matlab拉普拉斯变换doc.docx
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matlab拉普拉斯变换doc
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实验六拉普拉斯变换及其逆变换
一、目的
（1）掌握连续系统及信号拉普拉斯变换概念
（2）掌握利用MATLAB绘制系统零极点图的方法
（3）掌握利用MATLAB求解拉普拉斯逆变换的方法
二、拉普拉斯变换曲面图的绘制
连续时间信号f（t）的拉普拉斯变换定义为:
F（s）0
f（t）estdt
（6-1）
其中s
j，若以为横坐标（实轴），j为纵坐标（虚轴），复变量s就构成了一
个复平面，称为s平面。
显然，F（s）是复变量s的复函数，为了便于理解和分析F（s）随s的变化规律，可以
将F（s）写成：
F（s）
F（s）ej（s）
（6-2）
其中，F（s）称为复信号F（s）的模，而
（s）则为F（s）的幅角。
从三维几何空间的角度来看，F（s）和（s）对应着复平面上的两个平面，如果能绘
出它们的三维曲面图，就可以直观地分析连续信号的拉普拉斯变换
F（s）随复变量s的变
化规律。
上述过程可以利用MATLAB的三维绘图功能实现。
现在考虑如何利用MATLAB来绘制s平面的有限区域上连续信号f（t）的拉普拉斯变换F（s）的曲面图，现以简单的阶跃信号u（t）为例说明实现过程。
我们知道，对于阶跃信号f（t）u（t），其拉普拉斯变换为F（s）1。
首先，利用两
s
个向量来确定绘制曲面图的s平面的横、纵坐标的范围。
例如可定义绘制曲面图的横坐标范围向量x1和纵坐标范围向量y1分别为：
x1=-0.2:
0.03:
0.2;
y1=-0.2:
0.03:
0.2;
然后再调用meshgrid（）函数产生矩阵s，并用该矩阵来表示绘制曲面图的复平面区域，对应的MATLAB命令如下：
[x,y]=meshgrid（x1,y1）;
s=x+i*y;
上述命令产生的矩阵s包含了复平面0.20.2，0.2j0.2范围内以时间
间隔0.03取样的所有样点。
最后再计算出信号拉普拉斯变换在复平面的这些样点上的值，即可用函数mesh（）
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绘出其曲面图，对应命令为：
fs=abs（1./s）;
mesh（x,y,fs）;
surf（x,y,fs）;
title（'单位阶跃信号拉氏变换曲面图'）;
colormap（hsv）;
axis（[-0.2,0.2,-0.2,0.2,0.2,60]）;
rotate3d;
执行上述命令后，绘制的单位阶跃信号拉普拉斯变换曲面图如图6-1所示。
图6-1阶跃信号拉普拉斯变换曲面图
例6-1：
已知连续时间信号f（t）sin（t）u（t），求出该信号的拉普拉斯变换，并利用
MATLAB绘制拉普拉斯变换的曲面图。
解：
该信号的拉普拉斯变换为：
F（s）
1
s21
利用上面介绍的方法来绘制单边正弦信号拉普拉斯变换的曲面图，实现过程如下：
%绘制单边正弦信号拉普拉斯变换曲面图程序
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图6-2单边正弦信号拉氏变换曲面图
clf;
a=-0.5:
0.08:
0.5;
b=-1.99:
0.08:
1.99;
[a,b]=meshgrid（a,b）;
d=ones（size（a））;
c=a+i*b;%确定绘制曲面图的复平面区域
c=c.*c;
c=c+d;
c=1./c;
c=abs（c）;%计算拉普拉斯变换的样值
mesh（a,b,c）;%绘制曲面图
surf（a,b,c）;
axis（[-0.5,0.5,-2,2,0,15]）;
title（'单边正弦信号拉氏变换曲面图'）;
colormap（hsv）;
上述程序运行结果如图6-2所示。
二、由拉普拉斯曲面图观察频域与复频域的关系
如果信号f（t）的拉普拉斯变换F（s）的极点均位于s平面左半平面，则信号f（t）的傅
立叶变换F（j
）与F（s）存在如下关系：
F（j）F（s）sj
（6-3）
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即在信号的拉普拉斯变换F（s）中令0，就可得到信号的傅立叶变换。
从三维几何空
间角度来看，信号f（t）的傅立叶变换F（j）就是其拉普拉斯变换曲面图中虚轴所对应的
曲线。
可以通过将F（s）曲面图在虚轴上进行剖面来直观的观察信号拉普拉斯变换与其傅
立叶变换的对应关系。
例6-2：
试利用MATLAB绘制信号f（t）etsin（t）u（t）的拉普拉斯变换的曲面图，观察曲
面图在虚轴剖面上的曲线，并将其与信号傅立叶变换F（j）绘制的幅度频谱相比较。
解：
根据拉普拉斯变换和傅立叶变换定义和性质，可求得该信号的拉普拉斯变换和傅立
叶变换如下：
F（s）
1
F（j）
1
（s1）2
1
（j
1）2
1
利用前面介绍的方法绘制拉普拉斯变换曲面图。
为了更好地观察曲面图在虚轴剖面
上的曲线，定义绘制曲面图的S平面实轴范围从0开始，并用view函数来调整观察视
角。
实现命令如下：
clf;
a=-0:
0.1:
5;
b=-20:
0.1:
20;
[a,b]=meshgrid（a,b）;
c=a+i*b;%确定绘图区域
c=1./（（c+1）.*（c+1）+1）;
c=abs（c）;%计算拉普拉斯变换
mesh（a,b,c）;%绘制曲面图
surf（a,b,c）;
view（-60,20）%调整观察视角
axis（[-0,5,-20,20,0,0.5]）;
title（'拉普拉斯变换（S域像函数）'）;
colormap（hsv）;
上述程序绘制的拉普拉斯变换的曲面如图6-3所示。
从该曲面图可以明显地观察到F（s）在虚轴剖面上曲线变化情况。
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利用MATLAB绘制该信号的傅立叶变换幅频曲线命令如下：
w=-20:
0.1:
20;%确定频率范围
Fw=1./（（i*w+1）.*（i*w+1）+1）;%计算傅里叶变换
plot（w,abs（Fw））%绘制信号振幅频谱曲线
title（'傅里叶变换（振幅频谱曲线）'）
xlabel（'频率w'）
运行结果如图6-4所示。
通过图6-3和图6-4对比可直观地观察到拉普拉斯变换
与傅立叶变换的对应关系。
三、拉普拉斯变换零极点分布对曲面图的影响
从单位阶跃信号和单边正弦信号的拉普拉斯变换曲面图可以看出，曲面图中均有突出的尖峰，仔细观察便可得出，这些峰值点在S平面的对应点就是信号拉普拉斯变换的极点位置。
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我们再来看拉普拉斯变换零极点对曲面图的影响，考虑如下信号：
F（s）
2（s3）（s3）
2
（s5）（s10）
该信号的零点为1,2
1,2
3
5。
利用如下MATLAB命令
z
3，极点为p
j3.1623，p
绘制出的曲面图如图6-5所示。
clf;
a=-6:
0.48:
6;
b=-6:
0.48:
6;
[a,b]=meshgrid（a,b）;
c=a+i*b;
d=2*（c-3）.*（c+3）;
e=（c.*c+10）.*（c-5）;
c=d./e;
c=abs（c）;
mesh（a,b,c）;
surf（a,b,c）;
axis（[-6,6,-6,6,0,4.5]）;
title（'拉普拉斯变换曲面图'）;
colormap（hsv）;
view（-25,30）
图6-5拉氏变换零极点分布曲面图
从图6-5可明显看出，曲面在sj3.1623和s5处有三个峰点，对应着拉普拉斯
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变换的极点位置，而在s3处有两个谷点，对应着拉普拉斯变换的零点位置。
因此，信号的拉普拉斯变换的零极点位置，决定了其拉氏变换曲面图的峰点和谷点位置。
四、连续系统零极点图的绘制
线性时不变系统可用如下所示的线性常系数微分方程来描述：
N
M
aiy（i）（t）
bjf（j）（t）
i0
j0
其中，y（t）为系统输出信号，
f（t）为输入信号。
将上式两边进行拉普拉斯变换，则该系统的系统函数为：
M
bjsj
Y（s）
j
0
B（s）
H（s）
N
F（s）
aisi
A（s）
i
0
将式（6-5）因式分解后有：
M
（s
zj）
H（s）C
j0
N
（s
pi）
i0
其中C为常数zj为系统的零点，pi为系统的极点。
（6-4）
（6-5）
（6-6）
可见，若连续系统函数的零极点已知，系统函数便可确定下来。
即系统函数H（s）的零极点分布完全决定了系统的特性。
因此，在连续系统的分析中，系统函数的零极点分布具有非常重要的意义。
通过对
系统函数零极点的分析，我们可以分析连续系统以下几方面的特性：
系统冲激响应h（t）的时域特性；
判断系统的稳定性；
分析系统的频率特性H（j）（幅频响应和相频响应）。
通过系统函数零极点分布来分析系统特性，首先就要求出系统函数的零极点，然后绘制系统零极点图。
下面介绍如何利用MATLAB实现这一过程。
设连续系统的系统函数为：
H（s）
B（s）
A（s）
则系统函数的零极点位置可用MATLAB的多项式求根函数roots（）来求得，调用函
数roots（）的命令格式为：
p=roots（A）
其中A为待求根的关于s的多项式的系数构成的行向量，返回向量p则是包含该多项式所有根位置的列向量。
如多项式为：
A（s）s23s4
则求该多项式根的MATLAB命令为：
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A=[134];
p=roots（A）
运行结果为：
p=
-1.5000+1.3229i
-1.5000-1.3229i
需要注意的是，系数向量A的元素一定要由多项式最高次幂开始直到常熟项，缺项要用0补齐。
如多项式为：
A（s）s63s42s2s4
则表示该多项式的系数向量为：
A=[103021-4];
用roots（）函数求得系统函数H（s）的零极点后，就可以绘制零极点图，下面是求连
续系统的系统函数零极点，并绘制其零极点图的MATLAB实用函数sjdt（）。
function[p,q]=sjdt（A,B）
%绘制连续系统零极点图程序
%A:
系统函数分母多项式系数向量
%B:
系统函数分子多项式系数向量
%p:
函数返回的系统函数极点位置行向量
%q:
函数返回的系统函数零点位置行向量
p=roots（A）;
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