07电子课文第七章机械能.docx

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07电子课文第七章机械能

电子课文●第八章 机械能

我们在初中已经学过能量的初步知识，知道自然界存在各种不同形式的能量——机械能（动能和势能）、内能、电能、化学能、核能等等，还知道各种不同形式的能量可以相互转化，而且在转化过程中总能量守恒．但是，并没有定量地研究能量及其相互转化．

我们在初中还学过功的初步知识，知道功和能量是有密切联系的．原来，做功的过程就是能量转化的过程，做了多少功，就有多少能量发生转化．这样，通过做功的多少，就可以定量地研究能量及其相互转化了．

这一章先讲功，然后定量地讨论动能、势能及其相互转化．

电子课文●一 功

功 一个物体受到力的作用，如果在力的方向上发生一段位移，这个力就对物体做了功．人推车前进，车在人的推力作用下发生一段位移，推力对车做了功．起重机提起货物，货物在起重机钢绳的拉力作用下发生一段位移，拉力对货物做了功．列车在机车的牵引力作用下发生一段位移，牵引力对列车做了功．力和物体在力的方向上发生的位移，是做功的两个不可缺少的因素．

功的大小是由力的大小和物体在力的方向上的位移的大小确定的．力越大，位移越大，所做的功就越大．力学里规定：

如果力的方向与物体运动的方向一致（图8－1），功就等于力的大小和位移的大小的乘积．用F表示力的大小，用s表示位移的大小，用W表示力F所做的功，则有

W=Fs

当力F的方向与运动方向成某一角度时（图8－2），可以把力F分解为两个分力：

跟位移方向一致的分力F1，跟位移方向垂直的分力F2．设物体在力F的作用下发生的位移的大小是s，则分力F1所做的功等于F1s．分力F2的方向跟位移的方向垂直，物体在F2的方向上没有发生位移，F2所做的功等于零．因此，力F对物体所做的功W等于F1s，而F1＝Fcosα，所以

W=Fscosα

这就是说，力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、力和位移的夹角的余弦这三者的乘积．

功是一个标量．在国际单位制中，功的单位是焦耳，简称焦，符号是J．1J等于1N的力使物体在力的方向上发生1m的位移时所做的功．

1J＝1N×1m＝1N·m．

正功和负功 现在我们讨论一下功的公式：

移s的方向垂直时，力F不做功．例如，物体在水平桌面上运动时，重力G和支持力F都跟位移方向垂直，这两个力都不做功（图8－3）．

例如，人用力推车前进时，人的推力F对车做正功（图8－4）．

负功．例如，人用力阻碍车前进时，人的推力F对车做负功（图8－5）．

一个力对物体做负功，往往说成物体克服这个力做功（取绝对值）．这两种说法在意义上是等同的．例如竖直向上抛出的球，在向上运动的过程中，重力对球做了-6J的功，可以说成球克服重力做了6J的功．

当物体在几个力的共同作用下发生一段位移s时，这几个力对物体所做的总功，等于各个力分别对物体所做的功的代数和．如图8－6所示，在水平面上运动的物体受到四个力的作用：

拉力F1，滑动摩擦力F2，重力G，支持力F3（重力和支持力未画出）．重力和支持力不做功，因而外力所做的总功W等于拉力F1和滑动摩擦力F2所做的功的代数和：

W=F1scosα-F2s．

可以证明，当物体在几个力的共同作用下发生一段位移时，这几个力对物体所做的总功，等于这几个力的合力对物体所做的功．

【例题】 一个质量m=2kg的物体，受到与水平方向成37°角斜向上方的拉力F1=10N，在水平地面上移动的距离s=2m（图8－7）．物体与地面间的滑动摩擦力F2=4.2N．求外力对物体所做的总功．

解 拉力F1对物体所做的功为W1=F1scos37°=16J．

摩擦力F2对物体所做的功为W2＝F2scos180°=-8.4J．

外力对物体所做的总功W等于W1和W2的代数和

W＝W1＋W2=7.6J

电子课文●二 功率

不同物体做相同的功，所用的时间往往不同，也就是说，做功的快慢并不相同．一台起重机能在1min内把1t的货物提到预定的高度，另一台起重机只用30s就可以做相同的功．第二台起重机比第一台做功快一倍．

在物理学中，做功的快慢用功率来表示．功W跟完成这些功所用时间t的比值叫做功率．用P表示功率，则有

在国际单位制中，功率的单位是瓦特，简称瓦，符号是W．1W=1J/s．瓦这个单位比较小，技术上常用千瓦（kW）作功率的单位①．1kW＝1000W．

功率也可以用力和速度来表示．在作用力方向和位移方向相同的情况下，W=Fs，把此式代入功率的公式中可得P=Fs/t，而s/t＝v，所以

P＝Fv

这就是说，力F的功率等于力F和物体运动速度v的乘积．物体做变速运动时，上式中的v表示在时间t内的平均速度，P表示力F在这段时间t内的平均功率．如果时间t取得足够小，则上式中的v表示某一时刻的瞬时速度，P表示该时刻的瞬时功率．

从公式P=Fv可以看出，汽车、火车等交通工具，当发动机的输出功率P一定时，牵引力F与速度v成反比，要增大牵引力，就要减小速度．所以汽车上坡的时候，司机常用换挡的办法减小速度，来得到较大的牵引力．

当速度v保持一定时，牵引力F与功率P成正比．所以汽车上坡时，要保持速度不变，必须加大油门，增大输出功率来得到较大的牵引力．

保持牵引力F不变时，功率P与速度v成正比．起重机在竖直方向匀速吊起某一重物时，牵引力与重物的重量相等，牵引力保持不变，发动机输出的功率越大，起吊的速度就越大．

【例题】 质量m=3kg的物体，在水平力F=6N的作用下，在光滑水平面上从静止开始运动，运动时间t=3s．求：

a．力F在t=3s内对物体所做的功．

b．力F在t=3s内对物体做功的平均功率．

c．在3s末，力F对物体做功的瞬时功率．

分析 物体在水平力的作用下在水平面上做匀加速运动，由牛顿第二定律可知，加速度a=F/m=2m/s2，在t＝3s内物体的位移s=at2/2=9m，物体在3s末的速度v=at=6m/s．知道了F、s和v，就可以算出功和功率了．

解 a．力F在t=3s内对物体所做的功为

W=Fs=6×9J=54J

b．力F在t=3s内对物体做功的平均功率为

c．在3s末，力F对物体做功的瞬时功率为

P＝Fv＝6×6W＝36W

力F在t=3s内的平均功率也可以这样计算：

物体在t=3s内的平均速度v＝s/t=3m/s，平均功率P=Fv=6×3W=18W．

电子课文●三 功和能

功和能是两个联系密切的物理量．一个物体能够对外做功，我们就说这个物体具有能量．流动的河水能够推动水轮机做功，流动的河水具有能量．举到高处的重物下落时能够把木桩打进地里而做功，举高的重物具有能量．被压缩的弹簧放开时能够把物体弹开而做功，被压缩的弹簧具有能量．

我们知道，各种不同形式的能量可以相互转化，而且在转化过程中守恒．在这种转化过程中，功扮演着重要的角色．

举重运动员把重物举起来，对重物做了功，重物的重力势能增加，同时，运动员消耗了体内的化学能．运动员做了多少功，就有多少化学能转化为重力势能．

被压缩的弹簧放开时把一个小球弹出去，小球的动能增加，同时，弹簧的弹性势能减少．弹簧对小球做了多少功，就有多少弹性势能转化为动能．

列车在机车的牵引下加速运动，列车的机械能增加，同时，机车的热机消耗了内能．牵引力对列车做了多少功，就有多少内能转化为机械能．

起重机提升重物，重物的机械能增加，同时，起重机的电动机消耗了电能．起重机钢绳的拉力对重物做了多少功，就有多少电能转化为机械能．

做功的过程就是能量转化的过程，做了多少功，就有多少能量发生转化．所以，功是能量转化的量度．知道了功和能的这种关系，就可以通过做功的多少，定量地研究能量及其转化的问题了．下面我们定量地研究机械能．

电子课文●四 动能动能定理

动能 我们在初中学过，物体由于运动而具有的能量叫做动能．物体的动能跟物体的质量和速度都有关系．现在让我们复习一下初中做过的实验．

电子课文●实验

如图8－10所示，让滑块A从光滑的导轨上滑下，打到一个木块B上，推动木块做功．让同一滑块从不同的高度滑下，可以看到，高度大时滑块把木块推得远，对木块做的功多．让质量不同的滑块从同一高度滑下，可以看到，质量大的滑块把木块推得远，对木块做的功多．

实验表明，物体的质量越大，速度越大，它的动能就越大．怎样定量地表示动能呢？

一架飞机在牵引力的作用下（不计阻力），在起飞跑道上加速运动，速度越来越大，动能越来越大．牵引力做了多少功，动能就增加多少．现在我们根据做功的多少，来定量地确定动能．

设一个物体的质量为m，初速度为v1，在与运动方向相同的恒力F的作用下发生一段位移s，速度增加到v2（图8－11）．在这一过程中，力F所做的功W=Fs．根据牛顿第二定律有F=ma；根据匀加速运动的

（1）

物体的动能等于物体质量与物体速度的二次方的乘积的一半．

动能是标量，它的单位与功的单位相同，在国际单位制中都是焦耳．这是因为，1kg·m2/s2=1N·m=1J．

例如，我国发射的第一颗人造地球卫星，质量为173kg，轨道速度

动能定理 有了动能的定量表示，上面的

（1）式可以写成

W=Ek2-Ek1

（2）

上式表示，外力所做的功等于动能的变化．当外力做正功时，末动能大于初动能，动能增加．当外力做负功时，末动能小于初动能，动能减少．

如果物体受到几个力的共同作用，则

（2）式中的W表示各个力做功的代数和，即合力所做的功．

合力所做的功等于物体动能的变化．

这个结论叫做动能定理．这里所说的力，既可以是重力、弹力、摩擦力，也可以是任何其他的力．

上述

（2）式是在物体受到恒力的作用，且物体做直线运动的情况下得到的．可以证明，当力是变力，物体做曲线运动时，

（2）式也是正确的．这时

（2）式中的W为变力所做的功．正因为动能定理适用于变力，所以它得到了广泛的应用，经常用来解决有关的力学问题．

【例题】 一架喷气式飞机，质量m=5.0×103kg，起飞过程中从静止开始滑跑的路程为s=5.3×102m时，达到起飞速度v=60m/s．在此过程中飞机受到的平均阻力是飞机重量的0.02倍（k=0.02）．求飞机受到的牵引力．

分析 飞机原来是静止的，初动能Ek1=0．飞机在水平方向受到的外力是牵引力F1和阻力F2=kmg（图8－12）．在外力作用下，飞机在跑道上滑跑一段路程s，外力对飞机做功，飞机的动能增加，最后达到

kmgs，由动能定理就可以求出牵引力．

解 由动能定理可得

代入数值得F1=1.8×104N．

从例题可以看出，利用动能定理来解力学问题，要明确物体的初动能和未动能，要分析物体的受力情况，列出各个力所做的功，然后利用动能定理求解．

动能定理不涉及物体运动过程中的加速度和时间，因此用它来处理问题有时比较方便．

本题用牛顿第二定律和匀变速直线运动的公式求解，会得到相同的结果．用牛顿第二定律和匀变速直线运动的公式求解，要假定牵引力是恒力，而实际中牵引力不一定是恒力．动能定理适用于变力，用它可以处理牵引力是变力的情况，这时求得的F是牵引力对位移的平均值．

电子课文●五 重力势能

我们在初中学过，物体由于被举高而具有的能量叫做重力势能．打桩机的重锤从高处落下时可以把水泥桩打进地里，重锤具有重力势能（图8－15）．重力势能跟物体的质量和高度都有关系．重锤的质量越大，被举得越高，把水泥桩打进地里越深．可见，物体的质量越大，高度越大，重力势能就越大．怎样定量地表示重力势能呢？

重力势能 把一个物体举高，要克服重力做功，同时物体的重力势能增加．一个物体从高处下落，重力做功，同时重力势能减小．可见，重力势能跟重力做功有密切联系．

设一个质量为m的物体从高度为h1的A点下落到高度为h2的B点（图8－16）．重力所做的功为

WG=mgΔh=mgh1-mgh2

（1）

我们看到，WG等于mgh这个量的变化．在物理学中就用mgh这个物理量表示物体的重力势能．重力势能用Ep来表示，即

Ep=mgh

物体的重力势能等于物体的重量和它的高度的乘积．重力势能是标量．它的单位也和功的单位相同，在国际单位制中都是焦耳：

1kg·m·s-2·m＝1N·m＝1J．

例如一架质量为2kg的仪器放在实验桌上，桌面的高度为0.8m，这架仪器具有重力势能Ep=mgh=2×9.8×0.8J=15.7J．

有了重力势能的定量表示，

（1）式就可以写成

WG=Ep1-Ep2

（2）

其中Ep1=mgh1表示初位置的重力势能，Ep2=mgh2表示末位置的重力势能．

当物体由高处运动到低处时，重力做正功，WG＞0，Ep1＞Ep2．这表示重力做正功时，重力势能减少，减少的重力势能等于重力所做的功．

当物体由低处运动到高处时，重力做负功，WG＜0，Ep1＜Ep2．这表示物体克服重力做功（重力做负功）时，重力势能增加，增加的重力势能等于克服重力所做的功．

在上面的讨论中，物体是沿着竖直路径由初位置达到末位置的．可以证明：

重力所做的功只跟初位置的高度h1和末位置的高度h2有关，跟物体运动的路径无关．只要起点和终点的位置相同，不论沿着什么路径由起点到终点，沿着直线路径也好，沿着曲线路径也好，

（2）式都是正确的．

重力势能的相对性 我们说物体具有重力势能mgh，这总是相对于某个水平面来说的，这个水平面的高度为零，重力势能也为零，这个水平面叫做参考平面．选择哪个水平面作为参考平面，可视研究问题的方便而定．通常选择地面作为参考平面．

选择不同的参考平面，物体的重力势能的数值是不同的，但这并不影响研究有关重力势能的问题．因为在有关的问题中，有确定意义的是重力势能的差值，这个差值并不因选择不同的参考平面而有所不同．

对选定的参考平面而言，在参考平面上方的物体，高度是正值，重力势能也是正值；在参考平面下方的物体，高度是负值，重力势能也是负值（图8－17）．物体具有负的重力势能，表示物体在该位置具有的重力势能比在参考平面上具有的重力势能要少．

弹性势能 发生形变的物体，在恢复原状时能够对外界做功，因而具有能量，这种能量叫做弹性势能．卷紧了的发条，被拉伸或压缩的弹簧，拉弯了的弓，击球时的网球拍或羽毛球拍，支撑运动员上跳的撑杆等，都具有弹性势能（图8－18）．

弹性势能跟形变的大小有关系．例如弹簧的弹性势能跟弹簧被拉伸或压缩的长度有关，被拉伸或压缩的长度越长，恢复原状时对外做的功就越多，弹簧的弹性势能就越大．

势能也叫位能，是由相互作用的物体的相对位置决定的．重力势能是由地球和地面上物体的相对位置决定的，弹性势能是由发生弹性形变的物体各部分的相对位置决定的．我们以后还会学到其他形式的势能．

电子课文●六 机械能守恒定律

我们在初中学过，重力势能和动能之间可以发生相互转化．物体自由下落时，高度越来越小，速度越来越大．高度减小，表示重力势能减小；速度增大，表示动能增大．这时重力势能转化为动能．竖直向上抛出的物体，在上升过程中，速度越来越小，高度越来越大．速度减小，表示动能减小；高度增大，表示重力势能增大．这时动能转化为重力势能．

电子课文●实验

把一个小球用细线悬挂起来，把小球拉到一定高度的A点，然后放开，小球就摆动起来．小球在摆动中，动能和重力势能发生相互转化．我们看到，小球可以摆到跟A点高度相同的C点（图8－21甲）．

如果用尺在某一点挡住细线，小球虽然不能摆到C点，但摆到另一端时，能达到跟A点相同的高度（8－21乙）．

实验表明，小球在摆动中机械能守恒．

现在，我们以自由落体运动为例证明机械能守恒定律．如图8－22所示，设一个质量为m的物体自由下落，经过高度为h1的A点（初位置）时速度为v1，下落到高度为h2的B点（末位置）时速度为v2．在自由落体运动中，物体只受重力G=mg的作用，重力做正功．设重力所做的功为WG，则由动能定理可得

（1）

上式表示，重力所做的功等于动能的增加．

另一方面，由重力做功与重力势能的关系知道，

WG＝mgh1-mgh2

（2）

上式表示，重力所做的功等于重力势能的减少．

由

（1）式和

（2）式可得

（3）

可见，在自由落体运动中，重力做了多少功，就有多少重力势能转化为等量的动能．移项后可得

或者

Ek2+Ep2=Ek1+Ep1

（4）

上式表示，在自由落体运动中，动能和重力势能之和即总的机械能保持不变．

上述结论不仅对自由落体运动是正确的，可以证明，在只有重力做功的情形下，不论物体做直线运动还是曲线运动，上述结论都是正确的．

所谓只有重力做功，是指：

物体只受重力，不受其他的力，如自由落体运动和各种抛体运动；或者除重力外还受其他的力，但其他力不做功，如物体沿光滑斜面的运动．

各种抛体运动包括竖直上抛和下抛、平抛、斜抛等．

在只有重力做功的情形下，物体的动能和重力势能发生相互转化，但机械能的总量保持不变．

这个结论叫做机械能守恒定律，它是力学中的一条重要定律，是更普遍的能量守恒定律的一种特殊情况．

不仅重力势能和动能可以相互转化，弹性势能和动能也可以相互转化．放开被压缩的弹簧，可以把跟它接触的小球弹出去，这时弹簧的弹力做功，弹簧的弹性势能转化为小球的动能．在弹性势能和动能的相互转化中，如果只有弹力做功，动能和弹性势能之和保持不变，即机械能守恒．

七 机械能守恒定律的应用

解决某些力学问题，从能量的观点来分析，应用机械能守恒定律求解，往往比较方便．应用机械能守恒定律解决力学问题，要分析物体的受力情况．在动能和重力势能的相互转化中，如果只有重力做功，就可以应用机械能守恒定律求解．

【例题1】 一个物体从光滑斜面顶端由静止开始滑下（图8－24），斜面高1m，长2m．不计空气阻力，物体滑到斜面底端的速度是多大？

分析 斜面是光滑的，不计摩擦，又不计空气阻力，物体所受的力有重力和斜面的支持力，支持力与物体的运动方向垂直，不做功．物体在下滑过程中只有重力做功，所以可用机械能守恒定律求解．

解 题中没有给出物体的质量，可设物体的质量为m．物体在开始下滑时，Ep1=mgh，Ek1=0，初状态的机械能Ek1＋Ep1=mgh．设物体到

根据机械能守恒定律有

Ek2+Ep2=Ek1+Ep1

这个问题也可以应用牛顿第二定律和运动学公式求解，但是应用机械能守恒定律求解，在思路和步骤上比较简单．在这个例题中，如果把斜面换成光滑的曲面（图8－25），同样可以应用机械能守恒定律求解，而直接用牛顿第二定律求解，由于物体在斜面上所受的力是变力，处理起来就困难得多．我们来看下面的例题．

【例题2】 把一个小球用细绳悬挂起来，就成为一个摆（图8－26）．摆长为l，最大偏角为θ．小球运动到最低位置时的速度是多大？

分析 这个问题直接用牛顿第二定律和运动学的公式来处理，需要用高等数学．现在用机械能守恒定律求解．

小球受两个力：

重力和悬线的拉力．悬线的拉力始终垂直于小球的运动方向，不做功．小球在摆动过程中，只有重力做功，所以可用机械能守恒定律求解．

解 选择小球在最低位置时所在的水平面为参考平面．小球在最高点时为初状态，初状态的动能Ek1＝0，重力势能Ep1=mg（l-lcosθ），机械能Ek1＋Ep1=mg（l-lcosθ）．小球在最低点时为末状态，末状态

根据机械能守恒定律有

Ek2+Ep2=Ek1+Ep1

由这两个例题可以看出，应用机械能守恒定律解题，可以只考虑运动的初状态和末状态，不必考虑两个状态之间的过程的细节．这可以避免直接用牛顿第二定律解题的困难，简化解题的步骤．在这一点上，机械能守恒定律跟前面学过的动量守恒定律是相同的．

守恒定律不仅给处理问题带来方便，而且有更深刻的意义．自然界千变万化，但有些物理量在一定条件下是守恒的，可以用这些“守恒量”表示自然界的变化规律，这就是守恒定律．寻求“守恒量”已经成为物理学研究中的重要方面．我们学习物理，要学会运用守恒定律处理问题．

电子课文●*八 伯努利方程

 电子课文●实验

把一个乒乓球放在倒置的漏斗中间（图8－29），向漏斗口吹气，会把乒乓球吹跑吗？

实际正好相反，乒乓球会贴在漏斗上不掉下来．平行地竖放两张纸，向它们中间吹气，会把两张纸吹开吗？

实际正好相反，两张纸会贴近（图8－30）．

怎样解释上述现象呢？

现象中涉及空气的流动．你可能不会想到，解释上述现象，跟说明飞机能够上天，用的是同一个道理，这就是流动的流体中压强和流速的关系．通常把液体和气体统称流体。

这一节把功能关系应用到流动的流体中，推导压强和流速的关系．研究流体的流动，是一门复杂的学问．初步进行研究，需要作一些限定，采用简单的物理模型，这就是理想流体的定常流动．

理想流体 液体不容易被压缩，在不十分精确的研究中可以认为液体是不可压缩的．气体容易被压缩，但在研究流动的气体时，如果气体的密度没有发生显著的改变，也可以认为气体是不可压缩的．

流体流动时，速度不同的各层流体之间有摩擦力，也就是说，流体具有粘滞性．不同的流体，粘滞性不同．油类的粘滞性较大，水、酒精的粘滞性较小，气体的粘滞性更小．研究粘滞性小的流体，在有些情况下可以认为流体没有粘滞性．

不可压缩的、没有粘滞性的流体，称为理想流体．

定常流动 观察一段河床比较平缓的河水的流动，你可以看到河水平静地流着，过一会儿再看，河水还是那样平静地流着，各处的流速没有什么变化．河水不断地流走，可是这段河水的流动状态没有改变．河水的这种流动就是定常流动．流体质点经过空间各点的流速虽然可以不同，但如果空间每一点的流速不随时间而改变，这样的流动就叫做定常流动．自来水管中的水流，石油管道中石油的流动，都可以看作定常流动．

流体的流动可以用流线形象地表示．在定常流动中，流线表示流体质点的运动轨迹．图8－31是液体流过圆柱体时流线的分布．AB处液体流过的横截面积大，CD处液体流过的横截面积小，液体在CD处流得急，流速大．AB处的流线疏，CD处的流线密．这样，从流线的分布可以知道流速的大小．流线疏的地方，流速小；流线密的地方，流速大．

伯努利方程 现在研究理想流体做定常流动时，流体中压强和流速的关系．

图8－32表示一个细管，其中流体由左向右流动．在管的a1处和a2处用横截面截出一段流体，即a1处和a2处之间的流体，作为研究对象．

a1处的横截面积为S1，流速为v1，高度为h1．a1处左边的流体对研究对象的压强为p1，方向垂直于S1向右．

a2处的横截面积为S2，流速为v2，高度为h2．a2处右边的流体对研究对象的压强为p2，方向垂直于S2向左．

经过很短的时间间隔Δt，这段流体的左端S1由a1移到b1，右端S2由a2移到b2．两端移动的距离分别为Δl1和Δl2．左端流入的流体体积为ΔV1=S1Δl1，右端流出的流体体积为ΔV2=S2Δl2，理想流体是不可压缩的，流入和流出的体积相等，ΔV1=ΔV2，记为ΔV．

现在考虑左右两端的力对这段流体所做的功．作用在左端的力F1=p1S1，所做的功W1=F1Δl1=p1S1Δl1=p1ΔV．作用在右端的力F2=p2S2，所做的功

W2=-F2Δl2=-p2S2Δl2=-p2ΔV．外力所做的总功

W=W1＋W2=（p1-p2）ΔV．

（1）

外力做功使这段流体的机械能发生改变．初状态的机械能是a1到a2这段流体的机械能E1，末状态的机械能是b1到b2这段流体的机械能E2．由b1到a2这一段，经过时间Δt，虽然流体有所更换，但由于我们研究的是