武汉大学数值分析期末考试(05-11年).pdf

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武武汉汉大大学学20052006学年第一学期硕士研究生期末考试试题学年第一学期硕士研究生期末考试试题科目名称：

科目名称：

数值分析数值分析注意：

所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。

学生所在院：

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学号：

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姓名：

姓名：

0cos2312=+xx一、（15分）设求方程根的迭代法kkxxcos3241+=+Rx0

（1）证明对,均有*limxxkk=,其中*x为方程的根.40=x

（2）取，求方程的近似根，使误差2110|+kkxx，并列出各次迭代值.（3）此迭代法收敛阶是多少?

证明你的结论.二、（12分）讨论分别用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解下列方程组的收敛性。

=+=+=+.022,1,122321321321xxxxxxxxx=aaaaA000002三、（8分）若矩阵，说明对任意实数0a，方程组bAX=都是非病态的（范数用））（xfy=四、（15分）已知的数据如下：

ix012）（ixf026）（ixf1求）（xf的Hermite插值多项式）（3xH，并给出截断误差）（）（）（3xHxfxR=。

五、（10分）在某个低温过程中，函数y依赖于温度x（）的试验数据为ix1234iy08151820已知经验公式的形式为2bxaxy+=，试用最小二乘法求出a，b。

六、（12分）确定常数a，b的值，使积分dxxbaxbaI2112）,（+=取得最小值。

七、（14分）已知Legendre（勒让德）正交多项式）（xLn有递推关系式：

=+=+）,2,1（）

（1）（112）（）（,1）（1110nxLnnxxLnnxLxxLxLnnn试确定三点的高斯勒让德（GL）求积公式+11332211）（）（）（）（xfAxfAxfAdxxf的求积系数和节点，并用此公式近似计算积分=211dxeIx八、（14分）对于下面求解常微分方程初值问题=00）（）,（yxyyxfdxdy的单步法：

+=+=+）,（）,（）2121（121211hkyhxfkyxfkkkhyynnnnnn

（1）验证它是二阶方法；

（2）确定此单步法的绝对稳定域。

武武汉汉大大学学20052006学年第一学期硕士研究生期末考试试题（学年第一学期硕士研究生期末考试试题（B卷）卷）科目名称：

科目名称：

数值分析数值分析注意：

所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。

学生所在院：

学生所在院：

学号：

学号：

姓名：

姓名：

=+=+=+.022,1,122321321321xxxxxxxxx一、（12分）讨论分别用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解下列方程组的收敛性。

0cos2312=+xx二、（15分）设求方程根的迭代法kkxxcos3241+=+Rx0

（1）证明对,均有*limxxkk=,其中*x为方程的根.

（2）此迭代法收敛阶是多少?

证明你的结论.=aaaaA000002三、（8分）若矩阵，说明对任意实数0a，方程组bAX=都是非病态的。

（范数用））（xfy=四、（15分）已知的数据如下：

ix123）（ixf242）（ixf-1求）（xf的Hermite插值多项式）（3xH，并给出截断误差）（）（）（3xHxfxR=。

五、（10分）在某个低温过程中，函数y依赖于温度x（）的试验数据为ix1234iy08151820已知经验公式的形式为2bxaxy+=，试用最小二乘法求出a，b。

六、（12分）确定常数a，b的值，使积分dxxbaxbaI2112）,（+=取得最小值。

七、（14分）对于求积公式：

=bankkkxfAdxxfx1）（）（）（,其中：

）（x是区间）,（ba上的权函数。

（1）证明此求积公式的代数精度不超过2n-1次;

（2）若此公式为Gauss型求积公式，试证明=nkbakdxxA1）（八、（14分）对于下面求解常微分方程初值问题=00）（）,（yxyyxfdxdy的单步法：

+=+=+）,（）,（）2121（121211hkyhxfkyxfkkkhyynnnnnn

（1）验证它是二阶方法；

（2）确定此单步法的绝对稳定域。

武武汉汉大大学学20062007学年第一学期硕士研究生期末考试试题学年第一学期硕士研究生期末考试试题（A卷）卷）科目名称：

数值分析注意：

所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。

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一、（12分）设方程组bAx=为=37111221xx

（1）用Doolittle分解法求解方程组；

（2）求矩阵A的条件数）（ACond二、（12分）设A为n阶对称正定矩阵，A的n个特征值为n21，为求解方程组bAx=，建立迭代格式）（）（）（）1（kkkAxbxx+=+，求出常数的取值范围，使迭代格式收敛。

三、（12分）已知数据ix-2-1012iy01210试用二次多项式cbxaxxp+=2）（拟合这些数据。

四、）（xfy=（14分）已知的数据如下：

ix123）（ixf2412）（ixf3

（1）求）（xf的Hermite插值多项式）（3xH；

（2）为求31）（dxxf的值，采用算法：

RdxxHdxxf+=31331）（）（试导出截断误差R五、（12分）确定常数a，b的值，使积分dxebaxbaIx210）（）,（+=取得最小值。

六、（12）确定常数iA，使求积公式）2（）1（）0（）（32120fAfAfAdxxf+的代数精度尽可能高，并问是否是Gauss型公式。

七、（12分）设）（x导数连续，迭代格式）（1kkxx=+一阶局部收敛到点*x。

对于常数，构造新的迭代格式：

）（1111kkkxxx+=+问如何选取，使新迭代格式有更高的收敛阶，并问是几阶收敛。

八、（14分）对于下面求解常微分方程初值问题=00）（）,（ytyytfdtdy的单步法：

+=+=+）21,21（）,（12121hkyhtfkytfkhkyynnnnnn

（1）验证它是二阶方法；

（2）确定此单步法的绝对稳定区域。

武武汉汉大大学学20062007学年第一学期硕士研究生期末考试试题（学年第一学期硕士研究生期末考试试题（B卷）卷）科目名称：

科目名称：

数值分析数值分析注意：

所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。

学生所在院：

学生所在院：

学号：

学号：

姓名：

姓名：

=+=+=+.022,1,122321321321xxxxxxxxx一、（12分）讨论分别用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解下列方程组的收敛性。

=aaaaA000002二、（8分）若矩阵，说明对任意实数0a，方程组bAX=都是非病态的。

（范数用）三、）（x（15分）设导数连续，迭代格式）（1kkxx=+一阶局部收敛到点*x。

构造新的迭代格式：

）（1kkkxxx+=+问如何选取常数及，使新迭代格式有更高的收敛阶，并问是几阶收敛。

）（xfy=四、（15分）已知的数据如下：

ix123）（ixf242）（ixf-1求）（xf的Hermite插值多项式）（3xH，并给出截断误差）（）（）（3xHxfxR=。

五、（10分）在某个低温过程中，函数y依赖于温度x（）的试验数据为ix1234iy08151820已知经验公式的形式为2bxaxy+=，试用最小二乘法求出a，b。

六、（12分）确定常数a，b的值，使积分dxxbaxbaI2112）,（+=取得最小值。

七、（14分）对于求积公式：

=bankkkxfAdxxfx1）（）（）（,其中：

）（x是区间）,（ba上的权函数。

（1）证明此求积公式的代数精度不超过2n-1次;

（2）若此公式为Gauss型求积公式，试证明=nkbakdxxA1）（八、（14分）对于下面求解常微分方程初值问题=00）（）,（yxyyxfdxdy的单步法：

+=+=+）,（）,（）2121（121211hkyhxfkyxfkkkhyynnnnnn

（1）验证它是二阶方法；

（2）确定此单步法的绝对稳定域。

武武汉汉大大学学20072008学年第一学期硕士研究生期末考试试题学年第一学期硕士研究生期末考试试题科目名称：

科目名称：

数值分析数值分析注意：

所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。

学生所在院：

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学号：

学号：

姓名：

姓名：

01）1（）（=xexxf一、（15分）给定方程

（1）分析该方程存在几个根；

（2）用迭代法求出这些根，精确至2位有效数；（3）说明所用的迭代格式是收敛的.二、（15分）设线性方程组为0,221122221211212111=+=+aabxaxabxaxa

（1）证明用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法解此方程组要么同时收敛,要么同时发散.

（2）当同时收敛时比较其收敛速度.A三、（10分）设为非奇异矩阵，方程组bAx=的系数矩阵A有扰动A，受扰动后的方程组为bxxAA=+）（，若1|1AA，试证：

|1|11AAAAxx）（xfy=四、（15分）已知的数据如下：

ix012）（ixf101）（ixf1求）（xf的Hermite插值多项式）（3xH，并给出截断误差）（）（）（3xHxfxR=。

五、（10分）已知数据i0123x0123iy3247i设2）1（）（+=xbaxxf，求常数a,b,使得=302min）（iiiyxf六、（15分）定义内积=11）（）（）,（dxxgxfgf在,12xxSpanH=中求|）（xxf=的最佳平方逼近元素.七、（10分）给定求积公式+hhhCfBfhAfdxxf22）（）0（）（）（试确定CBA,使此求积公式的代数精度尽可能高,并问是否是Gauss型公式.八、（10分）给定微分方程初值问题=2）0（102yxydxdy用一个二阶方法计算）（xy在0.1,0.2处的近似值.取1.0=h计算结果保留5位有效数字。

武汉大学20082009学年第一学期硕士研究生期末考试试题科目名称：

数值分析注意：

所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。

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姓名：

一、（本题共3小题，每题8分，共24分）解答下面各题：

1）下表给出了函数f（x）在一些节点上的函数值：

x0.00.10.20.30.40.50.60.70.8f（x）58630-3-335用复化Simpson求积公式近似计算函数f（x）在区间0,0.8上的积分。

2）已知函数y=f（x）的观察值如下表所示，使用Newton插值法求其插值多项式。

x0123y230-13）取初值为2，利用Newton迭代法求方程:

在0，2中的近似解。

要求迭代两次。

（如果计算结果用小数表示，则最后结果应保留5位小数）。

二、（本题15分）设常数a0，试求a的取值范围，使得用雅可比（Jacobi）迭代法求解下面线性方程组时是收敛的。

+=21232131aaazyxaaa三、（本题16分）利用Hermite插值多项式构造下面的求积公式：

）（）0（121）（）0

（2）（2h0hffhhffhdxxf+并导出其积分余项。

四（14分）（15分）已知方程0410=+xex在0.2附近有解，建立用于求解此解的收敛的迭代公式。

并问如何设置迭代终止条件可以保证计算结果具有4位有效数字（不计舍入误差）。

02）（2=xxf五、（15分）对初值问题=+=0）0（ybaxy导出改进Euler方法的近似解的表达式，并与准确解b