第一章《常用逻辑用语》同步检测一.docx

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第一章《常用逻辑用语》同步检测一

阶段测评

（一）

时间：

120分钟　满分：

150分

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋

为纯虚数”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

2．已知命题p：

∀x1，x2∈R，（f（x2）－f（x1））（x2－x1）≥0，则綈p是（　　）

A．∃x1，x2∈R，（f（x2）－f（x1））（x2－x1）≤0

B．∀x1，x2∈R，（f（x2）－f（x1））（x2－x1）≤0

C．∃x1，x2∈R，（f（x2）－f（x1））（x2－x1）<0

D．∀x1，x2∈R，（f（x2）－f（x1））（x2－x1）<0

3．下列命题是真命题的是（　　）

A．“若x＝0，则xy＝0”的逆命题

B．“若x＝0，则xy＝0”的否命题

C．若x>1，则x>2

D．“若x＝2，则（x－2）（x－1）＝0”的逆否命题

4．在△ABC中，“A＝60°”是“cosA＝

”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

5．“a＝3”是“直线ax＋2y＋2a＝0和直线3x＋（a－1）y－a＋7＝0平行”的（　　）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

6．若a∈R，则“a＝2”是“（a－1）（a－2）＝0”的（　　）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充要条件D．既不充分又不必要条件

7．下列命题中正确的是（　　）

A．若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p∧q”为真命题

B．“sinα＝

”是“α＝

”的充分不必要条件

C．l为直线，α，β为两个不同的平面，若l⊥β，α⊥β，则l∥α

D．命题“∀x∈R,2x>0”的否定是“∃x0∈R,2x0≤0”

8．设命题p：

函数y＝sin2x的最小正周期为

；命题q：

函数y＝cosx的图象关于直线x＝

对称．则下列判断正确的是（　　）

A．p为真B．綈q为假

C．p∧q为假D．p∨q为真

9．下列四个命题：

①“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题；

②“若k>0，则方程x2＋2x－k＝0有实根”的逆否命题；

③“全等三角形的面积相等”的否命题；

④“若a·b＝a·c，则a⊥（b－c）”的否命题．

其中真命题的个数是（　　）

A．0B．1

C．2D．3

10．已知a>0，函数f（x）＝ax2＋bx＋c.若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是（　　）

A．∃x∈R,f（x）≤f（x0）B．∃x∈R,f（x）≥f（x0）

C．∀x∈R,f（x）≤f（x0）D．∀x∈R,f（x）≥f（x0）

11．已知命题p：

关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；命题q：

关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞）上是增函数．若p或q是真命题，p且q是假命题，则实数a的取值范围是（　　）

A．（－12，－4]∪[4，＋∞）

B．[－12，－4]∪[4，＋∞）

C．（－∞，－12）∪（－4,4）

D．[－12，＋∞）

12．下列四个命题中：

①命题“∃x0∈R，x20＋1>3x0”的否定是“∀x∈R，x2＋1>3x”；

②若不等式（－1）na<2＋

对于任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围为[－2，

）；

③设圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F>0）与坐标轴有4个交点，分别为A（x1,0），B（x2,0），C（0，y1），D（0，y2），则x1x2－y1y2＝0；

④将函数y＝cos2x的图象向右平移

个单位，得到函数y＝sin（2x－

）．

其中所有真命题的序号是（　　）

A．①②③B．②③

C．②③④D．①③④

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）

13．“若（x－1）（y＋2）≠0，则x≠1且y≠－2”的否命题是________，逆否命题是________．

14．若命题“∀x∈R，ax2－ax－2≤0”是真命题，则a的取值范围是________．

15．已知p：

∃x∈R，mx2＋2≤0，q：

∀x∈R，x2－2mx＋1>0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是______．

16．已知命题p：

|x－1|0）；命题q：

|x－5|>2，且p是q的既不充分也不必要条件，则c的取值范围是________．

三、解答题（本大题共6小题，共70分，17题10分，18～22题，每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．写出命题“若x2－3x＋2≠0，则x≠1且x≠2”的逆命题，否命题、逆否命题，并判断它们的真假．

18．分别写出由下列各组命题构成的“p∨q”、“p∧q”、“綈p”形式的复合命题，并判断复合命题的真假．

（1）p：

平行四边形的对角线相等；q：

平行四边形的对角线互相平分．

（2）p：

方程x2－16＝0的两根的符号不同；q：

方程x2－16＝0的两根的绝对值相等．

19．已知关于x的方程（1－a）x2＋（a＋2）x－4＝0（a∈R），求方程有两个正根的充要条件．

20．求证：

命题“若p2＋q2＝2，则p＋q≤2”是真命题．

21．已知命题p：

命题q：

1－m≤x≤1＋m，若綈p是綈q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

22．设命题p：

函数f（x）＝lg（ax2＋2x＋1）的定义域为R，命题q：

函数g（x）＝

在（2，＋∞）上是增函数．

如果命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．

参考答案：

1.解析：

复数a＋

＝a－bi为纯虚数，则a＝0，b≠0；而ab＝0表示a＝0或者b＝0，故“ab＝0”是“复数a＋

为纯虚数”的必要不充分条件．所以选B.

答案：

B

2.解析：

利用“全称命题的否定是特称命题”求解．命题p的否定为“∃x1，x2∈R，（f（x2）－f（x1））（x2－x1）<0”．

答案：

C

3.解析：

A中逆命题为：

若xy＝0，则x＝0错误；选项B中，否命题为：

若x≠0，则xy≠0，错误；选项C中，若x>1，则x>2显然不正确；D选项中，因为原命题正确，所以逆否命题正确．

答案：

D

4.解析：

在△ABC中，若A＝60°，则cosA＝

；反过来，若cosA＝

，因为0°

”的充要条件，选C.

答案：

C

5.解析：

当a＝3时，直线ax＋2y＋2a＝0即3x＋2y＋6＝0，直线3x＋（a－1）y－a＋7＝0即3x＋2y＋4＝0，可知两直线的斜率相等，且在y轴上的截距不等，此时，两直线平行；反过来，当直线ax＋2y＋2a＝0与直线3x＋（a－1）y－a＋7＝0平行时，能得出a＝3或a＝－2.综上所述，选A.

答案：

A

6.解析：

由（a－1）（a－2）＝0得a＝1或a＝2，所以a＝2⇒（a－1）（a－2）＝0，而（a－1）（a－2）＝0

a＝2，故a＝2是（a－1）（a－2）＝0的充分而不必要条件．

答案：

A

7.解析：

A选项中，命题“p∧q”为假命题；B选项中，“sinα＝

”是“α＝

”的必要不充分条件；C选项中，直线l可能在平面α内；D选项正确．

答案：

D

8.解析：

命题p，q均为假命题，故p∧q为假命题．

答案：

C

解析：

①②④为真，③为假．

答案：

D

9.解析：

由题知：

x0＝－

为函数f（x）图象的对称轴方程，所以f（x0）为函数的最小值，既对所有的实数x，都有f（x）≥f（x0），因此∀x∈R,f（x）≤f（x0）是错误的，选C.

答案：

C

10.解析：

对于②，当n为偶数时，不等式可化为a<2－

，恒成立，∴a<

.

当n为奇数时，不等式可化为a>－2－

，恒成立，∴a≥－2.

对于③，易知x1x2＝y1y2＝F，∴x1x2－y1y2＝0.

对于①④，易知①错误，④正确．

答案：

C

11.解析：

命题p等价于Δ＝a2－16≥0，即a≤－4或a≥4；命题q等价于－

≤3，即a≥－12.由p或q是真命题，p且q是假命题知，命题p和q一真一假．若p真q假，则a<－12；若p假q真，则－4

答案：

C

12.解：

p：

函数f（x）＝lg（ax2＋2x＋1）的定义域为R，

即ax2＋2x＋1>0对∀x∈R恒成立，

当a＝0时，不合题意；

当a≠0时，有

∴a>1.

q：

函数g（x）＝

在（2，＋∞）上是增函数．

∵g（x）＝

＝

＝1＋

，

∴a＋2<0，即a<－2.

又∵p∨q为真，p∧q为假，故p、q一真一假，

若p真q假，则

∴a>1；

若p假q真，则

∴a<－2.

综上可知，实数a的取值范围是（－∞，－2）∪（1，＋∞）．

13.解析：

由“否命题”和“逆否命题”的形式可得出结果．

答案：

若（x－1）（y＋2）＝0，则x＝1或y＝－2

若x＝1或y＝－2，则（x－1）（y＋2）＝0

14.解析：

由题意得：

x为任意的实数，都有ax2－ax－2≤0恒成立，当a＝0时，不等式显然成立；当a≠0时，由

得－8≤a<0，所以－8≤a≤0.

答案：

[－8,0]

15.解析：

∵p∨q为假命题，∴p和q都是假命题．由p：

∃x∈R，mx2＋2≤0为假，得∀x∈R，mx2＋2>0，∴m≥0.①

由q：

∀x∈R，x2－2mx＋1>0为假，得∃x∈R，x2－2mx＋1≤0，∴Δ＝（－2m）2－4≥0⇒m2≥1⇒m≤－1或m≥1.②

由①和②得m≥1，故填[1，＋∞）．

答案：

[1，＋∞）

16.解析：

由|x－1|

∴命题p对应的集合A＝{x|1－c0}，

同理命题q对应的集合B＝{x|x<3或x>7}，

若p是q的既不充分也不必要条件，

应有

，即c>2.

答案：

（2，＋∞）

17.解：

逆命题：

若x≠1且x≠2，则x2－3x＋2≠0.真命题．

否命题：

若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2.真命题．

逆否命题：

若x＝1或x＝2，则x2－3x＋2＝0.真命题．

18.解：

（1）p∨q：

平行四边形的对角线相等或互相平分．

p∧q：

平行四边形的对角线相等且互相平分．

綈p：

平行四边形的对角线不相等．

由于p假q真，所以p∨q真，p∧q假，綈p真．

（2）p∨q：

方程x2－16＝0的两根的符号不同或绝对值相等．

p∧q：

方程x2－16＝0的两根的符号不同且绝对值相等．

綈p：

方程x2－16＝0的两根的符号相同．

由于p真q真，所以p∨q、p∧q为真，綈p为假．

19.解：

方程（1－a）x2＋（a＋2）x－4＝0有两个实根的充要条件是

，即

⇔

，　即a≥10或a≤2且a≠1.

设此时方程的两实根分别为x1，x2，有两个正根的充要条件是

⇔

，

即1

20.证明：

若p＋q>2，

则p2＋q2＝

[（p－q）2＋（p＋q）2]>

×22＝2，

所以p2＋q2≠2.

这表明，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题．

21.解：

由题意得p：

－2≤x≤10.

∵綈p是綈q的必要不充分条件，

∴q是p的必要不充分条件．∴p⇒q，q⇒/p，

∴

∴

∴m≥9.

所以实数m的取值范围为{m|m≥9}．

22.解：

p：

函数f（x）＝lg（ax2＋2x＋1）的定义域为R，

即ax2＋2x＋1>0对∀x∈R恒成立，