奖项设计模型分析及解决方案.docx
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奖项设计模型分析及解决方案
奖项设计模型分析及解决方案
摘要：
本论文通过对奖项设计中各影响因素的研究分析，建立了网站有奖竞猜规则的数学模型。
首先推导出总中奖概率的反比例函数模型，求出中奖总概率以及中奖总用户数应该控制的最优范围。
建立各奖项相应的最少答对题数、答对题数相应分数区间和概率的对应概率模型。
并利用规定算法，计算出了各奖项的最低积分要求范围。
再根据线形拟合的方法分别推导出其他三个未知奖项的奖金价值。
接着论文利用相关因素加权法，构造出对用户吸引力的评价函数β（i）用于比较不同方案的满意度，选出较优方案。
在模型的进一步讨论中，对答错扣分值的变化、两元将负分清零、可花钱买足五千分、将分数余值带入下一会员期、开通手机短信竞猜、单个奖项获奖人数偶然性超过比例等情况做出进一步分析，优化和改进模型。
同时结合网站方和用户方两个相对角度进行分析，为网站制定业务规则和游戏运作提供参考，最后对参与竞猜的用户作出竞猜技巧的合理建议。
关键词：
竞猜规则，反比例函数，线形拟合，相关因素加权法
一、问题重述
游戏网站提供网络竞猜服务。
用户参与竞猜的条件是必须具备网站会员资格。
注册会员资格的费用为每人每年100元，并同时获赠初始积分5000分。
用户缴纳会员费是网站的主要收入来源。
假定用户注册总数为A，则网站收入为100A，网站拿出全部收入的50%作为奖金总额即50A。
网站每天公布10道竞猜题，一个会员周期（一年）内共有3650道题提供给用户参与竞猜，且每道题答对与否是相互独立的。
每天答对题的题数服从B（10，0.25）的二项式分布。
用户每天参与的题数是在10题中选n题，并可获得相应的积分S=S0+（100x-40y）。
当累积总分S达到相应奖项最低分数要求时即可获得奖。
给定最高奖项价值10万元，最低奖项价值200元，要求设计每个奖项的价值及相应的积分要求。
二、模型假设
1.奖项等级高的奖项金额大，要求的最低积分值也高；
2.获得越高积分的难度越大，取得的概率就越小；
3.当会员总数足够大时，各奖项中奖概率近似于中奖人数比例；
4.奖项设计方案的好坏与用户的吸引力大小有关。
三、符号的简单说明
A—总注册会员数
amount—当期销售总额
B—总奖金比例B=50%
b（i,j）—单项奖奖金比例
Cash（i,j）—第i个方案，第j等奖的奖金额
mi—第i等奖的奖金额i=1,2,3,4,5m1=100000m2=200
N—总题量N=365*10=3650
n—参与竞猜的答题数n≤N
p—每道题答对的概率p=0.25
Sn—积分，参与竞猜所获得的分数Sn=100x-40y
x—答对题目数
y—答错题目数
四、问题分析
一）总中奖概率P总的确定
网站拿出全部收入的50%作为奖金，即奖金总额50A一定，则总中奖人数比例与平均每个中奖用户分配到的奖金额成反比
。
作为用户，一方面希望中奖人数比例越大越好，即总中奖概率就越大，越容易获奖；另一方面又希望分配到的奖金额尽可能多。
如图1：
=>m’=-n-2*50A
令：
m’=0
m
n2=50A
m=n=sqrt（50A）
即m=n=sqrt（50A）时达到最优。
此时总中奖
n
概率P总=sqrt（50A），当A=10,000时，
图1
P总=500,000。
二）会员总数A的范围
网站主要收入来源于会员的会费，且网站最高奖项价值设置为100,000元，最低奖项价值为200元给定。
根据一般奖项设计经验可以推出A≥10,000人，为方便研究，下文暂将网站年注册会员数设为10，000人。
由此计算总中奖概率应控制在0.07067以内。
三）答对题目数随机
新用户注册网站会员时即可获赠初始积分5000分，即我们所设计出的能中奖的最低积分要求必须大于5000分。
为了保证在一个会员周期内，用户累计积分S>5000（S<=5000则不可能中奖），那么用户通过竞猜获得的净分值必须为正数，即S1=100X*40Y>0。
总题目数量N=3650，有：
100X-40Y>0X≤1043
X+Y<=3650=>Y≥2607
这里的X、Y为一个年度量，转化为日平均量则为每日至少答对2.86题，最多只能答错7.14题。
平均每天答对的题数，有与之相对应的积分区间，只要求出答对题目数对应的积分区间，以及各个分数区间对应的概率，在根据一定的比例划定各个奖项中奖概率对应的积分下界，也就是所要求的奖项最低要求分数值，并对方案进行评价。
五、模型建立与求解
一）概率模型
竞猜过程中，每道题目答对与否是相互独立的随机事件，服从B（n,0.25）的二项分布，n为参与竞猜的总题数。
按照上面的分析结论，平均每天至少要答对3道题，才能使得不论其它题目答错或者未答题，都能保证所得分数为正分，积分在5000分以上。
参与n题竞猜，答对k题的概率Pk=
Cxx+ypx（1-p）y
平均每日答对x题，答错y题的概率P0=Cxx+ypx（1-p）y
计算得如下表（表一）：
3
4
5
6
7
8
9
10
0
0.0156
0.0039
0.0009
0.0002
0.000061
0.000015
0.000004
1*10-6
1
0.0459
0.0146
0.0044
0.0013
0.000366
0.000103
0.000029
-
2
0.0879
0.0330
0.0115
0.0039
0.001602
03000386
-
-
3
0.1318
0.0144
0.0231
0.0087
0.00309
-
-
-
4
0.1730
0.0865
0.0389
0.0162
-
-
-
-
5
0.2076
0.1168
0.0584
-
-
-
-
-
6
0.1314
0.6821
-
-
-
-
-
-
7
0.1408
-
-
-
-
-
-
-
概率
合计
0.9350
0.3513
0.3450
0.0302
0.0051
0.0005
0.00003
1*10-6
由此计算并得出日平均答对题目数对应的年总答对题数，以及相应的积分区间和概率如下（表二）：
日平均答对数
年总答对数
积分区间
概率
分数下界
分数上界
3
1095
7300
114500
0.9350
4
1460
58400
151000
0.3513
5
1825
109500
187500
0.3450
6
2190
160600
224000
0.0302
7
2555
211700
260500
0.0051
8
2920
262800
297000
0.0005
9
3285
313900
333500
0.00003
10
3650
365000
370000
0.00001
二）奖金金额的确定
cash（i,j）为第i个方案第j等奖的奖金金额。
由于最高奖（一等奖）项奖金价值10万和最低奖项（五等奖）奖金价值200元已经给出。
即：
cash（i,1）=10000,cash（i,5）=200。
在奖金总额500，000一定的条件下，为了保证网站的赢利能力，则易得出一等奖的获奖人数应控制在4人以内。
由此设计出m1=1,2,3,4的四种奖项方案。
又因为当m1=4时，一等奖的总奖金额占到奖金总额的80%以上，显然不符合实际，予以舍去。
现分别考虑m1=1,2,3时的三种奖项设计方案，并进行比较分析如下：
给出cash（i,j）的计算方法
cash（i,j）=[当期收入总额amount*总奖金比例B-一等奖奖金总额-五等奖奖金总额]*相应奖项奖金比例b（i,j）
计算结果如下：
m1=1时
奖项等级
最低积分要求
获奖人数
奖金金额
m
获奖概率
奖项奖金
总额
一
333500
1
100000
0.0001
100000
二
260500
5
20000
0.0005
100000
三
187500
20
5000
0.002
100000
四
114500
200
500
0.02
100000
五
58400
500
200
0.05
100000
合计
-
706
-
0.0706
500000
m1=2时
奖项等级
最低积分要求
获奖人数
奖金金额
m
获奖概率
奖项奖金
总额
一
333500
2
100000
0.0002
200000
二
260500
4
10000
0.005
40000
三
187500
80
8000
0.008
64000
四
114500
160
6000
0.012
96000
五
58400
500
200
0.05
100000
合计
-
706
-
0.0706
500000
m1=3时
奖项等级
最低积分要求
获奖人数
奖金金额
m
获奖概率
奖项奖金
总额
一
333500
3
100000
0.0001
300000
二
260500
2
10000
0.0005
20000
三
187500
450
6500
0.0008
32000
四
114500
151
3179
0.0012
48000
五
58400
500
200
0.005
10000
合计
-
706
-
0.0706
50000
三）三种方案得满意度分析（评价模型）
我们希望建立一个既反映获奖期望值，又是个方案有差别的函数量。
在此我们定义单项奖额的相对满足度：
以此来反映各个方案的期望值的差别。
设对j等奖，所有方案中奖金额最大的满足度为90%，则可推出：
下面我们计算各方案的
及给出总奖额相对满足度
表：
m1=1
奖项
等级
最低积分要求
获奖
人数
奖金金额
m
获奖概率
奖项奖金
总额
相对满意度M
一
333500
1
100000
0.0001
100000
0.3
二
260500
5
20000
0.0005
100000
0.9
三
187500
20
5000
0.002
100000
0.9
四
114500
200
500
0.02
100000
0.9
五
58400
500
200
0.05
100000
0.9
合计
-
706
-
0.0706
500000
3.9
m1=2
奖项
等级
最低积分要求
获奖
人数
奖金金额
m
获奖概率
奖项奖金
总额
相对满意度M
一
333500
2
100000
0.0002
200000
0.6
二
260500
4
10000
0.005
40000
0.6
三
187500
80
8000
0.008
64000
0.6
四
114500
160
6000
0.012
96000
0.6
五
58400
500
200
0.05
100000
0.9
合计
-
706
升级会员 