结构动力学第七章.pdf

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第第7章实用振动分析章实用振动分析振型叠加法是求解线弹性多自由度体系动力反应的行之有效方法，在定前若干阶振型和自振频率之后，任何线性结构动力反应的近似解都容易求得。

振型叠加法是求解线弹性多自由度体系动力反应的行之有效方法，在定前若干阶振型和自振频率之后，任何线性结构动力反应的近似解都容易求得。

我们实际所面临的结构范围十分广泛，从只有几个自由度的高度简化数学模型、只需要考虑一、二阶模态就能求得动力反应的近似解，一到包含几百甚至数万个自由度的高度复杂的有限单元模型，其中可能我们实际所面临的结构范围十分广泛，从只有几个自由度的高度简化数学模型、只需要考虑一、二阶模态就能求得动力反应的近似解，一到包含几百甚至数万个自由度的高度复杂的有限单元模型，其中可能50或或100阶模态对结构动力反应有重要影响。

阶模态对结构动力反应有重要影响。

要求解大型结构至要求阶数的振型和频率要求解大型结构至要求阶数的振型和频率，完全利用行列式方程的解是困难的。

从数学观点来看，求解各类结构的振型和自振频率属于矩特征值问题，自然地，可以利用矩阵特征值的求解技术来处理结构振和自振频率的求解问题。

，完全利用行列式方程的解是困难的。

从数学观点来看，求解各类结构的振型和自振频率属于矩特征值问题，自然地，可以利用矩阵特征值的求解技术来处理结构振和自振频率的求解问题。

概述概述实用振动分析的内容实用振动分析的内容7.1Rayleigh法法7.2Rayleigh-Ritz法法7.3矩阵迭代法（基本模态的迭代法；高阶模态的迭代法）矩阵迭代法（基本模态的迭代法；高阶模态的迭代法）7.4Jacobi（雅可比）迭代法（雅可比）迭代法7.5子空间迭代法子空间迭代法课堂教学中主要介绍课堂教学中主要介绍Rayleigh法和法和Rayleigh-Ritz法。

法。

7.1Rayleigh法法Rayleigh法的基本原理是法的基本原理是能量守衡定律。

能量守衡定律。

对任意的保守系统，其振动频率可以根据对任意的保守系统，其振动频率可以根据Rayleigh法由振动过程中的法由振动过程中的最大应变能最大应变能与与最大动能最大动能相等而求得。

相等而求得。

对于具有任意自由度的结构体系，用对于具有任意自由度的结构体系，用Rayleigh法求其基频有两种处理方式，一种是把结构看成连续体系，通过假设结构在基本模态中的变形形状和运动幅值（广义坐标）变化规律，将连续的结构体系化为单自由度体系，利用振动过程中最大应变能与最大动能相等的原则求结构基频；另一种处理方式则是在多自由度离散坐标系中应用同样的方法求解结构基频。

本节重点介绍法求其基频有两种处理方式，一种是把结构看成连续体系，通过假设结构在基本模态中的变形形状和运动幅值（广义坐标）变化规律，将连续的结构体系化为单自由度体系，利用振动过程中最大应变能与最大动能相等的原则求结构基频；另一种处理方式则是在多自由度离散坐标系中应用同样的方法求解结构基频。

本节重点介绍Rayleigh法在多自由度离散坐标系中的原理和应用。

法在多自由度离散坐标系中的原理和应用。

由能量守衡定律由能量守衡定律（）（）TtVtC+=式中：

式中：

T体系在任一时刻的动能；体系在任一时刻的动能；V体系在任一时刻的应变能。

体系在任一时刻的应变能。

线弹性体系的最大动能等于最大应变线弹性体系的最大动能等于最大应变maxmaxTV=线弹性体系的振动位移线弹性体系的振动位移（,）（）sin（）uxtUxt=+速度速度（,）（）cos（）uxtUxt=+&式中：

式中：

U（x）振型函数。

振型函数。

体系的动能为体系的动能为22220011（）（）（,）cos（）（）（）22llTtmxuxtdxtmxUxdx=+&体系最大动能为体系最大动能为22max01（）（）2lTmxUxdx=体系的应变能（仅考虑弯曲变体系的应变能（仅考虑弯曲变2222000111（）（,）sin（）（）222lllMVtdxEIuxtdxtEIUxdxEI=+体系最大应变能为体系最大应变能为2max01（）2lVEIUxdx=由此可求得结构的振动频率为由此可求得结构的振动频率为22max01（）（）2lTmxUxdx=2max01（）2lVEIUxdx=maxmaxTV=22020（）（）（）llEIUxdxmxUxdx=如果体系上还有如果体系上还有n个集中质量个集中质量m，2202201（）（）（）（）lnliiiEIUxdxmxUxdxmUx=+如果体系上只有如果体系上只有n个集中质量个集中质量m，不计分布质量，不计分布质量，22021（）（）lniiiEIUxdxmUx=若假设振型与结构自振振型一致，则用若假设振型与结构自振振型一致，则用Rayleigh法求得的频率为结构自振频率的精确值。

法求得的频率为结构自振频率的精确值。

若假设振型与结构基本振型一致，则用若假设振型与结构基本振型一致，则用Rayleigh法求得的频率为结构基频的精确值。

法求得的频率为结构基频的精确值。

理论上已证明：

采用一个不太精确的假设振型通过理论上已证明：

采用一个不太精确的假设振型通过Raleigh法得到的频率是一较为精确的基频近似值。

法得到的频率是一较为精确的基频近似值。

不论什么样的初始振型，用不论什么样的初始振型，用Raleigh商所求得的近似频率将是基频的上限。

商所求得的近似频率将是基频的上限。

一般情况下，最接近基本振型的假设振型是最易确定的一般情况下，最接近基本振型的假设振型是最易确定的。

22020（）（）（）llEIUxdxmxUxdx=2202201（）（）（）（）lnliiiEIUxdxmxUxdxmUx=+22021（）（）lniiiEIUxdxmUx=通常可取结构在某种静荷载（如集中荷载通常可取结构在某种静荷载（如集中荷载Pi或均布荷载或均布荷载q（x））作用下的挠曲线作为振型曲线。

）作用下的挠曲线作为振型曲线。

体系的最大应变能可用相应的外力功代替，即体系的最大应变能可用相应的外力功代替，即maxmax0111（）（）22nliiiVWqxUxdxPU=+式中，式中，q（x）和和Pi为引起所设曲线为引起所设曲线U（x）的静力荷载。

的静力荷载。

频频0212201（）（）（）（）（）nliiinliiiqxUxdxPUmxUxdxmUx=+=+例例7.1用能量法计算图示两端固定梁的第一频率。

设用能量法计算图示两端固定梁的第一频率。

设EI=常数，单位长度质量为。

解：

用两种方法求解。

常数，单位长度质量为。

解：

用两种方法求解。

（1）设振型曲线为设振型曲线为mABUxlm2（）（1cos）xUxAl=该式满足梁的几何边界条件，并满足弯矩边界条件，但不满足剪力边界条件。

该式满足梁的几何边界条件，并满足弯矩边界条件，但不满足剪力边界条件。

mlEIdxxUmdxxUEIdxxUxmdxxUEIllll44020202022316）（）（）（）（）（=mEIl222.8=精确值为，其误差为精确值为，其误差为+1.9%。

mEIl222.37=

（2）选择振型曲线为均布荷载作用下的弹性曲线选择振型曲线为均布荷载作用下的弹性曲线ABUxlm4432432（）

（2）24qlxxxUxEIlll=+该式满足梁的全部边界条件。

该式满足梁的全部边界条件。

20420（）504（）llqUxdxEIlmmUxdx=0212201（）（）（）（）（）nliiinliiiqxUxdxPUmxUxdxmUx=+=+mEIl222.45=精确值为，其误差为精确值为，其误差为+0.4%。

mEIl222.37=由以上结果可以看出由以上结果可以看出所选的两种曲线，大部分或者全部满足边界条件（位移、内力），因此所得结果误差都很小；所选的两种曲线，大部分或者全部满足边界条件（位移、内力），因此所得结果误差都很小；所选的第二种曲线所得的结果误差更小，因为它更接近第一振型。

（考察曲线的边界条件）所选的第二种曲线所得的结果误差更小，因为它更接近第一振型。

（考察曲线的边界条件）所得结果与精确值比较都偏大，这是能量法的特点。

所得结果与精确值比较都偏大，这是能量法的特点。

因为假设某一特定的曲线作为振型曲线，即相当于在体系上增加某些约束，从而增大了体系的刚度，因此所得的频率值将偏大。

因为假设某一特定的曲线作为振型曲线，即相当于在体系上增加某些约束，从而增大了体系的刚度，因此所得的频率值将偏大。

7.2Rayleigh-Ritz法法虽然用虽然用Rayleigh法能获得较为满意的结构基频的近似解，在动力分析中，为得到足够精确的结果，常常需要使用一阶以上的振型和频率。

法能获得较为满意的结构基频的近似解，在动力分析中，为得到足够精确的结果，常常需要使用一阶以上的振型和频率。

Rayleigh法的法的Ritz扩展可以求得结构前若干阶固有频率的近似值，同时还可以获得相应阶数的振型。

扩展可以求得结构前若干阶固有频率的近似值，同时还可以获得相应阶数的振型。

Rayleigh-Ritz法首先通过假设一组振型，要求其法首先通过假设一组振型，要求其Rayleigh熵取极值，从而获得一低阶的特征方程组，由此低阶方程组可以获得体系的一组自振频率和自振振型。

熵取极值，从而获得一低阶的特征方程组，由此低阶方程组可以获得体系的一组自振频率和自振振型。

设振型函数（挠度函数）可用预先选定的设振型函数（挠度函数）可用预先选定的m个独立函数（坐标函数）的线性组合来表示，即个独立函数（坐标函数）的线性组合来表示，即）（xi1（）（）miiiUxax=式中：

式中：

ai待定常数。

待定常数。

（）ix的选取原则的选取原则：

满足体系的全部或部分边界条件，至少满足几何边界条件，且接近于第：

满足体系的全部或部分边界条件，至少满足几何边界条件，且接近于第i振型函数振型函数Ui（x）。

2202201（）（）（）（）lnliiiEIUxdxmxUxdxmUx=+代入，并取极小值代入，并取极小值2202201（）（）0（1,2,）（）（）（）lnliiiiiEIUxdximaamxUxdxmUx=+L展开上式，并令分子等于展开上式，并令分子等于0，有，有2202201（）（）0（1,2,）（）（）（）lnliiiiiEIUxdximaamxUxdxmUx=+L2202201（）（）（）（）lnliiiEIUxdxmxUxdxmUx=+222201（）（）（）（）nliiiEIUxdxmxUxdxmUx=+令令代入上式，得代入上式，得0）（d）（）（d）（d）（）（d）（）（122020201220=+=niiililliniiilxUmxxUxmaxxUEIxxUEIaxUmxxUxm0）（d）（）（d）（）（d）（）（12202201220=+=niiilliniiilxUmxxUxmxxUEIaxUmxxUxm）（d）（）（d）（1220220=+=niiillxUmxxUxmxxUEI2222220011（）（）（）（）（）（）（）0nnlliiiiiiimxUxdxmUxEIUxdxmxUxdxmUxa=+=可可0（1,2,）iima=L得到一组关于的线性齐次方程得到一组关于的线性齐次方程（1,2,）iaim=L式中式中0（）（）（,1,2,）lijjiijAAEIxxdxijm=L

（1）

（2）

（1）

（2）（,1,2,）ijjiijijjijiBBBBBBijm=+=+=L

（1）

（1）0（）（）（）lijjiijBBmxxxdx=

（2）

（2）1（）（）nijjikikjkkBBmxx=21（）0（1,2,）mijijijABaim=L）（d）（）（d）（1220220=+=niiillxUmxxUxmxxUEI21（）0（1,2,）mijijijABaim=L令上式的系数行列式等于零，即得频率方程为令上式的系数