知m，n是直线，α、β、γ是平面，给出下列命题：

①α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；

②若n⊥α，n⊥β，则α∥β；

③若n⊄α，m⊄α且n∥β，m∥β，则α∥β；

④若m，n为异面直线，n⊂α，n∥β，m⊂β，m∥α，则α∥β．

则其中正确的命题是②④

．（把你认为正确的命题序号都填上）

13．在正四棱锥P-ABCD中，PA=

AB，M是BC的中点，G是△PAD的重心，则在平面PAD中经过G点且与直线PM垂直的直线有无数

条．

14．如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长是1，过A点作平面A1BD的垂线，垂足为点H，有下列三个命题：

①点H是△A1BD的中心；

②AH垂直于平面CB1D1；

③AC1与B1C所成的角是90°．

其中正确命题的序号是①②③

．

三、解答题（共4小题，满分0分）

15．如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．求证：

（1）直线EF∥面ACD；

（2）平面EFC⊥面BCD．

16．如图，已知矩形ABCD中，AB=10，BC=6，沿矩形的对角线BD把△ABD折起，使A移到A1点，且A1在平面BCD上的射影O恰好在CD上．

求证：

（1）BC⊥A1D；

（2）平面A1BC⊥平面A1BD．

解析

17．如图所示，△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2a，CD=a，F是BE的中点．

（1）求证：

DF∥平面ABC；

（2）求证：

AF⊥BD．

VIP显示解析

18．如图所示，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，DB=BC，DB⊥AC，点M是棱BB1上一点．

（1）求证：

B1D1∥面A1BD；

（2）求证：

MD⊥AC；

（3）试确定点M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D．

1.解析考点：

平面与平面垂直的判定．

专题：

证明题．

分析：

由于PA垂直于正方形ABCD所在平面，所以PA所在的平面与底面垂直，

又ABCD为正方形，故又存在一些线线垂直关系，从而可以得到线面垂直，

进而可以判定面面垂直．

解答：

证明：

由于BC⊥AB，由PA垂直于正方形ABCD所在平面，所以BC⊥PA，

易证BC⊥平面PAB，则平面PAB⊥平面PBC；又AD∥BC，故AD⊥平面PAB，

则平面PAD⊥平面PAB．

故选A．

点评：

本题考查面面垂直的判定定理的应用，要注意转化思想的应用，将面面垂直转化为线面垂直．

2.解析考点：

空间中直线与平面之间的位置关系．

专题：

阅读型．

分析：

选项A的逆命题是c⊥α，若α∥β，则c⊥β，根据面面平行的性质定理可判定，选项B的逆命题是b⊂α，c⊄α，若b∥c，则c∥α，根据线面平行的判定定理可知正确，对于C的逆命题根据平面垂直的性质定理可知不正确，选项D的逆命题是b⊂β，c是a在β内的射影，若b⊥a，则b⊥c，根三垂线的逆定理可知正确．

解答：

解：

选项A的逆命题是c⊥α，若α∥β，则c⊥β，根据面面平行的性质定理，可知成立

选项B的逆命题是b⊂α，c⊄α，若b∥c，则c∥α，根据线面平行的判定定理，可知成立

C选项的逆命题为b⊂β，若β⊥α则b⊥α．不正确，因为根据平面垂直的性质定理，如果两个平面垂直，其中一个平面内的直线只有垂直于交线的才垂直另一个平面．

选项D的逆命题是b⊂β，c是a在β内的射影，若b⊥a，则b⊥c，根三垂线的逆定理可知正确．

故选C．

点评：

本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，考查对基础知识的综合应用能力和基本定理的掌握能力，属于基础题．

3.解析考点：

空间中直线与平面之间的位置关系．

分析：

对于A，考虑空间两直线的位置关系和面面平行的性质定理；

对于B，考虑线面垂直的判定定理及面面垂直的性质定理；

对于C，考虑空间两条直线的位置关系及平行公理；

对于D，考虑面面垂直的判定定理．

解答：

解：

选项A中，l除平行n外，还有异面的位置关系，则A不正确．

选项B中，l与β的位置关系有相交、平行、在β内三种，则B不正确．

选项C中，l与m的位置关系还有相交和异面，故C不正确．

选项D中，由l∥β，设经过l的平面与β相交，交线为c，则l∥c，又l⊥α，故c⊥α，又c⊂β，所以α⊥β，正确．

故选D．

点评：

本题考查空间直线位置关系问题及判定，及面面垂直、平行的判定与性

4.解析考点：

空间中直线与平面之间的位置关系．

专题：

阅读型．

分析：

对于选项A直线m可能与平面α斜交，对于选项B可根据三棱柱进行判定，对于选项C列举反例，如正方体同一顶点的三个平面，对于D根据面面垂直的判定定理进行判定即可．

解答：

解：

对于选项D，若m∥α，则过直线m的平面与平面α相交得交线n，由线面平行的性质定理可得m∥n，又m⊥β，故n⊥β，且n⊂α，故由面面垂直的判定定理可得α⊥β．

故选D

点评：

本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，以及面面垂直的判定定理，同时考查了推理能力，属于基础题．

5.解析考点：

平面与平面之间的位置关系．

专题：

综合题．

分析：

根据线面平行的判定方法，可以判断A，C的对错，根据线面垂直的判定方法，可以判断B，D的真假，对四个答案逐一进行分析后，易得到答案．

解答：

解：

A中，b可能在α内；

B中，a可能在β内，也可能与β平行或相交（不垂直）；

C中，a可能在α内；

D中，a⊥b，a⊥α，则b⊂α或b∥α，又b⊥β，∴α⊥β．

故选D．

点评：

本题考查的知识点是平面与直线之间的关系，熟练掌握空间线与面平行与垂直之间的关系及其转化是解答本题的关键．

6.解析考点：

平面与平面垂直的判定；棱柱的结构特征．

分析：

如图，C1在面ABC上的射影H必在两个相互垂直平面的交线上，所以证明面ABC⊥面ABC1就可以了．

解答：

解：

CA⊥AB，CA⊥BC1⇒CA⊥面ABC1⇒面ABC⊥面ABC1，

∴过C1作垂直于平面ABC的线在面ABC1内，也在面ABC内

∴点H在两面的交线上，即H∈AB．

故选A

点评：

本题通过射影问题来考查线面垂直和面面垂直问题

7.解析考点：

直线与平面垂直的性质；棱锥的结构特征．

专题：

常规题型．

分析：

在下底面内找出MA=MB=MC，再利用射影长相等斜线段相等就可选答案．

解答：

解：

∵M是Rt△ABC斜边AB的中点，

∴MA=MB=MC．

又∵PM⊥平面ABC，

∴MA、MB、MC分别是PA、PB、PC在平面ABC上的射影，

∴PA=PB=PC．

应选C．

点评：

本题考查从同一点出发的斜线段与对应射影长之间的关系，是对线面垂直性质的应用，是基础题．

8.解析考点：

平面与平面垂直的性质．

专题：

综合题．

分析：

由题意画出图形，说明a⊥b与题意矛盾，排除A，a，b是异面直线，显然C错误，当该二面角不是直二面角时，不可能a∥b，可能a⊥b，所以D不正确．

解答：

解：

当该二面角为直二面角时（如图），若a⊥b，

∵b与l不垂直，在b上取点A，过A作AB⊥l，AB∩b=A，

由

⇒

⇒a⊥β⇒a⊥l．

这和a与l不垂直相矛盾．

∴不可能a⊥b．故A错误，a，b是异面直线，显然C错误；

当该二面角不是直二面角时，不可能a∥b，可能a⊥b，所以D不正确．

∴a，b都与l平行时，B正确．

故选B．

点评：

本题是基础题，考查异面直线的位置关系，平面与平面所成二面角的位置关系，考查基本知识掌握的熟练程度以及空间想象能力

9.解析考点：

平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．

专题：

计算题．

分析：

正四面体P-ABC即正三棱锥P-ABC，所以其四个面都是正三角形，在正三角形中，联系选项B、C、D中有证明到垂直关系，应该联想到“三线合一”．D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，由中位线定理可得BC∥DF，所以BC∥平面PDF，进而可得答案．

解答：

解：

由DF∥BC可得BC∥平面PDF，故A正确．

若PO⊥平面ABC，垂足为O，则O在AE上，则DF⊥PO，又DF⊥AE

故DF⊥平面PAE，故B正确．

由DF⊥平面PAE可得，平面PAE⊥平面ABC，故D正确．

故选C．

点评：

本小题考查空间中的线面关系，正三角形中“三线合一”，中位线定理等基础知识，考查空间想象能力和思维能力．

10.解析考点：

平面与平面平行的性质．

专题：

分析法．

分析：

对于①若a⊥α，a⊥β，则α∥β；垂直于同一直线的两平面平行，正确．

对于②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；垂直于一个平面的两个平面也有可能垂直，故错误

对于③若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b；两平面平行并不能推出平面里的直线平行．故错误．

对于④若α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，则a∥b．面面平行，被第三平面截得的两条直线平行，故正确．即可得到答案．

解答：

解：

因为已知a、b是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，

①若a⊥α，a⊥β，则α∥β；因为垂直于同一直线的两平面平行，显然①正确；

②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；设α，β，γ分别是坐标平面，即可验证错误．

③若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b；a、b也可异面，显然③错误．

④若α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，则a∥b．由面面平行性质知，a∥b，故④正确．

故答案为①④．

点评：

此题主要考查平面与平面平行的性质，属于概念性质理解的问题，题目比较简单且无计算量，属于基础题目．

11.解析考点：

平面与平面垂直的判定．

专题：

综合题；探究型．

分析：

由题意要得到平面MBD⊥平面PCD，容易推得AC⊥BD，只需AC垂直平面MBD内的与BD相交的直线即可．

解答：

解：

由定理可知，BD⊥PC．

∴当DM⊥PC（或BM⊥PC）时，即有PC⊥平面MBD，

而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD．

故选DM⊥PC（或BM⊥PC等）

点评：

本题考查直线与平面平行与垂直的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是基础题

12.解析考点：

平面与平面之间的位置关系．

专题：

证明题．

分析：

本题可借助正方体模型辅助判断

①α⊥γ，β⊥γ，则α∥β，通过讨论三面之间的位置关系进行判断；

②若n⊥α，n⊥β，则α∥β，通过探究垂直于同一直线的两个平面的位置关系进行判断；

③若n⊄α，m⊄α且n∥β，m∥β，则α∥β，通过面面平行的判定定理进行判断；

④若m，n为异面直线，n⊂α，n∥β，m⊂β，m∥α，则α∥β，通过面面平行的判定定理进行判断．

解答：

解：

依题意可构造正方体ABCD-A1B1C1D1，如图所示，在正方体中逐一判断各命题易得正确的命题是②④．

①α⊥γ，β⊥γ，则α∥β，不正确，如图形知垂直于同一个平面的两个平面可能相交；

②若n⊥α，n⊥β，则α∥β，正确，由图形知垂直于同一条直线的两个平面平行；

③若n⊄α，m⊄α且n∥β，m∥β，则α∥β，不正确，n⊄α，m⊄α，故所做的判断与α没有关系，设问错误；

④若m，n为异面直线，n⊂α，n∥β，m⊂β，m∥α，则α∥β，正确，由图形及面面平行的判定定理可以判断出．故答案为：

②④．

点评：

本题考查平面与平面之间的位置关系，此类问题的判断过程中借助实物图形辅助判断是一个好办法．

13.解析考点：

空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面垂直的判定．

专题：

计算题；综合题；探究型．

分析：

根据正四棱锥P-ABCD中，PA=

AB，M是BC的中点，利用勾股定理即可求出PM与AB的关系，利用勾股定理证明PM⊥PN，利用线面垂直的判定定理可证PM⊥面PAD，因此可求平面PAD中经过G点且与直线PM垂直的直线的条数．

解答：

解：

设正四棱锥的底面边长为a，则侧棱长为

a．

由PM⊥BC，∴PM=

a．连接PG并延长与AD相交于N点

则PN=

a，MN=AB=a，

∴PM2+PN2=MN2，

∴PM⊥PN，又PM⊥AD，

∴PM⊥面PAD，

∴在平面PAD中经过G点的任意一条直线都与PM垂直．

故答案为无数．

点评：

此题是个中档题．考查直线与平面垂直的判断和性质定理，以及空间中直线的位置关系，学生利用知识分析解决问题的能力．

14.解析考点：

棱柱的结构特征．

专题：

综合题．

分析：

由题意判断A-A1BD是一个正三棱锥，说明H是三角形A1BD的中心，判断①的正误；推出AH⊥平面CB1D1，判断②的正误；说明AC1与B1C垂直，判断③的正误．

解答：

解：

由于ABCD-A1B1C1D1是正方体，所以A-A1BD是一个正三棱锥，因此A点在平面A1BD上的射影H是三角形A1BD的中心，故①正确；

又因为平面CB1D1与平面A1BD平行，所以AH⊥平面CB1D1，故②正确；

从而可得AC1⊥平面CB1D1，即AC1与B1C垂直，所成的角等于90°，③正确．

故答案为：

①②③

点评：

本题是基础题，考查正方体的有关直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系，考查空间想象能力．

15.考点：

平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．

专题：

计算题；证明题．

分析：

（Ⅰ）△ABD中根据中位线定理，得EF∥AD，结合AD⊥BD得EF⊥BD．再在等腰△BCD中，得到CF⊥BD，结合线面垂直的判定定理，得出BD⊥面EFC，从而得到平面EFC⊥平面BCD．

（2）根据平面ABD⊥平面BCD，结合面面垂直的性质定理，可证出AD⊥面BCD，得AD是三棱锥A-BCD的高，计算出等边△BCD的面积，利用锥体体积公式算出三棱锥A-BCD的体积，即可得到三棱锥B-ADC的体积．

解答：

解：

（Ⅰ）∵△ABD中，E、F分别是AB，BD的中点，

∴EF∥AD．…（1分）

∵AD⊥BD，∴EF⊥BD．…（2分）

∵△BCD中，CB=CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD．…（3分）

∵CF∩EF=F，∴BD⊥面EFC．…（5分）

∵BD⊂面BDC，∴平面EFC⊥平面BCD．…（6分）

（Ⅱ）∵面ABD⊥面BCD，面ABD∩面BCD=BD，AD⊥BD，

∴AD⊥面BCD，得AD是三棱锥A-BCD的高．…（8分）

∵BD=BC=1且CB=CD，∴△BCD是正三角形．…（10分）

因此，S△BCD=

×1×

=

，

∴三棱锥B-ADC的体积为VB-ACD=VA-BCD=

S△BCD•AD=

×

×1=

．…（12分）

点评：

本题在特殊的四面体中，证明面面垂直并且求锥体的体积，着重考查了线面垂直、面面垂直的判定与性质和锥体体积公式等知识，属于基础题．