北京届高三最新理科数学试题分类汇编专题概率.docx

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北京届高三最新理科数学试题分类汇编专题概率

北京2013届高三最新模拟试题分类汇编（含9区一模及上学期期末试题精选专题:

概率

一、选择题

1.（2013届北京大兴区一模理科若实数,ab满足2

2

1ab+≤,则关于x的方程2

20xxab-++=有实

数根的概率是（

A.

1

4

B.

34C.3π2

4π

+D.π24π-2.（2013届东城区一模理科某游戏规则如下:

随机地往半径为1的圆内投掷飞标,若飞标到圆心的距离大

于

12,则成绩为及格;若飞标到圆心的距离小于14,则成绩为优秀;若飞标到圆心的距离大于1

4

且小于1

2

则成绩为良好,那么在所有投掷到圆内的飞标中得到成绩为良好的概率为（

A.316B.14C.34D.116

3.（北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题将正整数1,2,3,4,5,6,7随机分成两组,使得每

组至少有一个数,则两组中各数之和相等的概率是（

A.

221

B.

463

C.

121D.

263

4.（北京市丰台区2013届高三上学期期末考试数学理试题从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个

球,则恰有一个红球的概率是（

A.

1

3

B.

12

C.

23

D.

56

5.（北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学理试题设不等式组22,42xyxy-+≥≥-⎧⎪

⎨⎪⎩

0≤,表示的平面区域为

D.在区域D内随机取一个点,则此点到直线+2=0y的距离大于2的概率是

（

A.

413

B.

513

C.

825

D.

925

二、填空题

6.（北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二数学（理试题已知随机变量X的

分布列如下,则EX

7.（北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理试题已知区域1,{（,0,}1,yxxyyx≤+⎧⎪

Ω=≥⎨⎪≤⎩

1,

{（,}0,

yxMxyy⎧≤-+⎪=⎨≥⎪⎩,向区域Ω内随机投一点P,点P落在区域M内的概率为.

三、解答题

8.（2013届北京大兴区一模理科期末考试结束后,随机抽查了某校高三（1班5名同学的数学与物理成绩,如下表:

（1分别求这5名同学数学与物理成绩的平均分与方差,并估计该班数学与物理成绩那科更稳定。

从4名数学成绩在90分以上的同学中选2人参加一项活动,以X表示选中同学的物理成绩高于90分的人数,求随机变量X的分布列及数学期望E（X的值.

9.（2013届北京丰台区一模理科在一次抽奖活动中,有甲、乙等6人获得抽奖的机会。

抽奖规则如下:

主办方先从6人中随机抽取两人均获奖1000元,再从余下的4人中随机抽取1人获奖600元,最后还从这4人中随机抽取1人获奖400元。

（Ⅰ求甲和乙都不获奖的概率;

（Ⅱ设X是甲获奖的金额,求X的分布列和均值EX。

10.（2013届北京海滨一模理科在某大学自主招生考试中,所有选报II类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试,成绩分为A,B,C,D,E五个等级.某考场考生两科的考试成绩的数据统计如下图所示,其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人.

（I求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数;

（II若等级A,B,C,D,E分别对应5分,4分,3分,2分,1分.

（i求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分;

（ii若该考场共有10人得分大于7分,其中有2人10分,2人9分,6人8分.从这10

人中随机抽取两人,求两人成绩之和的分布列和数学期望.

11.（2013届北京市延庆县一模数学理空气质量指数5.2PM（单位:

3

/gm表示每立方米空气中可入肺颗

粒物的含量,这个值越高,就代表空气污染越严重:

甲、乙两城市2013年2月份中的15天对空气质量指数5.2PM进行监测,获得5.2PM日均浓度指数数

据如茎叶图所示:

（Ⅰ根据你所学的统计知识估计甲、乙两城市15天内

哪个城市空气质量总体较好?

（注:

不需说明理由

（Ⅱ在15天内任取1天,估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率;

（Ⅲ在乙城市15个监测数据中任取2个,设X为空气质量类别为优或良的天数,求X的分布列及数学期望.

12.（2013届北京西城区一模理科某班有甲、乙两个学习小组,两组的人数如下:

现采用分层抽样的方法（层内采用简单随机抽样从甲、乙两组中共抽取3名同学进行学业检测.（Ⅰ求从甲组抽取的同学中恰有1名女同学的概率;

（Ⅱ记X为抽取的3名同学中男同学的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.

13.（2013届东城区一模理科某班联欢会举行抽奖活动,现有六张分别标有1,2,3,4,5,6六个数字的

形状相同的卡片,其中标有偶数数字的卡片是有奖卡片,且奖品个数与卡片上所标数字相同,游戏规则

302244896615178823098甲城市3204

5564

7697

8807

91809

乙城市

如下:

每人每次不放回抽取一张,抽取两次.（Ⅰ求所得奖品个数达到最大时的概率;

（Ⅱ记奖品个数为随机变量X,求X的分布列及数学期望.

14.（2013届房山区一模理科数学PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒

物.我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值,即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级;在35微克/立方米75微克/立方米之间空气质量为二级;在75微克/立方米以上空气质量为超标.

某城市环保局从该市市区2012年全年每天的PM2.5监测数据中随机的抽取15天的数据作为样本,监测值如茎叶图所示（十位为茎,个位为叶.

（Ⅰ从这15天的PM2.5日均监测数据中,随机抽出三天数据,求恰有一天空气质量达到一级的概率;

（Ⅱ从这15天的数据中任取三天数据,记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数,求ξ的分布列和数学期望;

（Ⅲ根据这15天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况,则一年（按365天计算中平均有多少天的空气质量达到一级或二级.

15.（2013届门头沟区一模理科交通指数是交通拥堵指数的简称,是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性

指数值,交通指数取值范围为0~10,分为五个级别,0~2畅通;2~4基本畅通;4~6轻度拥堵;6~8中度拥堵;8~10严重拥堵.

早高峰时段,从北京市交通指挥中心随机选取了四环以内的50个交通路段,依据其交通指数数据绘制的直方图如右图.

（Ⅰ这50个路段为中度拥堵的有多少个?

（Ⅱ据此估计,早高峰四环以内的三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是多少?

（III某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟,基本畅通为30分钟,轻度拥堵为36分钟;中度拥堵为42分钟;严重拥堵为60分钟,求此人所用时间的数学期望.

16.（北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二数学（理试题（本小题满分13分某

地区举办了一次数学知识应用竞赛.有近万名学生参加,为了分析竞赛情况,在参赛学生中随机抽取了

40名学生的成绩,并根据他们的成绩制作了频率分布直方图（如图所示.（1试估计这40名学生成绩的众数;

（2试估计这40名学生的成绩在（]8472,之间的人数;

（3从参加活动的学生中任取5人,求这5人中恰有2人的成绩在（]0980,之间的概率.

17.（北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理试题甲箱子里装有3个白球、2个黑球,乙箱子里装

有1个白球、2个黑球,这些球除颜色外完全相同,现在从这两个箱子里各随机摸出2个球,求（Ⅰ摸出3个白球的概率;（Ⅱ摸出至少两个白球的概率;

（Ⅲ若将摸出至少两个白球记为1分,则一个人有放回地摸2次,求得分X的分布列及数学期望。

18.（北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题生产A,B两种元件,其质量按测试指标划分

为:

指标大于或等于82为正品,小于82为次品.现随机抽取这两种元件各100件进行检测,检测结果统计如下:

60

65707580859095100分数

（Ⅰ试分别估计元件A,元件B为正品的概率;

（Ⅱ生产一件元件A,若是正品可盈利40元,若是次品则亏损5元;生产一件元件B,若是正品可盈利50元,若是次品则亏损10元.在（Ⅰ的前提下,

（ⅰ记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润,求随机变量X的分布列和数学期望;（ⅱ求生产5件元件B所获得的利润不少于140元的概率.

19.（北京市顺义区2013届高三第一次统练数学理科试卷（解析现有甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击两次,

每次命中的概率为

43,每命中一次得1分,没有命中得0分;向乙靶射击一次,命中的概率为3

2

命中得2分,没有命中得0分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击.（I求该射手恰好命中两次的概率;

（II求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX;（III求该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次的概率.

20.（北京市通州区2013届高三上学期期末考试理科数学试

题某工厂

甲、乙两个车间包装同一种产品,在自动包装传送带上每隔一小时抽一包产品,称其重量（单位:

克是否合格,分别记录抽查数据,获

得重量数据茎叶图（如右.

（Ⅰ根据样本数据,计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方

差,并说明哪个车间的产品的重量相对稳定;

（Ⅱ若从乙车间6件样品中随机抽取两件,求所抽取两件样品重量之差不超过2克的概率.

21.（北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学理试题（本小题满分13分为了解甲、乙两厂的产品的

质量,从两厂生产的产品中随机抽取各10件,测量产品中某种元素的含量（单位:

毫克.下表是测量数据的茎叶图:

甲厂乙厂90

3965818456903

1

5032103

2124431111025

71089

甲乙

规定:

当产品中的此种元素含量满足≥18毫克时,该产品为优等品.（Ⅰ试用上述样本数据估计甲、乙两厂生产的优等品率;

（Ⅱ从乙厂抽出的上述10件产品中,随机抽取3件,求抽到的3件产品中优等品数ξ的分布列及其数学期望（Eξ;

（Ⅲ从上述样品中,各随机抽取3件,逐一选取,取后有放回,求抽到的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率.

22.（【解析】北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学理试题某中学举行了一次“环保知识竞赛”,

全校学生参加了这次竞赛.为了了解本次竞赛成绩情况,从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数,满分为100分作为样本进行统计.请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示解决下列问题:

（Ⅰ写出,,,abxy的值;

（Ⅱ在选取的样本中,从竞赛成绩是80分以上（含

80分的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动,求所抽取的2名同学来自同一组的概率;

（Ⅲ在（Ⅱ的条件下,设ξ表示所抽取的2名同学中来自第5组的人数,求ξ的分布列及其数学期望.

组别分组频数频率

第1组[50,608

0.16

第2组[60,70a▓

第3组[70,80200.40

第4组

[80,90▓

0.08

第5组

[90,100]2b

合计

▓

▓

频率分布表

频率分布直方图

23.（【解析】北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学理试题汽车租赁公司为了调查A,B两种车型的出租情况,现随机抽取了这两种车型各100辆汽车,分别统计了每辆车某个星期内的出租天数,统计数据如下表:

A型车

7

2

B

（I从出租天数为3天的汽车（仅限A,B两种车型中随机抽取一辆,估计这辆汽车恰好是A型车的概率;

（Ⅱ根据这个星期的统计数据,估计该公司一辆A型车,一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率;

（Ⅲ如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同,该公司需要从A,B两种车型中购买一辆,请你根据所学的统计知识,给出建议应该购买哪一种车型,并说明你的理由.

24.（【解析】北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学理试题甲、乙、丙三人独立破译同一份密码,

已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为11

23

p

、,且他们是否破译出密码互不影响.若三人中只有

甲破译出密码的概率为14.

（Ⅰ求甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率;

（Ⅱ求p的值;

（Ⅲ设甲、乙、丙三人中破译出密码的人数为X,求X的分布列和数学期望EX.

25.（北京市房山区2013届高三上学期期末考试数学理试题（本小题满分13分在某校组织的一次篮球定点

投篮测试中,规定每人最多

..投3次,每次投篮的结果相互独立.在A处每投进一球得3分,在B处每投进一球得2分,否则得0分.将学生得分逐次累加并用ξ表示,如果ξ的值不低于3分就认为通过测试,

立即停止

....投篮,否则继续投篮,直到投完三次为止.投篮的方案有以下两种:

方案1:

先在A处投一球,以后都在B处投;方案2:

都在B处投篮.甲同学在A处投篮的命中率为5.0,在B处投篮的命中率为8.0.

（Ⅰ甲同学选择方案1.

①求甲同学测试结束后所得总分等于4的概率;

②求甲同学测试结束后所得总分ξ的分布列和数学期望Eξ;

（Ⅱ你认为甲同学选择哪种方案通过测试的可能性更大?

说明理由.

北京2013届高三最新模拟试题分类汇编（含9区一模及上学期期末试题精选专题:

概率参考答案

一、选择题1.C2.A3.【答案】B

解:

将正整数1,2,3,4,5,6,7随机分成两组,使得每组至少有一个数则有

123456777777722126CCCCCC+++++=-=种,因为123456728++++++=,所以要使两组中各

数之和相,则有各组数字之和为14.则有7615432++=+++;7526431++=+++;

7436521++=+++;7421653+++=++;5432761+++=++;6431752+++=++;6521743+++=++;6537421++=+++共8种,所以两组中各数之和相等的概率是84

12663

=

选B.4.【答案】C

解:

从袋中任取2个球,恰有一个红球的概率11222

442

63

CCPC===,选C.5.【答案】D

解:

不等式对应的区域为三角形DEF,当点D在线段BC上时,点D到直线+2=0y的距离等于2,所以要使点D到直线的距离大于2,则点D应在三角形BCF中。

各点的坐标为

（20（40（62（42（43BCDEF----,,,,,,,,,,所以105DEEF==,,6BC=,

3CF=,根据几何概型可知所求概率为

1

63

9

1

251052

BCF

DEF

SPS∆∆⨯⨯=

==⨯⨯,选D.

二、填空题6.

53

7.

1

2

三、解答题

8.解:

（Ⅰ5名学生数学成绩的平均分为:

939795939189（5

1

=++++5名学生数学成绩的方差为:

8]9397（9395（9393（9391（9389[（5

1

22222=-+-+-+-+-5名学生物理成绩的平均分为:

909392898987（5

1

=++++

5名学生物理成绩的方差为:

5

24]9093（9092（9089（9089（9087[（5122222=-+-+-+-+-因为样本的数学成绩方差比物理成绩方差大,所以,估计高三（1班总体物理成绩比数学成绩稳定.（Ⅱ由题意可知,0X=,1,2

02

222

41

（06

CCPXC⋅===11222

42

（13

CCPXC⋅===20222

41

（26

CCPXC⋅===随机变量X的分布列是

121

（0121636

EX=⨯+⨯+⨯=

9.解:

（Ⅰ设“甲和乙都不获奖”为事件A,„„„„„„„„„„„„1分

则P（A=2114222116441

10

CCCCCC⋅⋅=,

答:

甲和乙都不获奖的概率为

1

10

.„„„„„„„„„„„„„„5分

（ⅡX的所有可能的取值为0,400,600,1000,„„„„„„„„„„„„„6分

P（X=0=3

8

P（X=400=2526311448CC⋅⋅=,P（X=600=2526131448CC⋅⋅=,

P（X=1000=1

2552266113

448

CCCC+⋅⋅=,„„„„„„„„„„„„„„„„10分

∴X的分布列为

„„„„„11分∴E（X=0×

38+400×18+600×18+1000×3

8

=500（元.答:

甲获奖的金额的均值为500（元.„„„„„„„„„„13分

10.解:

（I因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人,

所以该考场有100.2540÷=人„„„„„„1分

所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为

40（10.3750.3750.150.025400.0753⨯----=⨯=„„„„„„3分

（II求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为

1（400.22（400.13（400.3754（400.255（400.075

2.940

⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=

„„„„„„7分

（Ⅲ设两人成绩之和为ξ,则ξ的值可以为16,17,18,19,20„„„„„„8分

2621015（1645CPCξ===,11622

1012

（1745CCPCξ===11262222101013（1845CCCPCCξ==+=,11222

104

（1945CCPC

ξ===222101

（2045

CPCξ===

所以ξ的分布列为

„„„„„„11分所以151********61718192045454545455

Eξ=⨯

+⨯+⨯+⨯+⨯=所以ξ的数学期望为

86

5

„„„„„„13分11.解:

（Ⅰ甲城市空气质量总体较好.

„„„2分

（Ⅱ甲城市在15天内空气质量类别为优或良的共有10天,任取1天,空气质量类别为优或良的概率为

3

2

1510=,„„„4分

乙城市在15天内空气质量类别为优或良的共有5天,任取1天,空气质量类别为优或良的概率为3

1

155=,

„„„6分

在15天内任取1天,估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率为

9

23132=⨯.„„„8分

（ⅢX的取值为2,1,0,„„„9分

730（21521005===CCCXP,21101（2151

1015===CCCXP,212

0（2

15

01025===CCCXPX的分布列为:

数学期望3

21221170=⨯+⨯+⨯=EX„„„13分

12.（Ⅰ解:

依题意,甲、乙两组的学生人数之比为（35:

（222:

1++=,„„„„1分

所以,从甲组抽取的学生人数为

2323⨯=;从乙组抽取的学生人数为1

313

⨯=.„2分设“从甲组抽取的同学中恰有1名女同学”为事件A,„„3分

则11

35

2

8CC15（C28

PA⋅==,故从甲组抽取的同学中恰有1名女同学的概率为

15

28

.„„„„5分（Ⅱ解:

随机变量X的所有取值为0,1,2,3.„„„6分

21522184CC5（0CC28PX⋅===⋅,1112135252

2121

8484CCCCC25（1CCCC56

PX⋅⋅⋅==+=⋅⋅,211113235221218484CCCCC9（2CCCC28PX⋅⋅⋅==+=⋅⋅,2132

21

84

CC3（3CC56PX⋅===⋅.„„„„„10分所以,随机变量X的分布列为:

„„„„„„11分

525935

0123285628564

EX=⨯

+⨯+⨯+⨯=.„„„„„„13分13.（Ⅰ由题意可知所得奖品个数最大为10,概率为:

2

2261

15

ApA==.

（ⅡX的可能取值是:

0,2,4,6,8,10.

所以024*********

EX=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.

14.（Ⅰ从茎叶图可知,空气质量为一级的有4天,为二级的有6天,超标的有5天

记“从15天的2.5PM日均监测数据中,随机抽出三天,恰有一天空气质量达到一级”为事件A

则124113

1544

（91

CCPAC==„„„„„„„„„„„„„„3分（Ⅱξ的可能值为0,1,2,3,„„„„„„„„4分

0351031524（091CCPCξ===125103

1545

（191

CCPCξ===2151031520

（291CCPCξ===305103

152（391

C