1、131函数的单调性例题1.3.1函数的单调性题型一、利用函数的图象确定函数的单调区间例1.作出下列函数的图象,并写出函数的单调区间(1); (2);(3); (4)相应作业1:课本P32第3题.题型二、用定义法证明函数的单调性用定义法证明函数的单调性步骤:取值 作差变形 定号 下结论 取值,即_; 作差变形,作差_,变形手段有_、_、_、_等; 定号,即_;下结论,即_。例2.用定义法证明下列函数的单调性(1)证明:在上是减函数.定义法证明单调性的等价形式:设,,那么在上是增函数;在上是减函数.(2)证明:在其定义域是减函数;(3)证明:在上是增函数;法一: 作差 法二:作商(4)已知函数在上
2、为增函数,且,试判断在上的单调性,并给出证明过程;方法技巧归纳判断函数单调性的方法:1、直接法:熟悉的函数,如一次函数、二次函数、反比例函数等;如,练习册P27(2)P31(上5、1)2、图象法;3、定义法;4、运算性质法:当时,函数与有相同的单调性;当时,函数与有相反的单调性;当函数恒不等于零时,与单调性相反;若,则与具有相同的单调性;若、的单调性相同,则的单调性与之不变;即:增+增=增 减+减=减若、的单调性相反,则的单调性与同.即:增-减=增 减-增=增 注意:(1)可熟记一些基本的函数的单调性,一些较复杂的函数可化为基本函数的组合形式,再利用上述结论判断;(2)与的单调性不能确定.相应
3、作业2:(1)讨论函数在上的单调性();(2)务必记住“对勾”函数的单调区间(见练习册P29探究之窗.探究1)知识拓展复合函数单调性(难点)一、复习回顾:复合函数的定义:如果函数的定义域为A,函数的定义域为D,值域为C,则当时,称函数为与在D上的复合函数,其中叫做中间变量,叫层函数,叫外层函数。二、引理1 已知函数y=fg(x).若t=g(x)在区间(a,b)上是增函数,其值域为(c,d),又函数y=f(t)在区间(c,d)上是增函数,那么,原复合函数y=fg(x)在区间(a,b)上是增函数. 引理2 已知函数y=fg(x).若t=g(x)在区间(a,b)上是减函数,其值域为(c,d),又函数
4、y=f(t)在区间(c,d)上是减函数,那么,复合函数y=fg(x)在区间(a,b)上是增函数.引理1的证明:重要结论1:复合法则若则增增增减减增增减减减增减规律可简记为“_”(四个字)重要结论2:若一个函数是由多个简单函数复合而成的,则此复合函数的单调性由简单函数中减函数的个数决定: 若减函数有偶数个,则复合函数为增函数; 若减函数有奇数个,则复合函数为减函数.规律可简记为“_”(四个字)题型三、求复合函数的单调区间例3. 求下列函数的单调区间.(1) (2)小结:1、注意:(1)求单调区间必先求定义域;(2)单调区间必须是定义域的子集;(3)写多个单调区间时,区间之间不能用“”并起来,应用
5、“,”隔开.2、判断复合函数单调性步骤: 求函数的定义域; 将复合函数分解成基本初等函数:与; 确定两个函数的单调性;由复合法则“同増异减”得出复合函数单调性.相应作业3:求下列函数的单调区间.(1) (2)(3)单调性的应用题型四、比较函数值的大小例4.已知函数在上是减函数,试比较与的大小.题型五、已知单调性,求参数围例5.已知函数(1)若的减区间是,数的值;(2)若在上单调递减,数的取值围.例6.若函数在R上为增函数,数的取值围.题型六、利用单调性,求解抽象不等式例7.已知函数是上的减函数,且,数的取值围.例8.已知是定义在上的增函数,且,且,解不等式.相应作业4:已知是定义在上的增函数,
6、且,且,解不等式. 题型七、抽象函数单调性的判断定义法解决此类问题有两种方法: “凑”,凑定义或凑已知条件,从而使用定义或已知条件得出结论; 赋值法,给变量赋值要根据条件与结论的关系,有时可能要进行多次尝试.例9.已知函数对任意实数、都有,且当时,求证:在R上单调递增.例10.已知定义在上的函数对任意、,恒有,且当时,判断在上单调性.相应作业5:定义在上的函数对任意、,满足,且当时.(1)求的值;(2)求证:;(3)求证:在上是增函数;(4)若,解不等式;函数的最大(小)值1、函数的最大(小)值定义2、利用单调性求最值常用结论(1)若函数在闭区间上单调递增,则,;(2)若函数在闭区间上单调递减
7、,则,;(3)若函数在开区间上单调递增,则函数无最值,但值域为;(4)若函数在闭区间上单调递增,在闭区间上单调递减,那么函数,在处有最大值,即;(5)若函数在闭区间上单调递减,在闭区间上单调递增,那么函数,在处有最小值,即.题型八、单调性法求函数最值(值域)例11、(1)函数在上的最大值为_,最小值为_;(2)函数在上的最大值为_,最小值为_;(3)函数的值域为_;(4)函数的值域为_;(5)函数的值域为_;(6)函数的值域为_;二次函数的区间最值的求法二次函数在给定区间上求最值,常见类型:(1)定轴定区间:对称轴与区间均是确定的;(2)动轴定区间:(3)定轴动区间:(4)动轴动区间:1、定轴定区间可数形结合,较易解决,注意对称轴与区间位置关系。例12.当时,求函数的最值.相应作业6:求函数在上的最值.2、动轴定区间例13.已知函数,求在上的最值.动轴定区间问题一般解法:对对称轴在区间左侧、右侧、部三种情况进行讨论,从而确定最值在区间端点处还是在顶点处取得.相应作业7:求函数在上的最值.3、定轴动区间例14.已知函数,当时,求的最小值.相应作业8:已知函数,当时,求的最大值.4、动轴动区间解决方法:可将对称轴和区间之一看做不动,进行讨论.例15.求函数在上的最大值.相应作业9:求函数在上的最值.
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