《力的合成与分解》讲与练旧人教必修.docx
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《力的合成与分解》讲与练旧人教必修
第二章相互作用
第二讲力的合成与分解
课时安排：
2课时
教学目标：
1．理解合力、分力的概念，掌握矢量合成的平行四边形定则。
2．能够运用平行四边形定则或力三角形定则解决力的合成与分解问题。
3．进一步熟悉受力分析的基本方法，培养学生处理力学问题的基本技能。
本讲重点：
1．力的合成与分解
2．力的平行四边形定则
本讲难点：
运用平行四边形定则或力三角形定则解决力的合成与分解问题。
考点点拨：
1．平行四边形定则的基本应用
2．力的合成分解中常用的方法
3．用图解法分析力的动态变化及最值问题
4．用正交分解法求解力的合成与分解问题
第一课时
一、力的合成与分解
1．合力与分力
如果一个力产生的效果和其他几个力产生的效果相同，这个力就叫那几个力的合力，那几个力就叫这个力的分力。
2．力的合成：
求几个力的合力叫做力的合成。
（1）平行四边形定则：
力的合成的本质就在于保证作用效果相同的前提下，用一个力的作用代替几个力的作用，这个力就是那几个力的“等效力”（合力）。
力的平行四边形定则是运用“等效”观点，通过实验总结出来的共点力的合成法则，它给出了寻求这种“等效代换”所遵循的规律。
（2）三角形定则：
平行四边形定则可简化成三角形定则。
由三角形定则还可以得到一个有用的推论：
如果n个力首尾相接组成一个封闭多边形，则这n个力的合力为零。
（3）共点的两个力合力的大小范围：
|F1－F2|≤F合≤F1＋F2
（4）共点的三个力合力的最大值为三个力的大小之和，最小值可能为零。
3．力的分解：
求一个力的分力叫力的分解。
（1）力的分解遵循平行四边形法则，力的分解相当于已知对角线求邻边。
（2）两个力的合力惟一确定，一个力的两个分力在无附加条件时，从理论上讲可分解为无数组分力，但在具体问题中，应根据力实际产生的效果来分解。
（3）几种有条件的力的分解
①已知两个分力的方向，求两个分力的大小时，有唯一解。
②已知一个分力的大小和方向，求另一个分力的大小和方向时，有唯一解。
③已知两个分力的大小，求两个分力的方向时，其分解不惟一。
④已知一个分力的大小和另一个分力的方向，求这个分力的方向和另一个分力的大小时，其分解方法可能惟一，也可能不惟一。
4．力的合成与分解体现了用等效的方法研究物理问题。
合成与分解是为了研究问题的方便而引入的一种方法。
用合力来代替几个力时必须把合力与各分力脱钩，即考虑合力则不能考虑分力，同理在力的分解时只考虑分力而不能同时考虑合力。
二、高考要点精析
（一）平行四边形定则的基本应用
☆考点点拨
应用平行四边形定则求解力的合成与分解问题，就是讨论平行四边形的对角线与两个邻边的关系。
【例1】一个力分解为两个分力，下列情况中，不能使力的分解结果一定唯一的有（）
A．已知两个分力的方向
B．已知两个分力的大小
C．已知一个分力的大小和另一个分力的方向
D．已知一个分力的大小和方向
解析：
一个力分解为两个分力，根据平行四边形定则，即已知平行四边形的对角线，确定平行四边形的两个邻边。
力的分解通常有下面的几种组合：
①已知两个分力的方向，确定两分力的大小，有唯一解；②已知两个分力的大小，确定两分力的方向。
这种情况必须先看两分力大小与合力是否满足|F1－F2|≤F≤F1＋F2，若不满足这个关系则无解，满足这个关系时有两解；③已知一个分力的大小和另一个分力的方向，确定一个分力的方向和另一个分力的大小，这种情况可能无解、两解或一解；④已知一个分力的大小和方向，确定另一个分力的大小和方向，这种情况有唯一解。
所以不能使力的分解结果一定唯一的选项有B、C。
答案：
BC
☆考点精炼
1．物体受到互相垂直的两个力F1、F2的作用，若两力大小分别为5
N、5N，求这两个力的合力．
2．关于分力和合力，以下说法不正确的是（）
A．合力的大小，小于任何一个分力是可能的
B．如果一个力的作用效果其它几个力的效果相同，则这个力就是其它几个力的合力
C．合力的大小一定大于任何一个分力
D．合力可能是几个力的代数和
（二）力的合成分解中常用的数学方法
☆考点点拨
在力的合成分解中利用平行四边形定则求解是基本方法，也要根据实际情况采用不同的分析方法：
（1）若出现直角三角形，常用三角函数表示合力与分力的关系。
（2）若给定条件中有长度条件，常用力组成的三角形（矢量三角形）与长度组成的三角形（几何三角形）的相似比求解。
【例2】水平横粱的一端A插在墙壁内，另一端装有一小滑轮B，一轻绳的一端C固定于墙上，另一端跨过滑轮后悬挂一质量m=10kg的重物，∠CBA=30°，如图所示，则滑轮受到绳子的作用力为（g=10m/s2）
A．50NB．50
NC．100ND．100
N
解析取小滑轮作为研究对象，悬挂重物的绳中的弹力是T=mg=10×10N=100N，故小滑轮受绳的作用力沿BC、BD方向的大小都是100N，分析受力如图所示。
∠CBD=120°，∠CBF=∠DBF，∴∠CBF=60°，⊿CBF是等边三角形．故F=100N。
故选C。
答案：
C
【例3】如图所示，固定在水平面上的光滑半球，球心O的正上方固定一个小定滑轮，细绳一端拴一小球，小球置于半球面上的A点，另一端绕过定滑轮，如图所示。
今缓慢拉绳使小球从A点滑向半球顶点（未到顶点），则此过程中，小球对半球的压力大小N及细绳的拉力T大小的变化情况是（）
A.N变大，T变大B.N变小，T变大
C.N不变，T变小D.N变大，T变小
解析：
对A进行受力分析，如图所示，力三角形AF′N与几何三角形OBA相似，由相似三角形对应边成比例，解得N不变，T变小。
答案：
C
点评：
相似三角形法是解平衡问题时常遇到的一种方法，解题的关键是正确的受力分析，寻找力三角形和结构三角形相似。
☆考点精炼
3．如图所示，绳子AB能承受的最大拉力为100N，用它悬挂一个重50N的物体，现在其中点O施加一个水平拉力F缓慢向右拉动，当绳子断裂时AO段与竖直方向间的夹角是多大？
此时水平拉力F的大小为多少？
4．如图所示，竖直绝缘墙壁上的Q处有一固定的质点A，在Q的正上方的P点用丝线悬挂另一质点B，A、B两质点因为带电而相互排斥，致使悬线与竖直方向成θ角，由于缓慢漏电使A、B两质点的带电量逐渐减小。
在电荷漏完之前悬线对悬点P的拉力大小（）
A．保持不变
B．先变大后变小
C．逐渐减小
D．逐渐增大
第二课时
（三）用图解法分析力的动态变化及最值问题
☆考点点拨
用力的矢量三角形定则分析力最小值的规律：
①当已知合力F的大小、方向及一个分力F1的方向时，另一个分力F2取最小值的条件是两分力垂直。
如图所示，F2的最小值为：
F2min=Fsinα
②当已知合力F的方向及一个分力F1的大小、方向时，另一个分力F2取最小值的条件是：
所求分力F2与合力F垂直，如图所示，F2的最小值为：
F2min=F1sinα
③当已知合力F的大小及一个分力F1的大小时，另一个分力F2取最小值的条件是：
已知大小的分力F1与合力F同方向，F2的最小值为｜F－F1｜
【例3】重为G的光滑小球静止在固定斜面和竖直挡板之间。
如图所示。
若挡板逆时针缓慢转到水平位置，在该过程中，斜面和挡板对小球的弹力的大小F1、F2各如何变化？
解析：
对小球受力分析，如图。
由于挡板是缓慢转动的，可以认为每个时刻小球都处于静止状态，因此所受合力为零。
应用三角形定则，G、F1、F2三个矢量应组成封闭三角形，其中G的大小、方向始终保持不变；F1的方向不变；F2的起点在G的终点处，而终点必须在F1所在的直线上，由图可知，挡板逆时针转动90°的过程中，F2矢量也逆时针转动90°，因此F1逐渐变小，F2先变小后变大。
（当F2⊥F1，即挡板与斜面垂直时，F2最小）
答案：
F1逐渐变小，F2先变小后变大。
☆考点精炼
5．如图所示，质量均可忽略的轻绳与轻杆，承受弹力的最大值一定，A端用铰链固定，滑轮在A点正上方（滑轮大小及摩擦均可不计），B端吊一重物。
现将绳的一端拴在杆的B端，用拉力F将B端缓慢上拉（均未断），在AB杆达到竖直前（）
A．绳子越来越容易断
B．绳子越来越不容易断
C．AB杆越来越容易断
D．AB杆越来越不容易断
（四）用正交分解法求解力的合成与分解问题
☆考点点拨
正交分解法：
把一个力分解成两个互相垂直的分力，这种分解方法称为正交分解法。
用正交分解法求合力的步骤：
①首先建立平面直角坐标系，并确定正方向
②把各个力向x轴、y轴上投影，但应注意的是：
与确定的正方向相同的力为正，与确定的正方向相反的为负，这样，就用正、负号表示了被正交分解的力的分力的方向
③求在x轴上的各分力的代数和Fx合和在y轴上的各分力的代数和Fy合
④求合力的大小
合力的方向：
tanα=
（α为合力F与x轴的夹角）
点评：
力的正交分解法是把作用在物体上的所有力分解到两个互相垂直的坐标轴上，分解最终往往是为了求合力（某一方向的合力或总的合力）。
【例5】质量为m的木块在推力F作用下，在水平地面上做匀速运动．已知木块与地面间的动摩擦因数为µ，那么木块受到的滑动摩擦力为下列各值的哪个?
A．µmgＢ．µ（mg+Fsinθ）
Ｃ．µ（mg－Fsinθ）Ｄ．Fcosθ
解析：
木块匀速运动时受到四个力的作用：
重力mg、推力F、支持力FN、摩擦力Fµ．沿水平方向建立x轴，将F进行正交分解如图（这样建立坐标系只需分解F），由于木块做匀速直线运动，所以，在x轴上，向左的力等于向右的力（水平方向二力平衡）；在y轴上向上的力等于向下的力（竖直方向二力平衡）．即
Fcosθ＝Fµ①
FN＝mg+Fsinθ②
又由于Fµ＝µFN③
∴Fµ＝µ（mg+Fsinθ）故Ｂ、Ｄ答案是正确的．
小结：
（1）在分析同一个问题时，合矢量和分矢量不能同时使用。
也就是说，在分析问题时，考虑了合矢量就不能再考虑分矢量；考虑了分矢量就不能再考虑合矢量。
（2）矢量的合成分解，一定要认真作图。
在用平行四边形定则时，分矢量和合矢量要画成带箭头的实线，平行四边形的另外两个边必须画成虚线。
（3）各个矢量的大小和方向一定要画得合理。
（4）在应用正交分解时，两个分矢量和合矢量的夹角一定要分清哪个是大锐角，哪个是小锐角，不可随意画成45°。
（当题目规定为45°时除外）
☆考点精炼
6．如图所示，将一条轻而柔软的细绳一端固定在天花板上的A点，另一端固定在竖直墙上的B点，A和B到O点的距离相等，绳长为OA的两倍。
滑轮的大小与质量均可忽略，滑轮下悬挂一质量为m的重物。
设摩擦力可忽略，求平衡时绳所受的拉力为多大？
考点精炼参考答案
1．解析：
根据平行四边形定则作出平行四边形，如图所示，由于F1、F2相互垂直，所以作出的平行四边形为矩形，对角线分成的两个三角形为直角三角形，由勾股定理得：
N=10N
合力的方向与F1的夹角θ为：
θ＝30°
2．C
3．解析在缓慢向右拉动的过程中，OB段绳承受的拉力等于物重G＝50N，不会断裂；当OA段绳与竖直方向的夹角增大到θ时，承受的拉力达到最大Fm＝100N时断裂。
断裂前有F与Fm的合力大小等于G，如右图。
则
Fmcosθ＝G
解得：
cosθ＝0.5，θ＝60º
此时水平拉力F的大小为
F＝Fmsinθ＝Gtanθ＝
N。
4．A（受力分析，利用力三角形与几何三角形相似求解）
5．B（因为轻杆，力的作用点在杆的一端，故杆中的作用力沿杆的方向。
对B点受力分析，如图，当θ角减小时，绳中拉力减小。
杆受到的压力沿杆的方向，故杆无所谓易断不易断。
故B项正确。
）
6．如图所示：
由平衡条件得2Tsinθ=mg
设左、右两侧绳长分别为l1、l2，AO=l，则由几何关系得
l1cosθ+l2cosθ=l
l1+l2=2l
由以上几式解得θ=60°，T=
mg
三、考点落实训练
1如图所示．有五个力作用于一点P，构成一个正六边形的两个邻边和三条对角线，设F3=10N，则这五个力的合力大小为（）
A．10（2＋
）NB．20N
C．30ND．0
2．关于二个共点力的合成．下列说法正确的是（）
A．合力必大于每一个力
B．合力必大于两个力的大小之和
C．合力的大小随两个力的夹角的增大而减小
D．合力可以和其中一个力相等，但小于另一个力
3．如图所示质量为m的小球被三根相同的轻质弹簧a、b、c拉住，c竖直向下a、b、c三者夹角都是120°，小球平衡时，a、b、c伸长的长度之比是3∶3∶1，则小球受c的拉力大小为（）
A．mgB．0.5mg
C．1.5mgD．3mg
4．如图所示．物体处于平衡状态，若保持a不变，当力F与水平方向夹角β多大时F有最小值（）
A．β＝0B．β＝
C．β＝αD．β＝2α
5．如图所示一条易断的均匀细绳两端固定在天花板的A、B两点，今在细绳O处吊一砝码，如果OA＝2BO，则（）
A．增加硅码时，AO绳先断
B．增加硅码时，BO绳先断
C．B端向左移，绳子易断
D．B端向右移，绳子易断
6．图所示，A、A′两点很接近圆环的最高点．BOB′为橡皮绳，∠BOB′＝120°，且B、B′与OA对称．在点O挂重为G的物体，点O在圆心，现将B、B′两端分别移到同一圆周上的点A、A′，若要使结点O的位置不变，则物体的重量应改为
A．GB．
C．
D．2G
7．如图所示，在“共点力合成”实验中，橡皮条一端固定于P点，另一端连接两个弹簧秤，分别用F1与F2拉两个弹簧秤，将这端的结点拉至O点。
现让F2大小不变，方向沿顺时针方向转动某一角度，要使结点仍位于O点，则F1的大小及图中β角相应作如下哪些变化才有可能?
答：
_______。
A．增大F1的同时增大β角
B．增大F1而保持β角不变
C．增大F1的同时减小β角
D．减小F1的同时增大β角
8．如图所示．质量为m的球放在倾角为α的光滑斜面上，试分析挡板AO与斜面间的倾角β为多大时，AO所受压力最小？
9．图所示，两根相同的橡皮绳OA、OB，开始夹角为0º，在O点处打结吊一重G＝50N的物体后，结点O刚好位于圆心。
（1）将A、B分别沿圆周向两边移至A′、B′，使∠AOA′＝∠BOB′＝60°。
欲使结点仍在圆心处，则此时结点处应挂多重的物体?
（2）若将橡皮绳换成无明显弹性的轻绳，结点仍在圆心O，在结点处仍挂重G＝50N的重物，并保持左侧轻绳在OA＇不动，缓慢将右侧轻绳从OB＇沿圆周移动，当右侧轻绳移动到什么位置时右侧轻绳中的拉力最小？
最小值是多少？
10．A的质量是m，A、B始终相对静止，共同沿水平面向右运动。
当a1=0时和a2=0.75g时，B对A的作用力FB各多大？
考点落实训练参考答案
1．C2．B3．B4．C5．BD6．D
7．ABC（结点O的位置不变，则F1和F2的合力不变化，作出F1和F2合成的矢量三角形，如图所示，可知增大F1的同时，β角可以增大，可以不变，也可以减小。
故ABC都是正确的。
）
8．解析：
以球为研究对象，球所受重力产生的效果有两个：
对斜面产生的压力N1、对挡板产生的压力N2，根据重力产生的效果将重力分解，如图所示，
当挡板与斜面的夹角β由图示位置变化时，N1大小改变但方向不变，始终与斜面垂直，N2的大小和方向均改变，如图中虚线所示，由图可看出挡板AO与斜面垂直时β=90°时，挡板AO所受压力最小，最小压力N2min=mgsinα。
9．
（1）设OA、OB并排吊起重物时，橡皮条产生的弹力均为F，则它们的合力为2F，与G平衡，所以
2F＝G，F＝
＝25N。
当A′O、B′O夹角为120°时，橡皮条伸长不变，故F仍为25N，它们互成120°角，合力的大小等于F，即应挂G＇＝25N的重物即可。
（2）以结点O为对象，受三个力作用，重物对结点向下的拉力G，大小和方向都不变；左侧轻绳OA＇的拉力FOA，其方向保持不变；右侧轻绳OB＇的拉力拉力FOB。
缓慢移动时三力平衡。
由矢量三角形可知，当右侧轻绳移动到与左侧轻绳垂直时，右侧轻绳中的拉力最小，此时右侧轻绳与水平方向的夹角为θ＝60º。
由矢量直角三角形可知，拉力的最小值为：
Fmin＝Gsin60º＝
。
10．解析：
一定要审清题：
B对A的作用力FB是B对A的支持力和摩擦力的合力。
而A所受重力G=mg和FB的合力是F=ma。
当a1=0时，G与FB二力平衡，所以FB大小为mg，方向竖直向上。
当a2=0.75g时，用平行四边形定则作图：
先画出重力（包括大小和方向），再画出A所受合力F的大小和方向，再根据平行四边形定则画出FB。
由已知可得FB的大小FB=1.25mg，方向与竖直方向成37°角斜向右上方。
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