北京市朝阳区届高三第一次综合练习一模数学文试题 扫描版含答案.docx

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北京市朝阳区届高三第一次综合练习一模数学文试题扫描版含答案

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习

数学答案（文史类）2016.3

一、选择题：

（满分40分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

D

A

C

B

C

B

D

C

二、填空题：

（满分30分）

题号

9

10

11

12

13

14

答案

，

或

1，2，3，4

（注：

两空的填空，第一空3分，第二空2分）

三、解答题：

（满分80分）

15.（本小题满分13分）

解：

（Ⅰ）

.

因为的最小正周期为，则.…………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知.

因为所以.

则.

当，即时，取得最大值是；

当，即时，取得最小值是.

在区间的最大值为，最小值为.…………………13分

16.（本小题满分13分）

解：

（Ⅰ）由，

当时，

当时，而，

所以数列的通项公式，.………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得

当为偶数时，

当为奇数时，为偶数，

综上，…………………………13分

17.（本小题满分13分）

解：

（Ⅰ）女生阅读名著的平均本数本.

…………………………3分

（Ⅱ）设事件={从阅读5本名著的学生中任取2人，其中男生和女生各1人}.

男生阅读5本名著的3人分别记为，女生阅读5本名著的2人分别记为

从阅读5本名著的5名学生中任取2人，共有10个结果，分别是：

，，，，，，

，，，.

其中男生和女生各1人共有6个结果，分别是：

，，，，，.

则.…………………………10分

（）.…………………………13分

18.（本小题满分14分）

证明：

（Ⅰ）由已知，为中点，且，所以．

又因为，且底面，所以底面．

因为底面，所以，

又，

所以平面．

又因为平面，

所以平面平面．……………………5分

（Ⅱ）

取中点，连结，，，.

由于，分别为，的中点，

所以,且.

则四边形为平行四边形，所以.

又平面，平面，

所以平面.

由于，分别为，的中点，

所以.

又，分别为，的中点，

所以.

则.

又平面，平面，

所以平面.

由于,所以平面平面.

由于平面，

所以平面.……………10分

（）假设与平面垂直，

由平面，

则．

设，．

当时，，

所以∽，所以．

由已知，

所以，得．

由于，

因此直线与平面不能垂直．…………………………………………14分

19.（本小题满分13分）

解：

（）因为，，所以.

所以以线段为直径的圆的方程为.……………………………3分

（）若存在点，使得，

则直线和的斜率存在,分别设为,.

等价于.

依题意，直线的斜率存在，故设直线的方程为.

由，得.

因为直线与椭圆有两个交点，所以.

即，解得.

设，,则，，

，.

令，

当时，，

所以，

化简得，，

所以.

当时，也成立.

所以存在点，使得.……………………………14分

20.（本小题满分13分）

解：

（Ⅰ）若，函数的定义域为，.

则曲线在点处切线的斜率为.

而，则曲线在点处切线的方程为.

……………3分

（Ⅱ）函数的定义域为，.

（1）当时，由,且此时，可得.

令，解得或，函数为减函数；

令，解得，但，

所以当，时，函数也为增函数.

所以函数的单调减区间为，，

单调增区间为，.

（2）当时，函数的单调减区间为，.

当时，函数的单调减区间为，.

当时，由，所以函数的单调减区间为，.

即当时，函数的单调减区间为，.

（3）当时，此时.

令，解得或，但，所以当，，时，函数为减函数；

令，解得，函数为增函数.

所以函数的单调减区间为，，，

函数的单调增区间为.…………9分

（Ⅲ）

（1）当时，由（Ⅱ）问可知，函数在上为减函数，

所以不存在极值点;

（2）当时，由（Ⅱ）可知，在上为增函数，

在上为减函数.

若函数在区间上存在极值点，则，

解得或,

所以.

综上所述，当时，函数在区间上存在极值点.

…………13分