向量的知识点总结和解三角形.docx
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向量的知识点总结和解三角形
平面向量复习基本知识点结论总结
一、向量有关概念：
（1）向量的概念：
既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。
向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？
（向量可以平移）。
（2）零向量：
长度为0的向量叫零向量，记作：
0，注意零向量的方向是任意的；
uuuuuu
（3）单位向量：
长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与AB共线的单位向量是AU）；
|AB|
例题已知向量?
?
=（-1,2），则与其共线的单位向量为.
（4）相等向量：
长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；
（5）平行向量（也叫共线向量）：
方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：
a//b,规定零向量和任何向量平行。
提醒：
①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：
两个向量平行包含两个向量
共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！
（因为有0）；④三点
uuuuuu
AB、C共线AB、AC共线；
（6）相反向量：
长度相等方向相反的向量叫做相反向量。
a的相反向量是一a。
例题下列命题：
（1）若ab，则ab。
（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，
uuuuuir
终点相同。
（3）若ABDC，则ABCD是平行四边形。
（4）若ABCD是平行四边形，则
uuruuir»rrrrrr»rrrrrr……
ABDC°（5）右ab,bc,则ac。
（6）右a〃b,b〃c,则a//c。
其中正确的是
、向量的表示方法：
（1）几何表示法：
用带箭头的有向线段表示，如AB,注意起点在前,
终点在后；
（2）符号表示法：
用一个小写的英文字母来表示，如a,b,c等；（3）坐标表
示法。
三，平面向量的基本定理：
如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数1、2，使a=1e1+2e2。
四、实数与向量的积：
实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度和方向规定如
rrllL
下：
1a|a,2当>0时，a的方向与a的方向相同，当<0时，a的方向
__rr—
与a的方向相反，当=0时，a0,注意：
a工0°
五、平面向量的数量积：
--uuuruuur
1.两个向量的夹角：
对于非零向量a,b，作OAa,OBb,AOB
―—*—*—*—►—p
0称为向量a,b的夹角，当=0时，a,b同向，当=时，a,b反向,
当=一时，a,b垂直。
2,,rr
2.平面向量的数量积：
如果两个非零向量a,b,它们的夹角为，我们把数量|a||b|cos
叫做a与b的数量积（或内积或点积），记作：
a?
b，即a?
b=abcos。
规定：
零向
量与任一向量的数量积是0,注意数量积是一个实数，不再是一个向量。
例题
（1）△ABC中，IAB|3，|AC|4，|BC|5，则ABBC
r1r1rrrurrru
（2）已知a（0,—）,cakb,dab，c与d的夹角为一，则k等于；
r2rr2rr4
（3）已知a2,b5,agD3，贝Uab等于；
（4）已知a,b是两个非零向量，且abab，则a与ab的夹角为
3.b在a上的投影为|b|cos，它是一个实数，但不一定大于0。
例题。
已知|a|3,|b|5，且ab12，则向量a在向量b上的投影为
_____「一一
4.a?
b的几何意义：
数量积a?
b等于a的模|a|与b在a上的投影的积。
5.「向量数量积的性质：
设两个非零向量a,b，其夹角为，则：
1aba?
b0；
-•rr「2rr|r2r|r
2当a,b同向时，a?
b=ab，特别地，aa?
aa,ava;当a与b反向,a?
b=-ab;当为锐角时，a?
b>0,且a、b不同向，ab0是为锐角的必要非
充分条件；:
当为钝角时,
°rr
a?
bv0,且a、b不反向，
rr
rr
ab0是
为钝角必要非充分条件
③非零向量
—K—►
ii
,—,a?
b
rr
rr
a,b夹角
的计算公式：
cosa?
r|
:
④|a?
b|
|a||b|。
|a||b|
例题
（1）已知a（,2）,b（3,2），如果a与b的夹角为锐角，贝U的取值范围是
1：
3
（2）已知OFQ的面积为S，且OFFQ1，若一S，则OF,FQ夹角的取
2
2
形状为;
uunmuujur
（4）若D为ABC的边BC的中点，ABC所在平面内有一点P，满足PABPCP0,uur
设LUUU-1，则的值为___；
|PD|—
…,uurluinlurr,
（5）若点O是厶ABC的外心，且OAOBCO0，贝U△ABC的内角C为—；
rr
2.坐标运算：
设a（xr,yj,b化小），则：
①向量的加减法运算：
ab（x1x2,y1y2）。
uuuuuuuuu
例题
（1）已知点A（2,3）,B（5,4）,C（7,10），若APABAC（R），则当=
时，点P在第一、三象限的角平分线上
1UUU
（2）已知A（2,3）,B（1,4）,且一AB（sinx,cosy）,x,y（-），则xy
2uuuuUu2
（3）已知作用在点A（1,1）的三个力F1（3,4）,F2（2,5）,F3（3,1），则合力
iruuuuuu
FF1F2F3的终点坐标是
r
2实数与向量的积：
a%,%x-!
y1o
uuu
3若A（X1,ydB（X2,y2），贝UABX2为』2,即一个向量的坐标等于表示这个向
量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。
（1）下列命题中：
①a（bc）abac；②a（bc）（ab）c；③（ab）2|a|2
2rrrrrr
2|a||b||b|2:
④若ab0,则a0或b0;⑤若abcb,则ac;®
r2r2abbrrr2r2rrr2rrr2
aa;⑦tr十；⑧（ab）ab；⑨（ab）a2abb。
其中正确的是
aa
rrrrrrrro
八、向量平行（共线）的充要条件：
a//bab（ab）2（|a||b|）xy丫论=0。
（1）若向量a（x,1）,b（4,x），当x=时a与b共线且方向相同；
（2）已知a（1,1）b（4,x）,ua2b,v2ab，且u//v，则x=；
uuuuuu
（3）设PA（k,12）,PB（4,5）,PC（10,k），贝Uk=时，A,B,C共线。
x1x2y1y20。
90，则点B的坐标是
九、向量垂直的充要条件：
abab0|ab||ab|
uuuuuuuuuuuu
（1）已知OA（1,2）,OB（3,m），若OAOB，贝Um;
（2）以原点O和A（4,2）为两个顶点作等腰直角三角形OAB,B
'rrurririt_
（3）已知n（a,b）,向量nm，且nm，则m的坐标是。
十、向量中一些常用的结论：
1.在ABC中，①若AX1,y1,BX2,y2,CX3,y3,则其重心的坐标为
GXiX2冷%yX
3
，3
10A20B,其中1,2R且121,则点C的轨迹是
高中数学必修五第一章解三角形知识点复习及经典练习
一、知识点总结
1.正弦定理：
一a
sinA
b
sinB
2R或变形:
sinC
a:
b:
csinA:
sinB:
sinC.
sinsin,等号当且当a
推论：
①定理：
若a、B>0,且a+，则aWB
=B时成立。
②判断三角解时，可以利用如下原理：
sinA>sinBA>B
a>b
cosAcosBAB（ycosx在（0,）上单调递减）
a2b2c22bccosA
b2a2c22accosB或
c2b2a22bacosC
3.
（1）两类正弦定理解三角形的问题：
1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角•
2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角•
（2）两类余弦定理解三角形的问题：
1、已知三边求三角•
2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角•
4•判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式•
5.三角形中的基本关系：
sin（AB）sinC,cos（AB）cosC,tan（AB）tanC,
sin—cosC,cos—sinC,tan口cotC
222222
已知条件
定理应用
一般解法
一边和两角
（如a、B、C）
正弦定理
由A+B+C=180，求角A,由正弦定理求出b与c,在有解时有一解。
两边和夹角
（如a、b、c）
余弦定理
由余弦定理求第三边C,由正弦定理求出小边所对的角，再
由A+B+C=180求出另一角，在有解时有一解。
三边
（如a、b、c）
余弦定理
由余弦定理求出角A、B,再利用A+B+C=180，求出角C
在有解时只有一解。
解三角形［基础训练A组］
一、选择题
1.在△ABC中，若C900,a6,B300，则cb等于（）
A.1B.1C.23D.2.3
2.若AABC的内角，则下列函数中一定取正值的是（）
1
A.sinAB.cosAC.tanAD.—
tanA
3.在△ABC中，角A,B均为锐角，且cosAsinB,则厶ABC的形状是（
A.直角三角形
B.锐角三角形C.钝角三角形
D.等腰三角形
A.2B.-C.3D.2.3
2
5.在△ABC中，若b2asinB，贝UA等于（）
A.30°或60°B.45°或60°C.120°或60°D.30°或150°
6•边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（）
A.90°B.120°C.135°D.150°
二、填空题
1•在Rt△ABC中，C90°，则sinAsinB的最大值是。
2.在△ABC中，若a2b2bec2,则A。
3.在△ABC中，若b2,B30°,C135°,则a。
4.在△ABC中，若sinA:
sinB:
sinC7:
8:
13，则C。
5.在△ABC中，AB.62,C30°
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