北京市朝阳区届高三第一次综合练习一模数学文试题 扫描版含答案.docx
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北京市朝阳区届高三第一次综合练习一模数学文试题扫描版含答案
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习
数学答案(文史类)2016.3
一、选择题:
(满分40分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
A
C
B
C
B
D
C
二、填空题:
(满分30分)
题号
9
10
11
12
13
14
答案
,
或
1,2,3,4
(注:
两空的填空,第一空3分,第二空2分)
三、解答题:
(满分80分)
15.(本小题满分13分)
解:
(Ⅰ)
.
因为的最小正周期为,则.…………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知.
因为所以.
则.
当,即时,取得最大值是;
当,即时,取得最小值是.
在区间的最大值为,最小值为.…………………13分
16.(本小题满分13分)
解:
(Ⅰ)由,
当时,
当时,而,
所以数列的通项公式,.………………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得
当为偶数时,
当为奇数时,为偶数,
综上,…………………………13分
17.(本小题满分13分)
解:
(Ⅰ)女生阅读名著的平均本数本.
…………………………3分
(Ⅱ)设事件={从阅读5本名著的学生中任取2人,其中男生和女生各1人}.
男生阅读5本名著的3人分别记为,女生阅读5本名著的2人分别记为
从阅读5本名著的5名学生中任取2人,共有10个结果,分别是:
,,,,,,
,,,.
其中男生和女生各1人共有6个结果,分别是:
,,,,,.
则.…………………………10分
().…………………………13分
18.(本小题满分14分)
证明:
(Ⅰ)由已知,为中点,且,所以.
又因为,且底面,所以底面.
因为底面,所以,
又,
所以平面.
又因为平面,
所以平面平面.……………………5分
(Ⅱ)
取中点,连结,,,.
由于,分别为,的中点,
所以,且.
则四边形为平行四边形,所以.
又平面,平面,
所以平面.
由于,分别为,的中点,
所以.
又,分别为,的中点,
所以.
则.
又平面,平面,
所以平面.
由于,所以平面平面.
由于平面,
所以平面.……………10分
()假设与平面垂直,
由平面,
则.
设,.
当时,,
所以∽,所以.
由已知,
所以,得.
由于,
因此直线与平面不能垂直.…………………………………………14分
19.(本小题满分13分)
解:
()因为,,所以.
所以以线段为直径的圆的方程为.……………………………3分
()若存在点,使得,
则直线和的斜率存在,分别设为,.
等价于.
依题意,直线的斜率存在,故设直线的方程为.
由,得.
因为直线与椭圆有两个交点,所以.
即,解得.
设,,则,,
,.
令,
当时,,
所以,
化简得,,
所以.
当时,也成立.
所以存在点,使得.……………………………14分
20.(本小题满分13分)
解:
(Ⅰ)若,函数的定义域为,.
则曲线在点处切线的斜率为.
而,则曲线在点处切线的方程为.
……………3分
(Ⅱ)函数的定义域为,.
(1)当时,由,且此时,可得.
令,解得或,函数为减函数;
令,解得,但,
所以当,时,函数也为增函数.
所以函数的单调减区间为,,
单调增区间为,.
(2)当时,函数的单调减区间为,.
当时,函数的单调减区间为,.
当时,由,所以函数的单调减区间为,.
即当时,函数的单调减区间为,.
(3)当时,此时.
令,解得或,但,所以当,,时,函数为减函数;
令,解得,函数为增函数.
所以函数的单调减区间为,,,
函数的单调增区间为.…………9分
(Ⅲ)
(1)当时,由(Ⅱ)问可知,函数在上为减函数,
所以不存在极值点;
(2)当时,由(Ⅱ)可知,在上为增函数,
在上为减函数.
若函数在区间上存在极值点,则,
解得或,
所以.
综上所述,当时,函数在区间上存在极值点.
…………13分