1第1章有理数.docx

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1第1章有理数

第一章　有理数

1.1正数和负数

1.2数轴

专题一探究数字的规律

1．观察下面各数列，研究它们各自的变化规律，并接着填出后面的两个数.

（1）1，-1，1，-1，1，-1，1，-1，_______，______，…

（2）2，-4，6，-8，10，-12，14，-16，_____，______，…

（3）1，0，-1，0，1，0，-1，0，1，0，-1，0，1，0，______，______，…

2．某校生物教师李老师在生物实验室做试验时，将水稻种子分组进行发芽试验；第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒，第4组取9粒，…按此规律，那么请你推测第n组应该有种子是_____粒.

3．根据下表的规律，空格中应依次填写的数字是（　　）

A．100，001B．011，001C．100，011D．011，100

4．我们知道：

1+3=4，1+3+5=9，1+3+5+7=16，…观察下面的一列数：

-1，2，-3，4，-5，6，…将这些数排成如下形式，根据规律猜想：

第20行第4个数是（　　）

A．-363B．-365C．-367D．-369

专题二与数轴有关的规律题

5．电子跳蚤落在数轴上的某点K0，第一步从K0向左跳1个单位到K1，第二步由K1向右跳2个单位到K2，第三步由K2向左跳3个单位到K3，第四步由K3跳4个单位到K4，…按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点K100所表示的数恰是30，则电子跳蚤的初始位置K0点所表示的数为（　　）

A．-26B．-20C．-30D．30

6．如图所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆上（该圆周长为3个单位长，且在圆周的三等分点处分别标上了数字0，1，2）上.先让原点与圆周上0所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上1，2，3，4，…所对应的点分别与圆周上1，2，0，1，…所对应的点重合，这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系．

（1）圆周上数字a与数轴上的数5对应，则a=_____；

（2）数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n圈（n为正整数）后，并落在圆周上数字1所对应的位置，这个整数是_________（用含n的代数式表示）．

【知识要点】

1．具有相反意义的量

相反意义的量，它们不但意义相反，面且还表示一定的数量.

2．正数和负数

正数：

像+1.8，+1200，+30，+28，+2.5，+8844.43，+34200等这样的数，都是已学过的数（0除外）的前面添上“+”得到的，这样的数叫做正数.像-3，-800，-50，-24，-2，-155，-27450等这样形式的数，都是在已学过的数（0除外）的前面添上“-”得到的，这样的数叫做负数.0既不是正数，也不是负数.

3．有理数的分类

整数和分数统称为有理数.

（1）按正数、负数与0的关系分类:

（2）按整数、分数的关系分类:

4．数轴：

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.

【温馨提示】

1．具有相反意义的量必须是成对出现的两个量.

2．正数和负数，不能简单地理解为带“+”号的数是正数，带“-”号的数是负数.

3．0虽然不是正数也不是负数，但它是整数.

4．在对有理数进行分类时，分类标准不同，分类的形式也不同，要弄清每一个括号所对应的分类标准，做到不重、不漏、不混淆.

5．数轴有三要素：

原点、正方向和单位长度，三者缺一不可.

【方法技巧】

1．生活中有许多相反意义的量，引入负数后可以用正、负数表示一对具有相反意义的量.

2．领会分类思想，有理数的分类有多种方式，无论采用哪种方式都要做到不重、不漏.

3．在学习数轴时，要充分注意数形结合思想，理解有理数可以直观地在数轴上表示出来.

参考答案：

1．

（1）1-1

（2）18-20（3）-10

2．2n+1

3．D

4．B

5．B

6．23n+1

解析：

（1）∵数轴上1，2，3，4，…所对应的点分别与圆周上1，2，0，1，…所对应的点重合，

∴圆周上数字a与数轴上的数5对应时a=2.

（2）∵数轴上1，2，3，4，…所对应的点分别与圆周上1，2，0，1，…所对应的点重合，

∴圆周上的数字0，1，2与正半轴上的整数每3个一组0，1，2；3，4，5；6，7，8；…分别对应，

∴数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n圈（n为正整数）后，并落在圆周上数字1所对应的位置，这个整数是3n+1．

1.3绝对值与相反数

专题一绝对值与数轴相结合的综合题

1．有理数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，化简|b+a|+|a+c|+|c-b|的结果是（　　）

A．2b-2cB．2c-2bC．2bD．-2c

2．已知|a-1|=3，|b|=3，a,b在数轴上对应的点分别为A,B，则A,B两点间距离的最大值等于________．

专题二绝对值的非负性及意义的运用

3．已知

试求

的值.

4．一只可爱的小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程（单位：

cm）依次记为：

+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10,在爬行过程中，如果小虫每爬行1cm就奖励2粒芝麻，那么小虫一共可以得到多少粒芝麻？

【知识要点】

1．绝对值的意义

在数轴上，表示一个数的点到原点的距离叫这个数的绝对值.

2．相反数

只有符号不同，绝对值相等的两个数，我们称其中一个数是另一个数的相反数.

3．去绝对值的法则

一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.

【温馨提示】

1．在讨论数轴上的点与原点的距离时，只需要观察这个点与原点之间相隔多少个单位长度，而与它位于原点的左侧还是是右侧无关.

2．0的相反数是0.

3．定义中强调了“符号不同”和“绝对值相等”，二者缺一不可，不能理解为只要符号不同的两个数就互为相反数.

4．相反数是成对出现的，不能单独存在.

5．任何一个有理数的绝对值是非负数.

【方法技巧】

1．根据a,b互为相反数有a+b=0这一重要性质，建立相等关系,求出未知数的值.

2．求一个数的绝对值时，必须先弄清这个数是正数还是负数或0，根据绝对值的意义去掉绝对值符号，得出结果，因此，求一个数的绝对值可概括为“一判二求”.

参考答案：

1．A解析：

由图可知：

c＜b＜0＜a，-c＞a，-b＜a，

∴a+b＞0，a+c＜0，c-b＜0

∴|b+a|+|a+c|+|c-b|=a+b-a-c+b-c=2b-2c．

故选A．

2．7解析：

∵|a-1|=3，

∴a-1=3或a-1=-3，a=4或a=-2.

∵|b|=3，

∴b=±3.

分为四种情况：

①当a=4，b=3时，A,B两点间的距离是4-3=1；

②当a=4，b=-3时，A,B两点间的距离是4-（-3）=7；

③当a=-2，b=3时，A,B两点间的距离是3-（-2）=5；

④当a=-2，b=-3时，A,B两点间的距离是（-2）-（-3）=1,

即A,B两点间距离的最大值等于7，

故答案为7．

3．解：

因为

≥0,

≥0,

，所以a=6,b=5.

所以

4．解：

小虫爬行的总路程为：

.

54×2=108（粒）.

1.4有理数的大小

专题利用比较大小的方法进行各种形式的有理数的比较

1．比较下列各数的大小：

（1）

与

；

（2）

与

.

2．有一位同学在做作业，要比较两个数的大小，但不慎把右边的一个有理数小数点后面的一位小数弄上了墨水：

（），请写出“（）”这个数字的取值范围，并帮这位同学填上一个合适的数.

3．有理数a，b在数轴上如图，

（1）在数轴上表示-a，-b；

（2）试把a，b，0，-a，-b这五个数用“＜”连接起来；

（3）用“＞”“=”或“＜”填空：

|a|___a，|b|___b．

【知识要点】

1．利用数轴比较有理数的大小

在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的的大.

2．正数、0、负数比较大小

正数大于0，0大于负数，正数大于负数.

3．两个负数比较大小

两个负数，绝对值大的反而小.

【温馨提示】

1．在数轴的负半轴，绝对值越大的负数离原点越远，即越靠左，就越小；而在正半轴上，绝对值越大的正数离原点越远，即越靠右，就越大.

2．两个负数比较大小时，分三步来进行：

一是先求两负数的绝对值；二是比较绝对值的大小；三是根据“两个负数，绝对值大的反而小”来确定这两个负数的大小.

【方法技巧】

有理数大小的比较方法有多种，利用数轴和两个负数“绝对值大的反而小”是比较有理数大小的重要方法.

参考答案：

1．解：

（1）因为

，

，而

，所以

<

.

（2）

而

>

所以

<

.

2．解：

因为

大于2.5，小数点后面只有一位小数，所以

小于-2.0大于-2.5.小数点后面只有一位小数，所以括号内的数是0到5之间的整数，可任选一个，如1，3等.

3．解：

（1）在数轴上表示为：

（2）a＜-b＜0＜b＜-a.

（3）＞=

1.5有理数加法

1.6有理数的减法

1.7有理数的加减混合运算

专题一有理数加减法的新定义型题

1．

符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：

（1）f

（1）=0,f

（2）=1,f（3）=2,f（4）=3…

（2）f（

）=2,f（

）=3，f（

）=4,f（

）=5…

利用以上规律计算：

f（

）-f（2013）=______.

2．定义运算：

＝a－b＋c，

求

－的值．

专题二有理数加减法的创新题

3．

根据如图所示的程序计算，若输入的值为1，则输出的值为______.

4．计算：

【知识要点】

1．有理数加法法则

同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.

异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.

一个数同0相加，仍得这个数.

2．有理数减法法则

减去一个数，等于加上这个数的相反数.

【温馨提示】

1．对有理数的加法理解抓住三条：

其一是同号两数相加；其二是异号两数相加；其三是一个数同0相加.

2．在应用有理数加法计算时，切记“先定和的符号，后算绝对值”，否则，很容易出错.

【方法技巧】

1．用有理数加法法则进行计算时，首先根据两个加数的符号，确定用哪一条法则.

2．在用减法法则进行减法运算时，要同时注意两个“变”，即运算符号“-”与减数的符号都要改变.

参考答案：

1．解：

观察

（1）中的各数，我们可以得出f（2013）=2012，

观察

（2）中的各数，我们可以得出f（

）=2013，

则f（

）-f（2013）=2013-2012=1．

2．解：

原式=

3．-5

4．解析：

（1）先把2后面的负数相加，然后再加上2即可得结果；

（2）用图形来分析。

把

一个面积是1的正方形连续平均分8次如图，这样不难看出

1.8有理数的乘法

1.9有理数的除法

专题一有理数乘除法的新定义题

1．观察下列等式：

（式子中的“！

”是一种数字运算符号）

1！

=1，2！

=2×1，3！

=3×2×1，4！

=4×3×2×1，…

计算：

2．若定义一种新的运算为a△b=

，计算：

（3△2﹞△

.

专题二有理数乘除法的找规律题

3．观察下列各式:

…

.

用上述方法计算: