一元二次方程的解法模板.docx

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一元二次方程的解法模板

一元二次方程的解法_模板

教学目标1． 初步掌握用直接开平方法解一元二次方程，会用直接开平方法解形如的方程；

2． 初步掌握用配方法解一元二次方程，会用配方法解数字系数的一元二次方程；

3． 掌握一元二次方程的求根公式的推导，能够运用求根公式解一元二次方程；

4． 会用因式分解法解某些一元二次方程。

5． 通过对一元二次方程解法的教学，使学生进一步理解“降次”的数学方法，进一步获得对事物可以转化的认识。

教学重点和难点

　　重点：

一元二次方程的四种解法。

　　难点：

选择恰当的方法解一元二次方程。

教学建议：

　一、教材分析：

　　1．知识结构：

一元二次方程的解法

　　2．重点、难点分析

（1）熟练掌握开平方法解一元二次方程

　　用开平方法解一元二次方程，一种是直接开平方法，另一种是配方法。

　　如果一元二次方程的一边是未知数的平方或含有未知数的一次式的平方，另一边是一个非负数，或完全平方式，如方程，和方程就可以直接开平方法求解，在开平方时注意取正、负两个平方根。

配方法解一元二次方程，就是利用完全平方公式，把一般形式的一元二次方程，转化为的形式来求解。

配方时要注意把二次项系数化为1和方程两边都加上一次项系数一半的平方这两个关键步骤。

（2）熟记求根公式（）和公式中字母的意义在使用求根公式时要注意以下三点：

　　1）把方程化为一般形式，并做到、、之间没有公因数，且二次项系数为正整数，这样代入公式计算较为简便。

　　2）把一元二次方程的各项系数、、代入公式时，注意它们的符号。

　　3）当时，才能求出方程的两根。

　　（3）抓住方程特点，选用因式分解法解一元二次方程

　　如果一个一元二次方程的一边是零，另一边易于分解成两个一次因式时，就可以用因式分解法求解。

这时只要使每个一次因式等于零，分别解两个一元一次方程，得到两个根就是一元二次方程的解。

　　我们共学习了四种解一元二次方程的方法：

直接开平方法；配方法；公式法和因式分解法。

解方程时，要认真观察方程的特征，选用适当的方法求解。

　二、教法建议

　　1．教学方法建议采用启发引导，讲练结合的授课方式，发挥教师主导作用，体现学生主体地位，学生获取知识必须通过学生自己一系列思维活动完成，启发诱导学生深入思考问题，有利于培养学生思维灵活、严谨、深刻等良好思维品质．

　　2.注意培养应用意识．教学中应不失时机地使学生认识到数学源于实践并反作用于实践．

教学设计示例

教学目标

　　1.使学生知道解完全的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，b≠0，c≠0）可以转化为适合于直接开平方法的形式（x+m）2=n;

　　2.在理解的基础上，牢牢记住配方的关键是“添加的常数项等于一次项系数一半的平方”；

　　3.在数学思想方法方面，使学生体会“转化”的思想和掌握配方法。

教学重点和难点

　　重点：

掌握用配方法解一元二次方程。

　　难点：

凑配成完全平方的方法与技巧。

教学过程设计

　一复习

　　1.完全的一元二次方程的一般形式是什么样的?

（注意a≠0）

　　2.不完全一元二次方程的哪几种形式?

　　（答：

只有三种ax2=0,ax2+c=0,ax2+bx=0（a≠0））

　　3.对于前两种不完全的一元二次方程ax2=0（a≠0）和ax2+c=0（a≠0）,我们已经学会了它们的解法。

　　特别是结合换元法，我们还会解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程。

　　例 解方程：

（x-3）2=4 （让学生说出过程）。

　　解：

方程两边开方，得 x-3=±2，移项，得 x=3±2。

　　所以 x1=5,x2=1.     （并代回原方程检验，是不是根）

　　4.其实（x-3）2=4是一个完全的一元二次方程，我们把原方程展开、整理为一元二次方程。

（把这个展开过程写在黑板上）

　　　　　（x-3）2=4,　   　①

　　　　　x2-6x+9=4,  　　②

　　　　　x2-6x+5=0.　　  ③

　二新课

　　1.逆向思维

　　我们把上述由方程①→方程②→方程③的变形逆转过来，可以发现，对于一个完全的一元二次方程，不妨试试把它转化为（x+m）2=n的形式。

这个转化的关键是在方程左端构造出一个未知数的一次式的完全平方式（x+m）2。

　　2.通过观察，发现规律

　　问：

在x2+2x上添加一个什么数，能成为一个完全平方（x+?

）2。

  （添一项+1）

 即  （x2+2x+1）=（x+1）2.

　　练习，填空：

　　x2+4x+（）=（x+ ）2;    y2+6y+（ ）=（y+ ）2.

　　算理 x2+4x=2x·2，所以添2的平方，y2+6y=y2+2y3，所以添3的平方。

　　总结规律：

对于x2+px,再添上一次项系数一半的平方，就能配出一个含未知数的一个次式的完全平方式。

即.+（）④

 　  （让学生对④式的右边展开，体会括号内第一项与第二项乘积的2倍，恰是左边的一次

项，括号内第二项的平方，恰是配方时所添的常数项）

 　　项固练习（填空配方）

    　　总之，左边的常数项是一次项系数一半的平方。

    　　问：

如果左边的一次项系数是负数，那么右边括号里第二项的正负号怎么取?

算理是什么?

   　　巩固练习（填空配方）

    　　x2-bx+（ ）=（x- ）2;           x2-（m+n）x+（ ）=（x- ）2.

1．知识结构：

　　2．重点和难点分析

　　重点和难点：

要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题.

　　3．教法建议

　　本节知识与实际联系密切，这些知识可以直接用来解决一些实际问题，这在几何的许多章节中是做不到的，所以要充分发挥这一特点，通过教学，培养学生应用数学的意识，解决实际问题的能力．要解决实际问题，首先要能够把实际问题抽象为数学问题，然后运用数学知识解决这些问题，为了使学生能够处理一些简单问题，教材中配备一些比较典型的例题，这些例题的教学，要注意以下几个问题：

　　1．帮助学生弄清实际问题的意义．由于学生接触实际较少，实践经验不足，许多实际问题的意义不清楚，许多术语不熟悉，这些在教学中要向学生说明．例如测量中的仰角、俯角、视线、铅垂线等等，零件图，特别是剖面图的意义，航行中的方位角等．学生懂得了这些常识，才能理解实际问题．

　　2．帮助学生画出草图．把实际问题抽象为几何问题，关键是画出草图，通过图形反映问题中的已知与未知，以及已知和未知量之间的关系．这里要解决好两个问题：

（1）实际问题基本上是空间三维的问题，要会把它转化为平面问题，画出平面图形．例如飞机在空中俯看地面目标，选取经过飞机、地面目标的垂直于地平面的平面（图1）；机器零件大都画出横断面、纵断面（图2）；在地面上测两点距离，两个方向夹角，可以画平行地面的平面等．

（2）船在海上航行，在平面上标出船的位置、灯塔或岸上某目标的位置，这类问题难点在于确定基准点．例如，说灯塔在船的什么方向上，这时船是基准点，如果说船在岸边某一点的什么方向上，这时岸边的这一点是基准点．有时因为船在航行中观测灯塔，基准点在转移，这些都会给画图增加困难．

　　在第一册里，介绍过空间里的平行、垂直关系，也介绍过方向角的概念，这些都可以作为学习的基础，教学时可适当复习，帮助学生回忆．

　　3．帮助学生根据需要作出辅助线．画出的草图，不一定有直角三角形，为了用解直角三角形的方法解决这些问题，常常需要添加辅助线．在这些问题中，辅助线常常是垂线或者平行线，例如图3中的几个问题中，虚线就是所要添加的辅助线．

　　4．有了直角三角形，还要进一步分析，由题目的条件可以知道直角三角形的哪些边或角，题目要求的是哪些边或角，这样才可以用解直角三角形的方法解决这些实际问题．

一、教学目标

　　1．使学生了解仰角、俯角的概念，能根据直角三角形的知识解决实际问题，会把实际问题转化为数学问题来解决；

　　2．通过本节的教学，进一步把形和数结合起来，提高学生分析问题、解决实际问题的能力；

　　3．通过本节的教学，向学生渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养他们用数学的意识.

　　二、重点·难点·疑点及解决办法

　　1．重点：

要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题.

　　2．难点：

要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题.

　　3．疑点：

练习中水位为＋2.63这一条件学生可能不理解，教师最好用实际教具加以说明.

　　4．解决办法：

引导学生体会实际问题中的概念，建立数学模型，从而重难点，以教具演示解决疑点.

　　三、教学过程

　　 1．仰角、俯角

　　 当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在

　　水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．

　　 教学时，可以让学生仰视灯或俯视桌面以体会仰角与俯角的意义．

　　 2．例1

　　如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度米，从飞机上看地平面控制点B的俯角，求飞机A到控制点B距离（精确到1米）．

　　 解决此问题的关键是在于把它转化为数学问题，利用解直角三角报知识来解决，在此之

　　前，学生曾经接触到通过把实际问题转化为数学问题后，用数学方法来解决问题的方法，但

　　不太熟练．因此，解决此题的关键是转化实际问题为数学问题，转化过程中着重语学生画几

　　何图形，并说出题目中每句话对应图中哪个角或边（包括已知什么和求什么），会利用平行线的内错角相等的性质由已知的俯角得出中的，进而利用解直角三角形的知识就可以解此题了．

　　解：

在中,

　　∴ （米）．

　　 答：

飞机A到控制点B的距离约为4221米．

　　 ［例1］小结：

本章引言中的例子和例1正好属于应用同一关系式

　　来解决的两个实际问题即已知和斜边，求的对边；以及已知和对边，求斜边．

　　 3．巩固练习P．25．

　　如图，某海岛上的观察所A发现海上某船只B并测得其俯角．已知观察所A的标高（当水位为0m时的高度）为43．74m，当时水位为＋2．63m，求观察所A到船只B的水平距离BC（精确到1m）

　　 为了巩固例1，加深学生对仰角、俯角的了解，配备了练习．

　　 由于学生只接触了一道实际应用题，对其还不熟悉，不会将其转化

　　为数学问题，因此教师在学生充分地思考后，应引导学生分析：

　　 1．谁能将实物图形抽象为几何图形？

请一名同学上黑板画出来．

　　 2．请学生结合图说出已知条件和所求各是什么？

　　答：

已知，求AB．

　　 这样，学生运用已有的解直角三角形的知识完全可以解答．

　　对于程度较高的学生，教师还可以将此题变式，当船继续行驶到D时，测得俯角，当时水位为－1.15m，求观察所A到船只B的水平距离（精确到1m），请学生独立完成.

　　【例2】 如图所示，已知A、B两点间的距离是160米，从A点看B点的仰角是11°，AC长为1.5米，求BD的高及水平距离CD.

　　此题在例1的基础上，又加深了一步，须由A作一条平等于CD的直线交BD于E，构造出，然后进一步求出AE、BE，进而求出BD与CD.

　　设置此题，既使成绩较好的学生有足够的训练，同时对较差学生又是巩固，达到分层次教学的目的.

　　解：

过A作，于是，

　　在中，

　　∴ （米）.

　　.

　　∴ （米）.

　　∴ （米）.

　　 （米）.

　　答：

BD的高及水平距离CD分别是32.03米，157.1米.

　　练习：

为测量