高考数学二轮专题复习专题验收评估一集合常用逻辑用语函数与导数不等式.docx

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高考数学二轮专题复习专题验收评估一集合常用逻辑用语函数与导数不等式

专题验收评估

（一）集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式

（时间：

120分钟　满分：

150分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（2017·山东高考）设函数y＝

的定义域为A，函数y＝ln（1－x）的定义域为B，则A∩B＝（　　）

A．（1,2）B．（1,2]

C．（－2,1）D．[－2,1）

解析：

选D　由题意可知A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|x<1}，故A∩B＝{x|－2≤x<1}．

2．已知a＝0.20.3，b＝log0.23，c＝log0.24，则（　　）

A．a>b>cB．a>c>b

C．b>c>aD．c>b>a

解析：

选A　由指数函数和对数函数的图象和性质知a>0，b<0，c<0，又对数函数f（x）＝log0.2x在（0，＋∞）上是单调递减的，所以log0.23>log0.24，所以a>b>c.

3．函数f（x）＝ln（x2＋1）的图象大致是（　　）

解析：

选A　依题意，得f（－x）＝ln（x2＋1）＝f（x），所以函数f（x）为偶函数，即函数f（x）的图象关于y轴对称，故排除C.因为函数f（x）过定点（0,0），排除B，D，应选A.

4．（2017·南昌模拟）已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为（　　）

A．2B．4C．6D．8

解析：

选C　由已知得xy＝9－（x＋3y），即3xy＝27－3（x＋3y）≤

2，当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号，令x＋3y＝t，则t>0，且t2＋12t－108≥0，得t≥6，即x＋3y≥6.

5．若变量x，y满足约束条件

则z＝2x－y的最小值为（　　）

A．－1B．0C．1D．4

解析：

选A　线性约束条件

所构成的可行域如图所示是顶点为A（2,5），B（1,2），C（3，2）的三角形的边界及其内部．故当目标函数z＝2x－y经过点A时，取到最小值zmin＝2×2－5＝－1.

6．设a，b∈R，则“（a－b）·a2<0”是“a

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

解析：

选A　若（a－b）·a2<0，则a≠0，且a

7．若函数f（x）＝logm（x－a）＋c－1（m＞0，m≠1）的图象过定点（2,1），且函数g（x）＝2alnx＋

－c在[1，e]上为单调函数，则实数b的取值范围是（　　）

A.

B．（－∞，2）∪（2e，＋∞）

C.

∪

D.

解析：

选C　由函数f（x）的图象过定点（2,1），可知

即

则g（x）＝2lnx＋

－2，求导得g′（x）＝

－

＝

（2x－b），易知函数y＝2x，x∈[1，e]为增函数，其值域为[2,2e]，所以当b≤2或b≥2e时，f′（x）≥0或f′（x）≤0恒成立，即此时函数g（x）在[1，e]上为单调函数．故选C.

8．（2017·静安区模拟）已知函数f（x）是定义在实数集R上的以2为周期的偶函数，当0≤x≤1时，f（x）＝x2.若直线y＝x＋a与函数y＝f（x）的图象在[0,2]内恰有两个不同的公共点，则实数a的值是（　　）

A．－

或－

B．0

C．0或－

D．0或－

解析：

选D　因为函数f（x）是定义在实数集R上的以2为周期的偶函数，所以当－1≤x≤0时，f（x）＝f（－x）＝x2，作出函数f（x）在[0,2]上的图象如图所示，当直线经过点A（1，1）时，满足条件，此时1＝1＋a，解得a＝0；当直线y＝x＋a与y＝x2相切时，也满足条件，此时x2＝x＋a，即x2－x－a＝0，则判别式Δ＝1＋4a＝0，a＝－

，故a＝0或a＝－

.

9．已知f（x）＝lnx－

＋

，g（x）＝－x2－2ax＋4，若对任意的x1∈（0,2]，存在x2∈[1,2]，使得f（x1）≥g（x2）成立，则a的取值范围是（　　）

A.

B.

C.

D.

解析：

选B　因为f′（x）＝

－

×

－

＝

＝－

，易知，当x∈（0,1）时，f′（x）<0，当x∈（1,2]时f′（x）>0，所以f（x）在（0,1）上单调递减，在（1,2]上单调递增，故f（x）min＝f

（1）＝

.对于二次函数g（x）＝－x2－2ax＋4，易知该函数开口向下，所以其在区间[1,2]上的最小值在端点处取得，即g（x）min＝min{g

（1），g

（2）}．要使对任意的x1∈（0,2]，存在x2∈[1,2]，使得f（x1）≥g（x2）成立，只需f（x1）min≥g（x2）min，即

≥g

（1）或

≥g

（2），所以

≥－1－2a＋4或

≥－4－4a＋4，解得a≥－

.

10．若平面直角坐标系内的A，B两点满足：

①点A，B都在f（x）的图象上；②点A，B关于原点对称，则称点对（A，B）是函数f（x）的一个“姊妹点对”（点对（A，B）与（B，A）可看作同一个“姊妹点对”）．已知函数f（x）＝

则f（x）的“姊妹点对”的个数为（　　）

A．1B．2C．3D．4

解析：

选B　设P（x，y）（x<0），则点P关于原点的对称点为P′（－x，－y），由

＝－（x2＋2x），化简整理得2ex＋x2＋2x＝0.由x2＋2x<0，解得－2

>0（x≥0），所以只需考虑x∈（－2,0）即可．令φ（x）＝2ex＋x2＋2x，求导得，φ′（x）＝2ex＋2x＋2，令g（x）＝2ex＋2x＋2，则g′（x）＝2ex＋2>0，所以φ′（x）在区间（－2,0）上单调递增，而φ′（－2）＝2e－2－4＋2＝2（e－2－1）<0，φ′（－1）＝2e－1>0，所以φ（x）在区间（－2,0）上只存在一个极值点x0（x0∈（－2，－1）），而φ（－2）＝2e－2>0，φ（－1）＝2e－1－1<0，φ（0）＝2>0，所以函数φ（x）在区间（－2，－1），（－1,0）上各有一个零点，即函数f（x）有2个“姊妹点对”．

二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分，把答案填在题中横线上）

11．已知全集为R，集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|1＜x＜3}，则A∩B＝________；A∪B＝________；∁RA＝________.

解析：

因为A＝{x|x2－2x＞0}＝{x|x＜0或x＞2}，B＝{x|1＜x＜3}，A∩B＝（2,3），A∪B＝（－∞，0）∪（1，＋∞），∁RA＝[0,2]．

答案：

（2,3）　（－∞，0）∪（1，＋∞）　[0,2]

12．已知f（x）＝

f

（1）＝________，f（f（3））＝________.

解析：

依题意，f

（1）＝－log31＝0，f（3）＝－log33＝－1，故f（f（3））＝f（－1）＝3.

答案：

0　3

13．（2017·嘉兴模拟）若实数a，b满足ab－4a－b＋1＝0（a>1），则（a＋1）（b＋2）的最小值为________，这时a＝________.

解析：

因为ab－4a－b＋1＝0，所以b＝

，又a>1，所以b>0，所以（a＋1）（b＋2）＝ab＋2a＋b＋2＝6a＋2b＋1＝6a＋8＋

＋1＝6（a－1）＋

＋15，因为a－1>0，所以6（a－1）＋

＋15≥2

＋15＝27，当且仅当6（a－1）＝

（a>1），即a＝2时等号成立，故（a＋1）（b＋2）的最小值是27.

答案：

27　2

14．若关于x的不等式|x＋a|

解析：

由|x＋a|

则

解得a＝－3，b＝1.

答案：

－3　1

15．已知函数f（x）＝x3＋mx2＋（m＋6）x＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围是________．

解析：

对函数f（x）求导得f′（x）＝3x2＋2mx＋m＋6，要使函数f（x）既存在极大值又存在极小值，则f′（x）＝0有两个不同的根，所以判别式Δ>0，即Δ＝4m2－12（m＋6）>0，所以m2－3m－18>0，解得m>6或m<－3.

答案：

（－∞，－3）∪（6，＋∞）

16．设变量x，y满足约束条件

其中a>1，若目标函数z＝x＋y的最大值为4，则a的值为________．

解析：

根据题意作出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示．令y＝－x＋z，则z的几何意义是直线y＝－x＋z的纵截距，故欲使z最大，只需使直线y＝－x＋z的纵截距最大即可．因为a>1，所以直线x＋ay＝7的斜率大于－1，故当直线y＝－x＋z经过直线y＝3x与直线x＋ay＝7的交点

时，目标函数z取得最大值，最大值为

.由题意得

＝4，解得a＝2.

答案：

2

17．已知函数f（x）的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表：

x

－1

0

2

4

5

f（x）

1

2

1.5

2

1

f（x）的导函数y＝f′（x）的图象如图所示．

下列关于函数f（x）的命题：

①函数f（x）的值域为[1,2]；

②函数f（x）在[0,2]上是减函数；

③如果当x∈[－1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；

④当1

其中真命题的序号是________．

解析：

由导数图象可知，

当－10，函数单调递增，

当0

当x＝0和x＝4时，函数取得极大值f（0）＝2，f（4）＝2，

当x＝2时，函数取得极小值f

（2）＝1.5.

又f（－1）＝f（5）＝1，

所以函数的最大值为2，最小值为1，值域为[1,2]，①正确．②正确．

因为当x＝0和x＝4时，函数取得极大值f（0）＝2，f（4）＝2，

要使当x∈[－1，t]时函数f（x）的最大值是2，

则t的最大值为5，所以③不正确．

由f（x）＝a，因为极小值f

（2）＝1.5，极大值为f（0）＝f（4）＝2，

所以当1

所以④正确．故真命题的序号为①②④.

答案：

①②④

三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18．（本小题满分14分）已知二次函数f（x）的最小值为－4，且关于x的不等式f（x）≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}．

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）求函数g（x）＝

－4lnx的零点个数．

解：

（1）因为f（x）是二次函数，且f（x）≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}，

所以可设f（x）＝a（x＋1）（x－3）＝ax2－2ax－3a，且a＞0.

因为a＞0，f（x）＝a[（x－1）2－4]≥－4，且f

（1）＝－4a，所以f（x）min＝－4a＝－4，解得a＝1.

故函数f（x）的解析式为f（x）＝x2－2x－3.

（2）因为g（x）＝

－4lnx＝

－4lnx＝x－

－4lnx－2（x＞0），

所以g′（x）＝1＋

－

＝

.

当x变化时，g′（x），g（x）的变化情况如下表所示：

x

（0,1）

1

（1,3）

3

（3，＋∞）

g′（x）

＋

0

－

0

＋

g（x）

极大值

极小值

当0＜x≤3时，g（x）≤g

（1）＝－4＜0，

又g（e5）＝e5－

－20－2＞25－1－22