131函数的单调性例题.docx
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131函数的单调性例题
1.3.1函数的单调性
题型一、利用函数的图象确定函数的单调区间
例1.作出下列函数的图象，并写出函数的单调区间
（1）
;
（2）
;
（3）
;（4）
相应作业1：
课本P32第3题.
题型二、用定义法证明函数的单调性
用定义法证明函数的单调性步骤：
取值作差变形定号下结论
取值，即_____________________________；
作差变形,作差____________,变形手段有__________、_____、_____、_______等；
定号，即____________________________________________________________;
下结论，即______________________________________________________。
例2.用定义法证明下列函数的单调性
（1）证明：
在
上是减函数.
▲定义法证明单调性的等价形式：
设
，
那么
在
上是增函数；
在
上是减函数.
（2）证明：
在其定义域是减函数；
（3）证明：
在
上是增函数；
法一：
作差法二：
作商
（4）已知函数
在
上为增函数，且
，试判断
在
上的单调性，并给出证明过程；
▲方法技巧归纳——判断函数单调性的方法：
1、直接法：
熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等；如，练习册P27
（2）P31（上5、1）
2、图象法；
3、定义法；
4、运算性质法：
当
时，函数
与
有相同的单调性；
当
时，函数
与
有相反的单调性；
当函数
恒不等于零时，
与
单调性相反；
若
，则
与
具有相同的单调性；
若
、
的单调性相同，则
的单调性与之不变；
▲即：
增+增=增减+减=减
若
、
的单调性相反，则
的单调性与
同.
▲即：
增-减=增减-增=增
注意：
（1）可熟记一些基本的函数的单调性，一些较复杂的函数可化为基本函数的组合形式，再利用上述结论判断；
（2）
与
的单调性不能确定.
相应作业2：
（1）讨论函数
在
上的单调性（
）；
▲
（2）务必记住“对勾”函数
的单调区间（见练习册P29探究之窗.探究1）
知识拓展——复合函数单调性（▲难点）
一、复习回顾：
复合函数的定义：
如果函数
的定义域为A，函数
的定义域为D，值域为C，则当
时，称函数
为
与
在D上的复合函数，其中
叫做中间变量，
叫层函数，
叫外层函数。
二、引理1已知函数y=f［g（x）］.若t=g（x）在区间（a,b）上是增函数，其值域为（c，d），又函数y=f（t）在区间（c,d）上是增函数，那么，原复合函数y=f［g（x）］在区间（a,b）上是增函数.
引理2已知函数y=f［g（x）］.若t=g（x）在区间（a,b）上是减函数，其值域为（c，d），又函数y=f（t）在区间（c,d）上是减函数，那么，复合函数y=f［g（x）］在区间（a,b）上是增函数.
引理1的证明：
▲重要结论1：
复合法则
若
则
增
增
增
减
减
增
增
减
减
减
增
减
规律可简记为“_____________________”（四个字）
▲重要结论2：
若一个函数是由多个简单函数复合而成的，则此复合函数的单调性由简单函数中减函数的个数决定:
若减函数有偶数个，则复合函数为增函数；
若减函数有奇数个，则复合函数为减函数.
规律可简记为“_____________________”（四个字）
题型三、求复合函数的单调区间
例3.求下列函数的单调区间.
（1）
（2）
▲小结：
1、注意：
（1）求单调区间必先求定义域；
（2）单调区间必须是定义域的子集；
（3）写多个单调区间时，区间之间不能用“
”并起来，应用“，”隔开.
2、判断复合函数单调性步骤：
求函数的定义域；
将复合函数分解成基本初等函数：
与
；
确定两个函数的单调性；
由复合法则“同増异减”得出复合函数单调性.
相应作业3：
求下列函数的单调区间.
（1）
（2）
（3）
单调性的应用
题型四、比较函数值的大小
例4.已知函数
在
上是减函数，试比较
与
的大小.
题型五、已知单调性，求参数围
例5.已知函数
（1）若
的减区间是
，数
的值；
（2）若
在
上单调递减，数
的取值围.
例6.若函数
在R上为增函数，数
的取值围.
题型六、利用单调性，求解抽象不等式
例7.已知函数
是
上的减函数，且
，数
的取值围.
例8.已知
是定义在
上的增函数，且
，且
，解不等式
.
相应作业4：
已知
是定义在
上的增函数，且
，且
，解不等式
.
题型七、抽象函数单调性的判断——定义法
解决此类问题有两种方法：
“凑”，凑定义或凑已知条件，从而使用定义或已知条件得出结论；
赋值法，给变量赋值要根据条件与结论的关系，有时可能要进行多次尝试.
例9.已知函数
对任意实数
、
都有
，且当
时
，求证：
在R上单调递增.
例10.已知定义在
上的函数
对任意
、
，恒有
，且当
时
，判断
在
上单调性.
相应作业5：
定义在
上的函数
对任意
、
，满足
，且当
时
.
（1）求
的值；
（2）求证：
；
（3）求证：
在
上是增函数；
（4）若
，解不等式
；
函数的最大（小）值
1、函数的最大（小）值定义
2、利用单调性求最值常用结论
（1）若函数
在闭区间
上单调递增，则
，
；
（2）若函数
在闭区间
上单调递减，则
，
；
（3）若函数
在开区间
上单调递增，则函数无最值，但值域为
；
（4）若函数
在闭区间
上单调递增，在闭区间
上单调递减，那么函数
，
在
处有最大值，即
；
（5）若函数
在闭区间
上单调递减，在闭区间
上单调递增，那么函数
，
在
处有最小值，即
.
题型八、单调性法求函数最值（值域）
例11、
（1）函数
在
上的最大值为________,最小值为________;
（2）函数
在
上的最大值为________,最小值为________;
（3）函数
的值域为________________;
（4）函数
的值域为________________;
（5）函数
的值域为________________;
（6）函数
的值域为________________;
二次函数的区间最值的求法
二次函数在给定区间
上求最值，常见类型：
（1）定轴定区间：
对称轴与区间
均是确定的；
（2）动轴定区间：
（3）定轴动区间：
（4）动轴动区间：
1、定轴定区间
可数形结合，较易解决，注意对称轴与区间位置关系。
例12.当
时，求函数
的最值.
相应作业6：
求函数
在
上的最值.
2、动轴定区间
例13.已知函数
，求
在
上的最值.
▲动轴定区间问题一般解法：
对对称轴在区间左侧、右侧、部三种情况进行讨论，从而确定最值在区间端点处还是在顶点处取得.
相应作业7：
求函数
在
上的最值.
3、定轴动区间
例14.已知函数
，当
时，求
的最小值
.
相应作业8：
已知函数
，当
时，求
的最大值
.
4、动轴动区间
解决方法：
可将对称轴和区间之一看做不动，进行讨论.
例15.求函数
在
上的最大值.
相应作业9：
求函数
在
上的最值.
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