第2讲 三角函数的诱导公式中等难度讲义 2.docx

第2讲 三角函数的诱导公式中等难度讲义 2.docx

《第2讲 三角函数的诱导公式中等难度讲义 2.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第2讲 三角函数的诱导公式中等难度讲义 2.docx（8页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

第2讲三角函数的诱导公式中等难度讲义2

三角函数的诱导公式

知识讲解

一、同角三角函数的基本关系式

平方关系：

，，

商数关系：

，

倒数关系：

教师内容:

1.注意“同角”，至于角的形式无关重要，如等；

2.注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如

3.对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如：

，，等．

4.特殊角的三角函数值

角

不存在

不存在

二、诱导公式

（1）角与的三角函数间的关系；

,;

（2）角与的三角函数间的关系；

,;

（3）角与的三角函数间的关系；

,;

（4）角与的三角函数间的关系．

,．

教师内容:

诱导公式的记忆方法：

“奇变偶不变，符号看象限”，具体指的是对于任意三角函数，以为例，若为的偶数倍，则函数名不改变，根据角所在象限判断变换后的三角函数的符号，若为的奇数倍，则函数名改变成余弦，符号同理仍然看象限．

典例精讲

一．选择题（共13小题）

1．（2017秋•南阳期末）设sin53°=a，则cos2017°=（　　）

A．aB．﹣aC．D．

【分析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果．

【解答】解：

sin53°=a，则cos2017°=cos217°=﹣cos37°=﹣sin53°=﹣a，

故选：

B．

2．（2017秋•张家界期末）若sin（π﹣α）=，则sinα的值为（　　）

A．B．C．D．

【分析】直接利用诱导公式化简求解即可．

【解答】解：

sin（π﹣α）=，则sinα=sin（π﹣α）=，

故选：

A．

3．（2017秋•马鞍山期末）在△ABC中，下列等式一定成立的是（　　）

A．sin（A+B）=﹣sinCB．cos（A+B）=cosC

C．cos=sinD．sin=sin

【分析】由已知可得A+B+C=π，结合三角函数的诱导公式逐一核对四个选项得答案．

【解答】解：

在△ABC中，有A+B+C=π，

∴sin（A+B）=sinC，故A错误；

cos（A+B）=﹣cosC，故B错误；

cos=cos（）=sin，故C正确；

sin=sin（）=cos，故D错误．

∴等式一定成立的是C．

故选：

C．

4．（2017秋•漳州期末）已知，，且∥，则的值是（　　）

A．1B．C．D．

【分析】利用两个向量平行的性质求得tanα的值，再利用同角三角函数的基本关系，化简所给的式子，可得结果．

【解答】解：

∵已知，，且∥，∴cosα﹣2sinα=0，tanα=，

则===，

故选：

C．

5．（2017秋•孝感期末）设函数f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β）+4（其中a，b，α，β为非零实数），若f（2001）=5，则f（2018）的值是（　　）

A．5B．3C．8D．不能确定

【分析】由题意利用诱导公式求得asinα+bcosβ=﹣1，再利用诱导公式求得f（2018）的值．

【解答】解：

∵函数f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β）+4，

∴f（2001）=asin（2001π+α）+bcos（2001π+β）+4=﹣asinα﹣bcosβ+4=5，

∴asinα+bcosβ=﹣1，

∴f（2018）=）=asin（2008π+α）+bcos（2008π+β）+4=asinα+bcosβ+4=﹣1+4=3，

故选：

B．

6．（2018春•伊通县期末）已知α为锐角，且，则cos（3π+α）=（　　）

A．B．C．D．

【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系求得cosα的值，再利用诱导公式求得则cos（3π+α）的值．

【解答】解：

∵α为锐角，且，∴cosα==，

则cos（3π+α）=﹣cosα=﹣，

故选：

B．

7．（2018春•济南期末）若cos（）=，则sin（α+）的值为（　　）

A．﹣B．﹣C．D．

【分析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果．

【解答】解：

若cos（）=，则sin（α+）=cos[﹣（α+）]=cos（）=，

故选：

D．

8．（2018春•双流区期末）已知cos（π+θ）=，＜θ＜π，则cos（+θ）的值为（　　）

A．﹣B．C．﹣D．

【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系求得sinθ的值，再利用诱导公式求得cos（+θ）的值．

【解答】解：

∵cos（π+θ）=﹣cosθ=，即cosθ=﹣，又＜θ＜π，

∴sinθ==．

则cos（+θ）=﹣sinθ=﹣，

故选：

C．

9．（2018春•武功县期中）下列各式中，不正确的是（　　）

A．cos（﹣α﹣π）=﹣cosα

B．sin（α﹣2π）=﹣sinα

C．tan（5π﹣2α）=﹣tan2α

D．sin（kπ+α）=（﹣1）ksinα（k∈Z）

【分析】直接利用诱导公式逐一核对四个选项得答案．

【解答】解：

cos（﹣α﹣π）=cos（π+α）=﹣cosα，

sin（α﹣2π）=sinα，

tan（5π﹣2α）=tan（π﹣2α）=﹣tan2α，

当k为偶数时，sin（kπ+α）=sinα，当k为奇数时，sin（kπ+α）=﹣sinα，

∴sin（kπ+α）=（﹣1）ksinα（k∈Z）．

∴不正确的是sin（α﹣2π）=﹣sinα．

故选：

B．

10．（2017秋•松山区校级期末）已知函数f（x）=atan﹣bsinx+4（其中a，b为常数且ab≠0），若f（3）=5，则f（﹣3）=（　　）

A．﹣3B．3C．﹣5D．5

【分析】令g（x）=atan﹣bsinx，则g（x）为奇函数，由f（3）=5，求得g（3）的值，从而根据奇偶函数的性质求得f（﹣3）的值．

【解答】解：

令g（x）=atan﹣bsinx，则g（x）为奇函数，则函数f（x）=atan﹣bsinx+4=g（x）+4，

由f（3）=5=g（3）+4，可得g（3）=1，故f（﹣3）=g（﹣3）+4=﹣g（3）+4=﹣1+4=3，

故选：

B．

11．（2018春•金安区校级期末）已知，则的值为（　　）

A．B．C．D．

【分析】由题意利用诱导公式求得sinα=，再利用利用诱导公式化简所给的式子，可得结果．

【解答】解：

∵已知=﹣sinα，∴sinα=．

则=﹣sinα=﹣，

故选：

D．

12．（2018春•古冶区校级期中）若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是（　　）

A．cos（A+B）=cosCB．sin（A+B）=﹣sinC

C．tan（A+C）=tanBD．sin=cos

【分析】由题意利用三角形内角和公式、诱导公式，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．

【解答】解：

若角A，B，C是△ABC的三个内角，则A+B=π﹣C，

∴cos（A+B）=cos（π﹣C）=﹣cosC，sin（A+B）=sin（π﹣C）=sinC，故A、B均错误．

由A+C=π﹣B，可得tan（A+C）=﹣tanB，故C错误，

由B+C=π﹣A，可得=﹣，∴sin=sin（﹣）=cos，故D正确，

故选：

D．

13．（2018•张掖一模）若是第二象限角，则=（　　）

A．B．5C．D．10

【分析】由已知利用诱导公式可求tanα，利用同角三角函数基本关系式可得cosα的值，利用诱导公式，降幂公式化简所求即可计算得解．

【解答】解：

∵是第二象限角，

∴tanα=﹣，可得：

cosα=﹣=﹣，

∴====10．

故选：

D．

二．填空题（共6小题）

14．（2018春•安康期末）已知，则=　　

【分析】利用诱导公式、两角和的正切公式化简所给的式子，可得结果．

【解答】解：

∵已知，则=﹣sinα•（﹣sinα）•

=，

故答案为：

．

15．（2018春•福州期末）设函数f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β）+3（其中a、b、α、β为非零实数），若f（2001）=5，则f（2018）的值是　1　．

【分析】由题意利用诱导公式，求得asinα+bcosβ=﹣2，由此求得f（2018）的值．

【解答】解：

∵函数f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β）+3，f（2001）=5，

∴asin（2001π+α）+bcos（2001π+β）+3=5，解得asinα+bcosβ=﹣2，

∴f（2018）=asin（2018π+α）+bcos（2018π+β）+3=asinα+bcosβ+3=1，

故答案为：

1．

16．（2018秋•思明区校级月考）若角α的终边经过点A（2，1），则sin（）=　﹣　．

【分析】利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值，再利用诱导公式求得sin（）的值．

【解答】解：

角α的终边经过点A（2，1），

∴x=2，y=1，r=|OA|=，∴cosα==，

则sin（）=﹣cosα=﹣，

故答案为：

﹣．

17．（2018春•高安市校级期末）已知sin（+α）=，α∈（﹣，0），则sin（3π+α）=　　．

【分析】由已知求得cosα，进一步得到sinα，再由诱导公式可得sin（3π+α）．

【解答】解：

∵sin（+α）=，

∴cosα=，又α∈（﹣，0），

∴sinα=，

∴sin（3π+α）=﹣sinα=．

故答案为：

．

18．（2018春•杜集区校级期中）已知tanα=2，则cos（π+α）=　　．

【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得要求式子的值．

【解答】解：

∵tanα=2，则cos（π+α）=﹣cosα•（﹣sinα）

====，

故答案为：

．

19．（2018春•项城市校级月考）若sin（﹣α）=，则cos（+α）=　　．

【分析】由两角的关系使用诱导公式得出答案．

【解答】解：

∵+=，

∴cos（+α）=sin（﹣α）=，

故答案为：

．

三．解答题（共3小题）

20．（2017秋•淮安期末）已知sin，且，α是第二象限角．

（1）求tanα的值；

（2）求的值．

【分析】

（1）由题意利用同角三角函数的基本关系求得cosα的值，可得tanα的值．

（2）利用诱导公式、同角三角函数的基本关系求得所给式子的值．

【解答】解：

（1）∵sin，且，α是第二象限角，∴cosα=﹣=﹣，∴tanα==﹣．

（2）====﹣7．

21．（2017秋•张家口期末）已知f（α）=．

（Ⅰ）化简f（α）；

（Ⅱ）若f（α=2，求2sin2α﹣3sinαcosα的值．

【分析】（Ⅰ）由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果．

（Ⅱ）由条件求得tanα的值，再利用同角三角函数的基本关系，求得2sin2α﹣3sinαcosα的值．

【解答】解：

（Ⅰ）．

（Ⅱ）∵f（α）=tanα=2，∴==．

22．（2017秋•重庆期末）已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（﹣3，4）．

（1）求sinα，cosα的值；

（2）的值．

【分析】

（1）由题意利用任意角的三角函数的定义，求得sinα，cosα的值．

（2）由条件利用诱导公式，求得的值．

【解答】解：

（1）∵角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（﹣3，4），

故x=﹣3，y=4，r=|OP|==5，∴sinα==，cosα==﹣．

（2）==﹣1+=﹣1﹣=﹣．