matlab拉普拉斯变换doc.docx
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matlab拉普拉斯变换doc
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实验六拉普拉斯变换及其逆变换
一、目的
(1)掌握连续系统及信号拉普拉斯变换概念
(2)掌握利用MATLAB绘制系统零极点图的方法
(3)掌握利用MATLAB求解拉普拉斯逆变换的方法
二、拉普拉斯变换曲面图的绘制
连续时间信号f(t)的拉普拉斯变换定义为:
F(s)0
f(t)estdt
(6-1)
其中s
j,若以为横坐标(实轴),j为纵坐标(虚轴),复变量s就构成了一
个复平面,称为s平面。
显然,F(s)是复变量s的复函数,为了便于理解和分析F(s)随s的变化规律,可以
将F(s)写成:
F(s)
F(s)ej(s)
(6-2)
其中,F(s)称为复信号F(s)的模,而
(s)则为F(s)的幅角。
从三维几何空间的角度来看,F(s)和(s)对应着复平面上的两个平面,如果能绘
出它们的三维曲面图,就可以直观地分析连续信号的拉普拉斯变换
F(s)随复变量s的变
化规律。
上述过程可以利用MATLAB的三维绘图功能实现。
现在考虑如何利用MATLAB来绘制s平面的有限区域上连续信号f(t)的拉普拉斯变换F(s)的曲面图,现以简单的阶跃信号u(t)为例说明实现过程。
我们知道,对于阶跃信号f(t)u(t),其拉普拉斯变换为F(s)1。
首先,利用两
s
个向量来确定绘制曲面图的s平面的横、纵坐标的范围。
例如可定义绘制曲面图的横坐标范围向量x1和纵坐标范围向量y1分别为:
x1=-0.2:
0.03:
0.2;
y1=-0.2:
0.03:
0.2;
然后再调用meshgrid()函数产生矩阵s,并用该矩阵来表示绘制曲面图的复平面区域,对应的MATLAB命令如下:
[x,y]=meshgrid(x1,y1);
s=x+i*y;
上述命令产生的矩阵s包含了复平面0.20.2,0.2j0.2范围内以时间
间隔0.03取样的所有样点。
最后再计算出信号拉普拉斯变换在复平面的这些样点上的值,即可用函数mesh()
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绘出其曲面图,对应命令为:
fs=abs(1./s);
mesh(x,y,fs);
surf(x,y,fs);
title('单位阶跃信号拉氏变换曲面图');
colormap(hsv);
axis([-0.2,0.2,-0.2,0.2,0.2,60]);
rotate3d;
执行上述命令后,绘制的单位阶跃信号拉普拉斯变换曲面图如图6-1所示。
图6-1阶跃信号拉普拉斯变换曲面图
例6-1:
已知连续时间信号f(t)sin(t)u(t),求出该信号的拉普拉斯变换,并利用
MATLAB绘制拉普拉斯变换的曲面图。
解:
该信号的拉普拉斯变换为:
F(s)
1
s21
利用上面介绍的方法来绘制单边正弦信号拉普拉斯变换的曲面图,实现过程如下:
%绘制单边正弦信号拉普拉斯变换曲面图程序
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图6-2单边正弦信号拉氏变换曲面图
clf;
a=-0.5:
0.08:
0.5;
b=-1.99:
0.08:
1.99;
[a,b]=meshgrid(a,b);
d=ones(size(a));
c=a+i*b;%确定绘制曲面图的复平面区域
c=c.*c;
c=c+d;
c=1./c;
c=abs(c);%计算拉普拉斯变换的样值
mesh(a,b,c);%绘制曲面图
surf(a,b,c);
axis([-0.5,0.5,-2,2,0,15]);
title('单边正弦信号拉氏变换曲面图');
colormap(hsv);
上述程序运行结果如图6-2所示。
二、由拉普拉斯曲面图观察频域与复频域的关系
如果信号f(t)的拉普拉斯变换F(s)的极点均位于s平面左半平面,则信号f(t)的傅
立叶变换F(j
)与F(s)存在如下关系:
F(j)F(s)sj
(6-3)
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即在信号的拉普拉斯变换F(s)中令0,就可得到信号的傅立叶变换。
从三维几何空
间角度来看,信号f(t)的傅立叶变换F(j)就是其拉普拉斯变换曲面图中虚轴所对应的
曲线。
可以通过将F(s)曲面图在虚轴上进行剖面来直观的观察信号拉普拉斯变换与其傅
立叶变换的对应关系。
例6-2:
试利用MATLAB绘制信号f(t)etsin(t)u(t)的拉普拉斯变换的曲面图,观察曲
面图在虚轴剖面上的曲线,并将其与信号傅立叶变换F(j)绘制的幅度频谱相比较。
解:
根据拉普拉斯变换和傅立叶变换定义和性质,可求得该信号的拉普拉斯变换和傅立
叶变换如下:
F(s)
1
F(j)
1
(s1)2
1
(j
1)2
1
利用前面介绍的方法绘制拉普拉斯变换曲面图。
为了更好地观察曲面图在虚轴剖面
上的曲线,定义绘制曲面图的S平面实轴范围从0开始,并用view函数来调整观察视
角。
实现命令如下:
clf;
a=-0:
0.1:
5;
b=-20:
0.1:
20;
[a,b]=meshgrid(a,b);
c=a+i*b;%确定绘图区域
c=1./((c+1).*(c+1)+1);
c=abs(c);%计算拉普拉斯变换
mesh(a,b,c);%绘制曲面图
surf(a,b,c);
view(-60,20)%调整观察视角
axis([-0,5,-20,20,0,0.5]);
title('拉普拉斯变换(S域像函数)');
colormap(hsv);
上述程序绘制的拉普拉斯变换的曲面如图6-3所示。
从该曲面图可以明显地观察到F(s)在虚轴剖面上曲线变化情况。
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利用MATLAB绘制该信号的傅立叶变换幅频曲线命令如下:
w=-20:
0.1:
20;%确定频率范围
Fw=1./((i*w+1).*(i*w+1)+1);%计算傅里叶变换
plot(w,abs(Fw))%绘制信号振幅频谱曲线
title('傅里叶变换(振幅频谱曲线)')
xlabel('频率w')
运行结果如图6-4所示。
通过图6-3和图6-4对比可直观地观察到拉普拉斯变换
与傅立叶变换的对应关系。
三、拉普拉斯变换零极点分布对曲面图的影响
从单位阶跃信号和单边正弦信号的拉普拉斯变换曲面图可以看出,曲面图中均有突出的尖峰,仔细观察便可得出,这些峰值点在S平面的对应点就是信号拉普拉斯变换的极点位置。
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我们再来看拉普拉斯变换零极点对曲面图的影响,考虑如下信号:
F(s)
2(s3)(s3)
2
(s5)(s10)
该信号的零点为1,2
1,2
3
5。
利用如下MATLAB命令
z
3,极点为p
j3.1623,p
绘制出的曲面图如图6-5所示。
clf;
a=-6:
0.48:
6;
b=-6:
0.48:
6;
[a,b]=meshgrid(a,b);
c=a+i*b;
d=2*(c-3).*(c+3);
e=(c.*c+10).*(c-5);
c=d./e;
c=abs(c);
mesh(a,b,c);
surf(a,b,c);
axis([-6,6,-6,6,0,4.5]);
title('拉普拉斯变换曲面图');
colormap(hsv);
view(-25,30)
图6-5拉氏变换零极点分布曲面图
从图6-5可明显看出,曲面在sj3.1623和s5处有三个峰点,对应着拉普拉斯
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变换的极点位置,而在s3处有两个谷点,对应着拉普拉斯变换的零点位置。
因此,信号的拉普拉斯变换的零极点位置,决定了其拉氏变换曲面图的峰点和谷点位置。
四、连续系统零极点图的绘制
线性时不变系统可用如下所示的线性常系数微分方程来描述:
N
M
aiy(i)(t)
bjf(j)(t)
i0
j0
其中,y(t)为系统输出信号,
f(t)为输入信号。
将上式两边进行拉普拉斯变换,则该系统的系统函数为:
M
bjsj
Y(s)
j
0
B(s)
H(s)
N
F(s)
aisi
A(s)
i
0
将式(6-5)因式分解后有:
M
(s
zj)
H(s)C
j0
N
(s
pi)
i0
其中C为常数zj为系统的零点,pi为系统的极点。
(6-4)
(6-5)
(6-6)
可见,若连续系统函数的零极点已知,系统函数便可确定下来。
即系统函数H(s)的零极点分布完全决定了系统的特性。
因此,在连续系统的分析中,系统函数的零极点分布具有非常重要的意义。
通过对
系统函数零极点的分析,我们可以分析连续系统以下几方面的特性:
系统冲激响应h(t)的时域特性;
判断系统的稳定性;
分析系统的频率特性H(j)(幅频响应和相频响应)。
通过系统函数零极点分布来分析系统特性,首先就要求出系统函数的零极点,然后绘制系统零极点图。
下面介绍如何利用MATLAB实现这一过程。
设连续系统的系统函数为:
H(s)
B(s)
A(s)
则系统函数的零极点位置可用MATLAB的多项式求根函数roots()来求得,调用函
数roots()的命令格式为:
p=roots(A)
其中A为待求根的关于s的多项式的系数构成的行向量,返回向量p则是包含该多项式所有根位置的列向量。
如多项式为:
A(s)s23s4
则求该多项式根的MATLAB命令为:
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A=[134];
p=roots(A)
运行结果为:
p=
-1.5000+1.3229i
-1.5000-1.3229i
需要注意的是,系数向量A的元素一定要由多项式最高次幂开始直到常熟项,缺项要用0补齐。
如多项式为:
A(s)s63s42s2s4
则表示该多项式的系数向量为:
A=[103021-4];
用roots()函数求得系统函数H(s)的零极点后,就可以绘制零极点图,下面是求连
续系统的系统函数零极点,并绘制其零极点图的MATLAB实用函数sjdt()。
function[p,q]=sjdt(A,B)
%绘制连续系统零极点图程序
%A:
系统函数分母多项式系数向量
%B:
系统函数分子多项式系数向量
%p:
函数返回的系统函数极点位置行向量
%q:
函数返回的系统函数零点位置行向量
p=roots(A);