与名师对话理空间几何体的结构三视图和直观图.docx

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与名师对话理空间几何体的结构三视图和直观图

第一节　空间几何体的结构、三视图和直观图

高考概览：

1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；2.能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图；3.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．

[知识梳理]

1．多面体的结构特征

2．旋转体的形成

几何体

旋转图形

旋转轴

圆柱

矩形

任一边所在的直线

圆锥

直角三角形

任一直角边所在的直线

圆台

直角梯形

垂直于底边的腰所在的直线

球

半圆

直径所在的直线

3.空间几何体的三视图

（1）三视图的名称

几何体的三视图包括：

正视图、侧视图、俯视图．

（2）三视图的画法

①在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线．

②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察到的几何体的正投影图．

4．空间几何体的直观图

空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是

（1）原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．

（2）原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段在直观图中长度变为原来的一半．

[辨识巧记]

1．三类特殊多面体

（1）直棱柱：

侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱．

（2）正棱柱：

正棱柱是侧棱都垂直于底面，且底面是正多边形的棱柱．

（3）正棱锥：

底面是正多边形，且顶点在底面的投影为底面中心的棱锥为正棱锥．

2．一个结论

利用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图的面积是原来图形的倍．

3．旋转体三视图的常见结论

（1）球的三视图都是半径相等的圆．

（2）水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形．

（3）水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形．

（4）水平放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形．

[双基自测]

1．判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．（　　）

（2）有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．（　　）

（3）用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45°.（　　）

（4）正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．（　　）

[答案]　

（1）×　

（2）×　（3）×　（4）×

2．下列说法正确的是（　　）

A．棱柱的侧面都是矩形

B．棱柱的侧棱都相等

C．棱柱的棱都平行

D．棱柱的侧棱总与底面垂直

[解析]　由棱柱的定义知，棱柱的侧面都是平行四边形，不一定都是矩形，故A不正确；而平行四边形的对边相等，故侧棱都相等，所以B正确；对选项C，侧棱都平行，但底面多边形的边（也是棱）不一定平行，所以错误；棱柱的侧棱可以与底面垂直也可以不与底面垂直，故D不正确．故选B.

[答案]　B

3．（必修2P10，练习T1改编）

如图，长方体ABCD－A′B′C′D′中被截去一部分，其中EH∥A′D′，剩下的几何体是（　　）

A．棱台　　B．四棱柱

C．五棱柱　　D．六棱柱

[解析]　长方体ABCD－A′B′C′D′截去图中部分后，因

为EH∥A′D′，所以FG∥A′D′，所以剩下的几何体是五棱柱ABFEA′－DCGHD′.故选C.

[答案]　C

4．（必修2P15练习T4改编）如图为一个几何体的三视图，则该几何体是（　　）

A．四棱柱B．三棱柱C．长方体D．三棱锥

[解析]　

将三视图还原为直观图，如图所示，该几何体为三棱柱，故选B.

[答案]　B

5．一个三棱锥的正视图和侧视图及其尺寸如图所示，则该三棱锥的俯视图的面积为________．

[解析]　由正视图和侧视图知俯视图为底边长为2，其边上的高为1的三角形，故其面积为S俯＝×2×1＝1.

[答案]　1

考点一　空间几何体的结构特征

【例1】　

（1）下列结论正确的是（　　）

A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥

B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥

C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥

D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线

（2）设有以下四个命题：

①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；②底面是矩形的平行六面体是长方体；③直四棱柱是直平行六面体；④棱台的相对侧棱延长后必交于一点．

其中真命题的序号是________．

[解析]　

（1）

A错误．如右图所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不一定是棱锥．

B错误．如下图，若△ABC不是直角三角形，所得几何体不是圆锥；若△ABC是直角三角形，但旋转轴不是直角边，所得的几何体也不是圆锥．

C错误．若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．D正确．故选D.

（2）命题①符合平行六面体的定义，故命题①是正确的．底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直，故命题②是错误的．因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故命题③是错误的．命题④由棱台的定义知是正确的．

[答案]　

（1）D　

（2）①④

　空间几何体结构特征的判断技巧

（1）紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．

（2）通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可．

[对点训练]

　给出下列命题：

①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②若

三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；③在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；④存在每个面都是直角三角形的四面体．

其中正确命题的序号是________．

[解析]　①棱柱的侧面不一定全等．②两两垂直很容易得到三个线面垂直，从而得到三个侧面两两垂直．③两个过相对侧棱的面垂直于底面，易得侧棱垂直于底面，所以是直四棱柱．④如图PA⊥面ABC，∠ABC＝90°，则四面体PABC的四个面都是直角三角形．

[答案]　②③④

考点二　空间几何体的三视图

有关三视图的考查是高考的重点、热点，考查的主要形式以选择题、填空题为主．

常见的命题角度有：

（1）由直观图确定三视图；

（2）由三视图还原直观图．.

角度1：

由直观图确定三视图

【例2－1】　（2018·全国卷Ⅲ）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，

右图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（　　）

[思路引导]　→→→

[解析]　由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，榫头看不见，所以是虚线，结合榫头的位置知选A.故选A.

[答案]　A

角度2：

由三视图还原直观图

【例2－2】　（2018·北京卷）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（　　）

A．1B．2C．3D．4

[思路引导]　→

→

[解析]　

将三视图还原为直观图，几何体是底面为直角梯形，且一条侧棱和底面垂直的四棱锥，如图所示．

易知，BC∥AD，BC＝1，AD＝AB＝PA＝2，AB⊥AD，PA⊥平面ABCD，故△PAD，△PAB为直角三角形，∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，且PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，∴BC⊥PB，∴△PBC为直角三角形，容易求得PC＝3，CD＝，PD＝2，故△PCD不是直角三角形，故选C.

[答案]　C

　三视图问题的常见类型及解题策略

（1）由几何体的直观图求三视图

注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．若相邻两物体的表面相交，则表面的交线是它们的分界线．

（2）由几何体的三视图还原几何体的形状

在三视图中，要注意实、虚线的区别．在还原不规则的三视图时，可灵活应用补形法，将其直观图变为正方体或长方体，然后再将几何体分割为满足原三视图所对应的几何体．

[对点训练]

1.

（2019·河北武邑中学期末）如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点，用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为（　　）

[解析]　用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分后，剩余部分的直观图如图所示，则该几何体的侧视图为选项A.故选A.

[答案]　A

2．（2018·武汉市高三二调）某几何体的三视图如图所示，则从该几何体的所有顶点中任取两个顶点，它们之间距离的最大值为（　　）

A.B.C．2D．2

[解析]　由三视图知，该几何体是一个四棱柱，记为四棱柱ABCD－A1B1C1D1，将其放在如图所示的长方体中，底面ABCD是边长为1的正方形，四棱柱的高为1，连接AC1，观察图形可知，几何体中两顶点间距离的最大值为AC1的长，即＝，故选B.

[答案]　B

考点三　空间几何体的直观图

【例3】　

（1）

（2019·福建龙岩联考）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是（　　）

（2）如图所示，△A′B′C′是△ABC的直观图，且△A′B′C′是边长为a的正三角形，则△ABC的面积为（　　）

A.a2B.a2

C.a2D.a2

[解析]　

（1）由直观图可知，在直观图中多边形为正方形，对角线长为，所以原图形为平行四边形，位于y轴上的对角线长为2.故选A.

（2）解法一：

如图，过C′作C′D′与y′轴平行，在△B′C′D′中，∠C′B′D′＝60°，∠C′D′B′＝45°，B′C′＝a.

由正弦定理得＝，

∴＝，得C′D′＝a.

在△ABC中，AB边上的高CD＝2C′D′＝a，

∴△ABC的面积S＝·a·a＝a2.故选C.

解法二：

S＝2S′＝2·a2sin60°＝a2.故选C.

[答案]　

（1）A　

（2）C

[拓展探究]　若本例

（2）改为“已知△ABC是边长为a的正三角形，求其直观图△A′B′C′的面积”，应如何求？

[解]　如图①②所示的平面图形和直观图．

由斜二测画法可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a，

在图②中作C′D′⊥A′B′于D′，则C′D′＝O′C′＝a.

∴S△A′B′C′＝A′B′·C′D′＝×a×a＝a2.

　平面图形与其直观图的关系

（1）在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段．“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半”．

（2）按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：

S直观图＝S原图形．

[对点训练]

　如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角均为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（　　）

A．2＋B.C.D．1＋

[解析]　由题意画出斜二测直观图及还原后原图，由直观图中底角均为45°，腰和上底长均为1，得下底长为1＋，所以原图是上、下底分别为1,1＋，高为2的直角梯形．所以面积S＝×（1＋＋1）×2＝2＋.故选A.

[答案]　A

纠错系列④——三视图识图不准致误

素养解读：

三视图是分别从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个正投影，几何体中的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为虚线．

【典例】　某四面体的三视图如图所示，则此四面体的四个面中最大的面积是（　　）

A．2　　　B．2

C.　　　D．2

[易错分析]　

（1）不能正确把握投影方向、角度致误；

（2）不能正确确定点、线的投影位置致误；（3）不能正确应用实线与虚线区分可见与不可见轮廓线致误．

[规范解答]　

如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中还原出三视图的直观图，其是一个三个顶点在正方体的右侧面、一个顶点在左侧面的三棱锥，即D1－BCB1，其四个面的面积分别为2,2，2，2，故最大的面积是2.故选D.

[答案]　D

（1）在三视图中，正视图、侧视图的高就是空间几何体的高，正视图、俯视图中的长就是空间几何体的最大长度，侧视图、俯视图中的宽就是空间几何体的最大宽度．

（2）绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分的轮廓线用虚线表示出来，即“眼见为实、不见为虚”．在三视图的判断与识别中要特别注意其中的“虚线”．

（3）还原几何体后，应该再投影一次检验还原的正确性．

[感悟体验]

在如图所示的空间直角坐标系O－xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），

（2,2,0），（1,2,1），（2,2,2）．给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（　　）

A．①和②B．③和①

C．④和③D．④和②

[解析]　在空间直角坐标系中构建棱长为2的正方体，设A（0,0,2），B（2,2,0），C（1,2,1），D（2,2,2），则四面体ABCD即为满足条件的四面体，

得出正视图和俯视图分别为④和②，故选D.

[答案]　D

　　　　　　　　　　课后跟踪训练（四十五）　　

基础巩固练

一、选择题

1.

如图所示，从三棱台A′B′C′－ABC中截去三棱锥A′－ABC，则剩余部分是（　　）

A．三棱锥

B．四棱锥

C．三棱柱

D．三棱台

[解析]　由题图可知剩余部分为四棱锥A′－BB′C′C，故选B.

[答案]　B

2．某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（　　）

A．圆柱B．圆锥C．四面体D．三棱柱

[解析]　因为圆锥、四面体、三棱柱的正视图均可以是三角形，而圆柱无论从哪个方向看均不可能是三角形，故选A.

[答案]　A

3．（2018·河南方城一中月考）如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6cm，O′C′＝2cm，则原图形OABC是（　　）

A．正方形B．矩形

C．菱形D．一般的平行四边形

[解析]　在直观图中，

O′C′＝C′D′＝2，所以

O′D′＝2.如右图所示，在原图形中，有OD⊥CD，OD＝4，CD＝2，所以OC＝＝6，从而得原图形四边相等，但CO与OA不垂直，所以原图形为菱形．故选C.

[答案]　C

4．（2019·河北正定中学调研）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（　　）

[解析]　抓住其一条对角线被遮住应为虚线，可知正确答案在C，D中，又结合直观图知，D正确．故选D.

[答案]　D

5．（2019·贵州黔东南州一模）若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（　　）

[解析]　选项A的正视图、俯视图不符合要求，选项B的正视图、侧视图不符合要求，选项C的俯视图不符合要求，通过观察，选项D满足要求，故选D.

[答案]　D

二、填空题

6．给出下列四个命题：

①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；④底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱．

其中不正确的命题为________．

[解析]　

对于①，平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形，故①错；对于②，对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明（如图），故②错；对于③，若底面不是矩形，则③错；④正确．

[答案]　①②③

7．（2019·云南昆明模拟）已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，则该正方体的正视图的面积等于________．

[解析]　由题知此正方体的正视图与侧视图是一样的，正视图的面积与侧视图的面积相等为.

[答案]　

8．（2019·吉林一模）三棱锥S－ABC及其三视图中的正（主）视图和侧（左）视图如图所示，则棱SB的长为________．

[解析]　由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，

且底面△ABC为等腰三角形，

在△ABC中AC＝4，AC边上的高为2，

故BC＝4，

在Rt△SBC中，由SC＝4，可得SB＝4，

故答案为：

4

[答案]　4

三、解答题

9.

如图所示，一个圆锥的高为2，母线与轴的夹角为30°.求圆锥的母线长和圆锥的轴截面面积．

[解]　由题意得，设圆锥的母线长为l，底面半径为r，轴截面面积为S，则母线长l＝＝，底面半径r＝2·tan30°＝，所以S＝×2××2＝，即圆锥的母线长为，轴截面面积是.

10．已知正三棱锥V－ABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示．

（1）画出该三棱锥的直观图；

（2）求出侧视图的面积．

[解]　

（1）如图所示．

（2）根据三视图间的关系可得

BC＝2，∴侧视图中VA＝

＝2，

∴S△VBC＝×2×2＝6.

能力提升练

11．（2019·安徽黄山一模）将正方体（如图

（1）所示）截去两个三棱锥，得到如图

（2）所示的几何体，则该几何体的侧视图为（　　）

[解析]　

根据题意，得点A在平面BCC1B1上的投影是点B，点D在平面BCC1B1上的投影是点C，棱AB1在平面BCC1B1上的投影是BB1，棱AD1在平面BCC1B1上的投影是BC1，棱B1D1在平面BCC1B1上的投影是B1C1，棱B1C是被挡住的棱，应画成虚线，如图所示．故选B.

[答案]　B

12．（2019·福建南平质检）已知某简单几何体的三视图如图所示，若正（主）视图的面积为1，则该几何体最长的棱的长度为（　　）

A.B.C．2D.

[解析]　

由三视图可知该几何体是三棱锥A－BCD（如图所示）．BC＝2，CD＝2，因为正（主）视图的面积为1，故正（主）视图的高为1，由此可计算出BD＝2为最长的棱长，故选C.

[答案]　C

13．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点E为线段A1B1的中点，点F，G分别是线段A1D与BC1上的动点，当三棱锥E－FGC的俯视图的面积最大时，该三棱锥的正视图的面积是________．

[解析]　∵E在底面ABCD上的投影为AB中点E′，C在底面ABCD上的投影为C点本身，

F的投影在边AD上，G的投影在边BC上，如图：

要使三棱锥E－FGC的俯视图的面积最大，则F与D重合，G与B重合．

则三棱锥E－FGC的正视图为等腰三角形EAB，底边长为2，底边上的高为2，

∴面积S＝×2×2＝2.

[答案]　2

14.

如图，在四棱锥P－ABCD中，底面为正方形，PC与底面ABCD垂直，下图为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6cm的全等的等腰直角三角形．

（1）根据下图所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；

（2）求PA.

[解]　

（1）该四棱锥的俯视图为（内含对角线）边长为6cm的正方形，如图，其面积为36cm2.

（2）由侧视图可求得PD＝＝＝6.

由正视图可知AD＝6，且AD⊥PD，

所以在Rt△APD中，

PA＝＝＝6cm.

拓展延伸练

15．（2019·福建漳州调研）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长度为（　　）

A.B．2C．3D．2

[解析]　

在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为AD的中点，该几何体的直观图如图中三棱锥D1－MB1C.故通过计算可得D1C＝D1B1＝B1C＝2，D1M＝MC＝，MB1＝3，故最长棱的长度为3，故选C.

[答案]　C

16．（2019·河南开封一模）如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球O1，O2，这两个球外切，且球O1与正方体共顶点A的三个面相切，球O2与正方体共顶点B1的三个面相切，则两球在正方体的面AA1C1C上的正投影是（　　）

[解析]　由题意可以判断出两球在正方体的面AA1C1C上的正投影与正方形相切，排除C，D；把其中一个球扩大为与正方体相切，则另一个球被挡住一部分，由于两球不等，所以排除A；故选B.

[答案]　B