2．若复数（i为虚数单位）为纯虚数,则实数a的值为
A.2B.C.-D.-2
【答案】A
【解析】本题主要考查复数的四则运算、纯虚数的概念,属于容易题.解法一 先将复数化为a+bi（a,b∈R）的形式,再根据纯虚数的定义求解;解法二 先利用待定系数法设出纯虚数,再根据复数相等求解.
解法一 由题意得+i为纯虚数,则=0,且≠0,解得a=2.故选A.
解法二 由题意,令=ti（t≠0）,则1+ai=t+2ti,则,解得,故选A.
3．已知在等差数列{an}中,a1=1,且a2是a1和a5的等比中项,则a7=
A.1B.1或13C.13D.1或15
【答案】B
【解析】本题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的性质,属于容易题.先设出等差数列{an}的公差,再利用通项公式及等比数列的性质求解.
设等差数列{an}的公差为d,则a2=1+d,a5=1+4d.因为a2是a1和a5的等比中项,所以=a1·a5,即（1+d）2=1×（1+4d）,所以d（d-2）=0,所以d=0或d=2,故an=1或an=2n-1,从而a7=1或a7=13.故选B.
4．过点M（1,0）作斜率为1的直线l交抛物线y2=4x于A,B两点,则|AB|=
A.4B.6C.8D.10
【答案】C
【解析】本题主要考查直线与抛物线的位置关系,属于容易题.联立直线与抛物线的方程,求弦长即可.
通解 由题意得直线l的方程为y=x-1,代入抛物线的方程,得x2-6x+1=0,设A（x1,y1）,B（x2,y2）,则x1+x2=6,x1x2=1,故|AB|=|x1-x2|=·=8.
优解 由题意得直线l的方程为y=x-1,易知直线l过抛物线y2=4x的焦点,将直线l代入抛物线的方程得x2-6x+1=0,设A（x1,y1）,B（x2,y2）,则x1+x2=6,所以|AB|=x1+x2+2=8.
5．某公司有30名男职员和20名女职员,公司进行了一次全员参与的职业能力测试,现随机询问了该公司5名男职员和5名女职员在测试中的成绩（满分为30分）,可知这5名男职员的测试成绩分别为16,24,18,22,20,5名女职员的测试成绩分别为18,23,23,18,23,则下列说法一定正确的是
A.这种抽样方法是分层抽样
B.这种抽样方法是系统抽样
C.这5名男职员的测试成绩的方差大于这5名女职员的测试成绩的方差
D.该测试中公司男职员的测试成绩的平均数小于女职员的测试成绩的平均数
【答案】C
【解析】本题考查抽样方法、平均数、方差的概念,属于容易题.掌握概念是恰当选择方法和准确运算的保证.
根据抽样方法的特点,可知这种抽样既不是分层抽样,也不是系统抽样,故A,B是错误的,从这5名男职员和5名女职员的测试成绩得不出该公司男职员和女职员的测试成绩的平均数,故D是错误的,根据公式,可以求得这5名男职员的测试成绩的方差为=8,5名女职员的测试成绩的方差为=6,所以C正确,故选C.
6．设向量a=（1,0）,b=（,-）,若c=a+tb（t∈R）,则|c|的最小值为
A.B.1C.D.
【答案】C
【解析】本题考查平面向量的基本运算、二次函数的最值,属于容易题.根据|c|=求解即可,注意记清向量的数量积公式.
c2=（a+tb）2=a2+2ta·b+t2b2=t2+t+1=（t+）2+≥,∴|c|=≥,故选C.
7．已知某几何体的正（主）视图与侧（左）视图都是直角边长为1的等腰直角三角形,且体积为,则该几何体的俯视图可以是
【答案】B
【解析】本题考查几何体的三视图,棱锥、圆锥的体积计算公式,属于容易题.根据三视图还原出几何体,计算体积,也可利用排除法求解.
通解 若选项为A,C,则该几何体为底面是等腰直角三角形的棱锥,体积为,不合题意;若选项为B,则该几何体为底面是正方形的棱锥,体积为,符合题意;若选项为D,该几何体为四分之一个圆锥,体积为,不合题意.故选B.
优解 由题意知该几何体为锥体,体积为,故其底面面积应为1,故选B.
8．执行如图所示的程序框图,若输出的x的值是8,则实数M的最大值为
A.39B.40C.41D.121
【答案】B
【解析】本题主要考查程序框图的相关知识,属于容易题.
执行程序框图可知,S=1,k=1;S=1+31=4,k=2;S=1+31+32=13,k=3;S=1+31+32+33=40,k=4.要使输出的x的值是8,则恰好k=4时退出循环,所以13
9．已知函数f（x）=2cos（2x+φ）（|φ|<）的图象向右平移个单位长度后得到的函数图象关于y轴对称,则函数f（x）在[0,]上的最大值与最小值之和为
A.-B.-1C.0D.
【答案】B
【解析】本题主要考查三角函数的图象与性质,同时考查数形结合思想,属于中档题.先由平移后的函数图象的对称性求出φ,再数形结合求最值.
f（x）=2cos（2x+φ）（|φ|<）的图象向右平移个单位长度后,得到g（x）=2cos（2x+φ-）,其图象关于y轴对称,则φ-=kπ,k∈Z,所以φ=+kπ,k∈Z,又|φ|<,所以φ=,f（x）=2cos（2x+）.因为x∈[0,],所以≤2x+≤,所以cos（2x+）∈[-1,],故函数f（x）在[0,]上的最大值为1,最小值为-2,其和为-1.故选B.
10．已知点P在直径为的球面上,过点P作球的两两垂直的三条弦PA、PB、PC,若PA=PB,则PA+PB+PC的最大值为
A.B.+1C.+2D.3
【答案】A
【解析】本题主要考查球与内接长方体的关系以及最值问题.抓住球的直径等于其内接长方体的体对角线长是解题的关键.
解法一 由题意,易知以PA、PB、PC为棱长的长方体为该球的内接长方体.设PA=PB=x,PC=y,则x2+x2+y2=2x2+y2=2 ①,PA+PB+PC=2x+y,设z=2x+y>0,代入①式并消去y,得6x2-4zx+z2-2=0,由Δ=（-4z）2-4×6×（z2-2）≥0得-≤z≤,所以0解法二 由题意,易知以PA、PB、PC为棱长的长方体为该球的内接长方体.设PA=PB=x,PC=y,则x2+x2+y2=2x2+y2=2,可设x=cosθ,y=sinθ,则z=2x+y=2cosθ+sinθ=sin（φ+θ）（tanφ=）,所以z的最大值为,故选A.
11．如图,矩形ABCD的周长为8,设AB=x（1≤x≤3）,线段MN的两端点在矩形的边上滑动,且MN=1,当N沿A→D→C→B→A在矩形的边上滑动一周时,线段MN的中点P所形成的轨迹为G,记G围成的区域的面积为y,则函数y=f（x）的图象大致为
【答案】D
【解析】本题主要考查考生的数学建模能力,本质上是研究点的轨迹,属于中上等难度的题目.找到点P的轨迹,剩下的问题即可迎刃而解.
通解 由题意可知点P的轨迹为图中虚线所示,其中四个角均是半径为的扇形.因为矩形ABCD的周长为8,AB=x,则AD==4-x,所以y=x（4-x）-=-（x-2）2+4-（1≤x≤3）,显然该函数的图象是二次函数图象的一部分,且当x=2时,y=4-∈（3,4）,故选D.
优解 在判断出点P的轨迹后,发现当x=1时,y=3-∈（2,3）,故选D.
12．已知双曲线-=1（a>0,b>0）的实轴端点分别为A1,A2,记双曲线的其中一个焦点为F,一个虚轴端点为B,若在线段BF上（不含端点）有且仅有两个不同的点Pi（i=1,2）,使得∠A1PiA2=,则双曲线的离心率e的取值范围是
A.（,）B.（,）C.（1,）D.（,+∞）
【答案】A
【解析】本题主要考查双曲线的离心率、直线与圆的位置关系,同时考查化归与转化、数形结合思想.注意:
∠A1PiA2=,即以A1A2为直径的圆过点Pi（i=1,2）,转化为直线与圆的位置关系.另外BF为线段,与直线BF有区别,故b>a.
由于在线段BF上（不含端点）有且仅有两个不同的点Pi（i=1,2）,使得∠A1PiA2=,说明以A1A2为直径的圆与BF有两个交点.首先要满足a,另外还要满足原点到直线BF:
+=1（不妨取F为双曲线的上焦点,B为右端点）的距离小于半径a,因为原点到直线BF的距离为,则二、填空题：
共4题
13．若sinα=-,且α是第三象限角,则sin2α-cos2α= .
【答案】
【解析】本题主要考查同角三角函数的关系、二倍角公式等,属于容易题.由sinα求出cosα,代入求解即可.
∵sinα=-,且α是第三象限角,∴cosα=-,∴sin2α-cos2α=2sinαcosα-cos2α=.
14．若x,y满足约束条件,则z=2x+y的最大值为 .
【答案】4
【解析】本题考查线性规划,属于容易题.作出可行域,平移直线2x+y=0探究即可.
根据约束条件作出可行域如图中阴影部分所示,作出直线l0:
2x+y=0,将直线l0向上平移到l1的位置,此时l1过点P（2,0）,z=2x+y取到最大值4.
15．已知首项a1=1的数列{an}满足an+1=2an+1（n∈N*）,则数列{an+1-n}的前n项和Tn= .
【答案】2n+1-
【解析】本题主要考查等比数列的通项公式、数列的分组求和等,考查考生的转化能力、计算能力,属于中上等难度题.可将递推关系转化为an+1+1=2（an+1）,用等比数列求解,发现数列{an+1-n}可看作是一个等差数列与一个等比数列之和,分组求和即可.
∵an+1=2an+1（n∈N*）,∴an+1+1=2（an+1）,∴{an+1}是以a1+1=2为首项,2为公比的等比数列,∴an+1=2n,∴an+1-n=2n-n,∴Tn=（21+22+…+2n）-（1+2+…+n）=-=2n+1-.
16．若f（x）是定义在[0,+∞）上的函数,当x∈[0,2]时,f（x）=sin（πx）,且当x∈（2,+∞）时,f（x）=f（x-2）,则方程f（x）=ln（x-1）的实数根的个数为 .
【答案】3
【解析】本题主要考查三角函数、对数函数的图象,方程的根以及数形结合思想,属于难题.先根据已知解析式画出x∈[0,2]时y=f（x）的图象,再根据f（x）=f（x-2）画出x∈（2,+∞）时y=f（x）的图象,作出y=ln（x-1）的图象,数形结合即可得交点个数.
根据题意,在同一平面直角坐标系中作出函数y=f（x）和函数y=ln（x-1）的图象如图所示,观察图得两个函数图象的交点个数为3,即方程的根的个数为3.
三、解答题：
共8题
17．已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且2sin2A+3cos（B+C）=0.
（1）求角A的大小;
（2）若△ABC的面积S=5,a=,求sinB+sinC的值.
【答案】
（1）由2sin2A+3cos（B+
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