旋转提高专题.docx

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旋转提高专题

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【方法剖析】

1.旋转中心可以在图形内部，也可以在图形外部，还可以在图形上。

中心对称图形的对称中心一定在图形内部。

旋转中心的确定方法：

对应点连接线段的垂直平分线的交点为旋转中心。

2.确定旋转角的度数时，关键是确定旋转中心和选择前、后对应点的位置。

任意2条对应线段所在直线的夹角都等于旋转角。

3.确定对称中心的常用方法：

（1）连接一对对称点，取对称点连接线段的中点即为对称中心。

（2）连接任意2对对称点，2条连接线段的交点为对称中心。

4.利用旋转性质解题的步骤：

（1）找旋转点，得等边，等角；

（2）证全等或相似；（3）利用全等或相似得边角关系。

【例题分析】

如图，在等腰直角三角形ABC中，

P是

内一点，且PA＝1,PB＝3,PC＝

求

的度数。

解：

∵△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC，

∴把△APB绕A点逆时针旋转90°可得到△AP′C，连PP′，如图，

∴∠P′AP＝90°，P′A＝PA＝1，P′C＝PB＝3，

∴△PAP′为等腰直角三角形，

∴

＝

，

在

中，

，PC＝

，

∵

∴

∴

为直角三角形，

∴

变式：

如例题，把题中“等腰直角三角形ABC”改为“等边三角形ABC”，PA=

其余条件不变，求

的度数。

（答案

）

【综合训练】

1．如图，在正方形ABCD中，AD＝2

，把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，连接AP并延长交CD于点E，连接PC，则

的面积为　　．

2．如图，在正方形ABCD内作

AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，过点A作AH⊥EF，垂足为H，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，若BE＝2，DF＝3，则AH的长为　　．

3．如图，A点坐标为（﹣1，5），B点坐标为（3，3），C点坐标为（5，3），D点的坐标为（3，﹣1），小明发现：

线段AB与线段CD存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，你认为这个旋转中心的坐标是　　．

4．在边长为2的菱形ABCD中，

，M是AD边的中点，若线段MA绕点M旋转得到线段MA′

（1）如图①，当线段MA绕点M逆时针旋转60°时，线段AA′的长＝　　；

（2）如图②，连接A′C，则A′C长度的最小值是　　．

5．如图，四边形ABCD中，AB＝3，BC＝2，若AC＝AD且

，则对角线BD的长最大值为　　．

6．如图，正方形AEFG与正方形ABCD的边长都为2，正方形AEFG绕正方形ABCD的顶点A旋转一周，在此旋转过程中，线段DF的长可取的整数值可以为　　．

7．如图，在△ABC中，

，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，BC与B′C′交于点P，则∠BPB′的大小为　　．

8．如图，在△ABC中，

90°，

25°，O为AB的中点．将OA绕点O逆时针旋转

至OP

，当△BCP恰为轴对称图形时，θ的值为　　．

9．如图，正方形ABCD绕点B逆时针旋转

后得到正方形BEFG，EF与AD相交于点H，延长DA交GF于点K．若正方形ABCD边长为

，则HD的长为　　．

10．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝

x经过点A，作AB⊥x轴于点B，将△ABO绕点B逆时针旋转

得到△CBD，若点B的坐标为（2，0），则点C的坐标为　　．

11．在直角坐标系中，点

绕着坐标原点O旋转60°后，M对应点的坐标是　　．

12．如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ．已知PA＝6，PB＝8，PC＝10，则四边形APBQ的面积为　　．

13．如图，把一个菱形绕着它的对角线的交点旋转

，旋转前后的两个菱形构成一个“星形”（阴影部分），若菱形的一个内角为

，边长为2，则该“星形”的面积是　　．

14．如图，点E是正方形ABCD内一点，连结AE、BE、DE．若AE＝2，BE＝

，

，则正方形ABCD的面积为　　．

15．如图，△ABC中，

，点O是AB的中点，将OB绕点O顺时针旋转α角时

，得到OP，当△ACP为等腰三角形时，α的值为　　．

16．已知：

△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°．连接AD，BC，点H为BC中点，连接OH．

（1）如图1所示，易证：

（不需证明）

（2）将△COD绕点O旋转到图2，图3所示位置时，线段OH与AD又有怎样的关系，并选择一个图形证明你的结论．

17．如图1，四边形ABCD，将顶点为A的∠EAF绕着顶点A顺时针旋转，角的一条边与DC的延长线交于点F，角的另一边与CB的延长线交于点E，连接EF．

（1）如果四边形ABCD为正方形，当

时，有EF＝DF﹣BE．请你思考如何证明这个结论（只需思考，不必写出证明过程）；

（2）如图2，如果在四边形ABCD中，

，当

时，EF与DF、BE之间有怎样的数量关系？

请写出它们之间的关系式（只需写出结论）；

（3）如图3，如果在四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC与∠ADC互补，当

时，EF与DF、BE之间有怎样的数学关系？

请写出它们之间的关系式并给予证明；

（4）在（3）中，若

求△CEF的周长（直接写出结果即可）．

18．如图，在等腰直角三角形MNC中．

，将△MNC绕点C顺时针旋转

，得到△ABC，连接AM，BM，BM交AC于点O．

（1）∠NCO的度数为　　；

（2）求证：

△CAM为等边三角形；

（3）连接AN，求线段AN的长．

19．如图①，将边长为2的正方形OABC如图①放置，O为原点．

（Ⅰ）若将正方形OABC绕点O逆时针旋转60°时，如图②，求点A的坐标；

（Ⅱ）如图③，若将图①中的正方形OABC绕点O逆时针旋转75°时，求点B的坐标．

20．把两块含

角的直角三角板按图1所示的方式放置，点D在BC上，连结BE、AD，AD的延长线交BE于点F．

（1）如图1，求证：

；

（2）将△ABC绕点C顺时针旋转（如图2），连结BE、AD，AD分别交BE、BC于点F、G，那么

（1）中的结论还成立吗？

若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

21．已知正方形ABCD的边长为4，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与边BC、DC的延长线交于点E、F，连接EF．设CE＝a，CF＝b．

（1）如图1，当∠EAF被对角线AC平分时，求a、b的值；

（2）当△AEF是直角三角形时，求a、b的值．