第十一章 112 平面的基本事实与推论秋数学 必修 第四册 人教B版新教材改题型.docx

第十一章 112 平面的基本事实与推论秋数学 必修 第四册 人教B版新教材改题型.docx

《第十一章 112 平面的基本事实与推论秋数学 必修 第四册 人教B版新教材改题型.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第十一章 112 平面的基本事实与推论秋数学 必修 第四册 人教B版新教材改题型.docx（11页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

第十一章112平面的基本事实与推论秋数学必修第四册人教B版新教材改题型

11.2　平面的基本事实与推论

课标要求

素养要求

1.掌握平面的基本事实和推论，会用符号表达基本事实与推论.

2.会用平面的基本事实和推论描述点、直线、平面之间的位置关系.

从直观认识的基础上论证点、线、面之间的位置关系，发展培养学生的空间想象素养与逻辑推理素养.

教材知识探究

我们的桌面、椅面都给我们平面的形象，而且木匠在做桌面时，也要求它是平的，并且用直尺在桌面上任意移动来判断所做桌面是否平.

问题　判断一个面是否是平面的依据是什么？

提示　如果一个面内的任意两点所确定的直线都在这个面内，那么这个面就是平面.

1.平面的基本事实（也称为公理）

习惯上将平面用平行四边形表示

基本事实1：

经过不在一条直线上的3个点，有且只有一个平面.也可简单说成：

不共线的3点确定一个平面.

基本事实2：

如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.

基本事实3：

如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

2.点、线、面位置关系的符号表示

（1）点A在直线l上表示为A∈l；点A在平面α内表示为A∈α.

（2）直线l在平面α内表示为l⊂α；平面α与平面β相交于线l表示为：

α∩β＝l.

3.平面的基本事实的推论

（1）推论1：

经过一条直线与直线外一点，有且只有一个平面.

（2）推论2：

经过两条相交直线，有且只有一个平面.

（3）推论3：

经过两条平行直线，有且只有一个平面.

教材拓展补遗

[微判断]

1.梯形是平面图形.（√）

2.两两相交的三条直线可以确定一个平面.（×）

提示　若三条直线相交于一点，则三条直线不一定在一个平面内，此时确定一个或三个平面.

3.两个平面若有三个公共点，则这两个平面相交或重合.（√）

[微训练]

1.若点M在直线a上，直线a在平面α内，则点M________平面α.

答案　∈

2.用符号表示下列语句.

（1）平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于A，B；

（2）点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，C不在直线AB上.

解　

（1）α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B.

（2）A∈α，B∈α，a∩α＝C，C∉AB.

[微思考]

1.基本事实1及推论有怎样的作用？

提示　确定平面，可用其证明点、线共面问题.

2.基本事实3有何作用？

提示　其一可判定两个平面是否相交.只要两个平面有一个公共点，就可判定这两个平面必相交于过这点的公共直线；其二可以判定点在直线上.若点是两个平面的公共点，线是两个平面的交线，则点在线上.

题型一　点、直线、平面之间的位置关系的符号表示

【例1】　用符号语言表示下列语句，并画出图形.

（1）三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β相交于PA，平面α与平面γ相交于PB，平面β与平面γ相交于PC；

（2）平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC.

解　

（1）符号语言表示：

α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC，图形表示如图

（1）.

（2）符号语言表示：

平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC，图形表示如图

（2）.

规律方法　点与直线（或平面）的关系为元素与集合的关系，用“∈”或∉表示点与直线（或平面）的关系；直线与平面的关系为集合间的关系，不能用“∈”，只能用⊂或⊄表示.

【训练1】　如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.

解　在

（1）中，α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B.

在

（2）中，α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，a∩l＝P，b∩l＝P.

题型二　点线共面问题

【例2】　已知四条直线两两相交，且不共点，求证：

这四条直线在同一平面内.

解　已知a，b，c，d四条直线两两相交，且不共点，求证：

a，b，c，d四线共面.

证明　

①若a，b，c三线共点于O，如图所示：

∵O∉d，∴经过d与点O有且仅有一个平面α（推论1）.

∵A，B，C分别是d与a，b，c的交点，

∴A，B，C三点在平面α内.

由基本事实2知a，b，c都在平面α内，故a，b，c，d共面.

②若a，b，c，d无三线共点，如图所示：

∵a∩b＝A，

∴经过a，b有且仅有一个平面α（推论2），

∴B，C∈α，由基本事实2知c⊂α.

同理，d⊂α，从而有a，b，c，d共面.

综上所述，四条直线两两相交，且不共点，这四条直线在同一平面内.

规律方法　证明点、线共面问题，一般先由部分点线确定一个平面，再证其他的点和线在所确定的平面内.也可以用同一法：

即先证明一些元素在一个平面内，再证明另一些元素在另一个平面内，然后证明这两个平面重合，即证得所有元素在同一个平面内.

【训练2】　已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：

过a，b，l有且只有一个平面.

证明　

如图所示.由已知a∥b，

所以过a，b有且只有一个平面α.设a∩l＝A，b∩l＝B，∴A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l，∴l⊂α，即过a，b，l有且只有一个平面.

题型三　两平面的交线问题

【例3】　如图所

示的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为CC1和AA1的中点，画出平面BED1F和平面ABCD的交线.

解　在平面AA1D1D内，连接D1F并延长，

∵D1F与AD不平行，∴D1F与DA必相交于一点，设为P，则P∈FD1，P∈DA.

又FD1⊂平面BED1F，∴P∈平面BED1F，

又DA⊂平面ABCD，∴P∈平面ABCD.

∴P为平面BED1F与平面ABCD的公共点.

又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点，

∴连接PB，则PB即为平面BED1F与平面ABCD的交线.

规律方法　两点确定一条直线，由平面基本事实3知，要想画出两个平面的交线，只需找到两个平面的两个公共点即可.

【训练3】　如图

正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是AB，A1D1，BB1的中点.画出过M，N，P的平面与平面A1B1C1D1的交线以及与平面BB1C1C的交线.

解　设M，N，P三点确定的平面为α，则α与平面AA1B1B交于MP.

连接MP并延长交A1B1的延长线于一点，设为R，连接NR，则NR为平面α与平面A1B1C1D1的交线.

设RN∩B1C1＝Q，则PQ是α与平面BB1C1C的交线，如下图所示.

一、素养落地

1.通过对平面的基本事实与推论的理解与应用，发展培养空间想象素养和逻辑推理素养.

2.平面的基本事实的作用

基本事实1及推论，是判定点共面、线共面的依据；基本事实2是判定直线在平面内的依据；基本事实3是判定点共线、线共点的依据.

3.理解符号语言所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言.作直观图时，要注意线的实虚.

二、素养训练

1.下列四个选项中的图形表示两个相交平面，其中画法正确的是（　　）

解析　画两个相交平面时，被遮住的部分用虚线表示.

答案　D

2.已知点A，直线a，平面α，以下表述正确的个数是（　　）

①A∈a，a⊄α⇒A∉α；②A∈a，a∈α⇒A∈α；③A∉a，a⊂α⇒A∉α；④A∈a，a⊂α⇒A⊂α.

A.0B.1C.2D.3

解析　

①不正确，如a∩α＝A；②不正确，∵“a∈α”表述错误；③不正确，如图所示，A∉a，a⊂α，但A∈α；④不正确，“A⊂α”表述错误.

答案　A

3.设平面α与平面β交于直线l，A∈α，B∈α，且直线AB∩l＝C，则直线AB∩β＝________.

解析　∵α∩β＝l，AB∩l＝C，∴C∈β，C∈AB，∴AB∩β＝C.

答案　C

4.

（1）空间任意4点，没有任何3点共线，它们最多可以确定________个平面.

（2）空间5点，其中有4点共面，它们没有任何3点共线，这5个点最多可以确定________个平面.

解析　

（1）可以想象三棱锥的4个顶点，它们总共确定4个平面.

（2）可以想象四棱锥的5个顶点，它们总共确定7个平面.

答案　

（1）4　

（2）7

基础达标

一、选择题

1.文字语言叙述：

“平面内有一条直线，则这条直线上的一点必在这个平面内”改成符号语言是（　　）

A.

⇒A⊂αB.

⇒A∈α

C.

⇒A⊂αD.

⇒A∈α

解析　直线在平面内用符号“⊂”表示，而点在直线上用“∈”表示，点在平面内用“∈”表示.

答案　B

2.空间四点A，B，C，D共面而不共线，那么这四点中（　　）

A.必有三点共线B.必有三点不共线

C.至少有三点共线D.不可能有三点共线

解析　如图

（1）

（2）所示，A、C、D均不正确，只有B正确.

答案　B

3.下列命题中正确的是（　　）

A.空间三点可以确定一个平面

B.三角形一定是平面图形

C.若A，B，C，D既在平面α内，又在平面β内，则平面α和平面β重合

D.四条边都相等的四边形是平面图形

解析　共线的三点不能确定一个平面，故A错；两个平面有公共点，这两个平面可以是相交的，故C错；四边都相等的四边形可以是空间四边形.

答案　B

4.如图，平

面α∩β＝l，A∈α，B∈α，C∈β且C∉l，AB∩l＝R，设过A，B，C三点的平面为平面γ，则β∩γ是（　　）

A.直线AC　　　B.直线BC

C.直线CR　　　D.以上都不对

解析　由C，R是平面β和γ的两个公共点，可知β∩γ＝CR.

答案　C

5.已知α，β为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理错误的是（　　）

A.A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂β

B.M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MN

C.A∈α，A∈β⇒α∩β＝A

D.A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线⇒α，β重合

解析　∵A∈α，A∈β，∴A∈（α∩β）.

由基本性质可知α∩β为经过A的一条直线而不是A.

故α∩β＝A的写法错误.

答案　C

二、填空题

6.设平面α与平面β相交于l，直线a⊂α，直线b⊂β，a∩b＝M，则M________l.

解析　因为a∩b＝M，a⊂α，b⊂β，所以M∈α，M∈β.又因为α∩β＝l，所以M∈l.

答案　∈

7.若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是________.

解析　∵AC∥BD，∴AC，BD确定一个平面β（推论3），∴α∩β＝CD，AB⊂β，又O∈AB，∴O∈β.又O∈α，∴O∈CD，即O，C，D三点共线.

答案　共线

8.如图，

已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，则点P与直线DE的位置关系是________.

解析　因为P∈AB，AB⊂平面ABC，所以P∈平面ABC.又P∈α，平面ABC∩平面α＝DE，所以P∈直线DE.

答案　P∈直线DE

三、解答题

9.用符号语言表示下列语句：

（1）点A在平面α内，但在平面β外；

（2）直线a经过平面α外一点M；

（3）直线a在平面α内，又在平面β内，即平面α和β相交于直线a；

（4）直线a与平面α相交于点A.

解　

（1）A∈α，且A∉β.

（2）M∈a，M∉α.

（3）a⊂α，且a⊂β，即α∩β＝a.

（4）a∩α＝A.

10.如图，

直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线.

解　很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上.

由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示，

∵E∈AC，AC