向量的知识点总结和解三角形.docx

1、向量的知识点总结和解三角形平面向量复习基本知识点结论总结一、向量有关概念：（1） 向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来 表示，注意 不能说向量就是有向线段 ，为什么？（向量可以平移）。（2） 零向量：长度为0的向量叫零向量，记作： 0，注意零向量的方向是任意的；uuu uuu（3） 单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量 （与AB共线的单位向量是 AU ）；|AB|例题已知向量?= （-1,2），则与其共线的单位向量为 .（4） 相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；（5） 平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非

2、零向量 a、b叫做平行向量，记作：a / b ,规定零向量和任何向量平行 。提醒：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一 定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念： 两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合； 平行向量无传递性！（因为有0）；三点uuu uuuA B、C共线 AB、AC共线；（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。 a的相反向量是一a。例题下列命题：（1）若a b，则a b。（ 2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，uuu uuir终点相同。（3）若AB DC，则ABCD是平行四边形。（4）若ABCD是平行四边形，则uur u

3、uir rrrr r r rrrr rr AB DC （5）右 a b,b c ,则 a c。（6）右 ab,bc ,则 a/c。其中正确的是 、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示， 如AB ,注意起点在前,终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如 a , b , c等；（3）坐标表示法。三，平面向量的基本定理 ：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内 的任一向量a，有且只有一对实数 1、 2，使a= 1e1 + 2e2。四、 实数与向量的积：实数 与向量a的积是一个向量，记作 a，它的长度和方向规定如r r l l L下：1 a |

4、 a , 2当 0时， a的方向与a的方向相同，当 0,且a、b不同向，a b 0是 为锐角的必要非充分条件；:当为钝角时, r ra ? b v0,且a、b不反向，r rr ra b 0是为钝角必要非充分条件非零向量K i i, , a ?br rr ra , b夹角的计算公式： cos a ? r |: |a?b|a|b|。|a|b|例题(1)已知a ( ,2 ) , b (3 ,2)，如果a与b的夹角为锐角，贝U 的取值范围是1： 3(2)已知 OFQ的面积为S，且OF FQ 1，若一 S ，则OF , FQ夹角 的取22形状为 ;uun mu uju r(4)若D为 ABC的边BC的中

5、点， ABC所在平面内有一点 P，满足PA BP CP 0, uur设LUUU-1 ，则 的值为_；|PD| , uur luin lur r ,(5)若点O是厶ABC的外心，且 OA OB CO 0，贝U ABC的内角C为 ；r r2.坐标运算：设a (xr,yj,b化小)，则：向量的加减法运算：a b (x1 x2 , y1 y2)。uuu uuu uuu例题(1)已知点 A(2,3), B(5,4) , C(7,10)，若 AP AB AC( R)，则当 = 时，点P在第一、三象限的角平分线上1UUU(2) 已知 A(2,3), B(1,4),且一AB (sin x,cos y), x,

6、y ( -)，则 x y 2uu uu Uu 2(3)已知作用在点 A(1,1)的三个力F1 (3,4), F2 (2, 5),F3 (3,1)，则合力ir uu uu uuF F1 F2 F3的终点坐标是r2实数与向量的积：a %,% x-!, y1 ouuu3若A(X1, yd B(X2, y2)，贝U AB X2为2 ,即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。(1)下列命题中： a (b c) abac ； a (b c) (a b) c ；(a b)2 | a |22 r r r r r r2|a| | b| |b|2 : 若 a b 0,则 a 0 或 b

7、0 ;若 a b c b,则 a c ; r 2 r2 abb r r r2 r2 r r r2 r r r2a a ;tr 十；(a b) a b ；(a b) a 2a b b。其中正确的是 a ar r r r r r r r o八、向量平行(共线)的充要条件：a/b a b (a b)2 (| a | b|) xy 丫论=0。(1)若向量a (x,1),b (4, x)，当x = 时a与b共线且方向相同；(2) 已知 a (1,1)b (4,x) , u a 2b , v 2a b，且 u/v，则 x= ；uu uu uu(3) 设 PA (k,12),PB (4,5), PC (10

8、, k)，贝U k= 时，A,B,C 共线。x1x2 y1y2 0。90，则点B的坐标是九、向量垂直的充要条件 ：a b a b 0 | a b | | a b |uuu uuu uuu uuu(1)已知 OA ( 1,2),OB (3,m)，若 OA OB，贝U m ;(2) 以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形 OAB , Br r ur r ir it _(3)已知n (a, b),向量n m，且n m，则m的坐标是 。十、向量中一些常用的结论 ：1.在 ABC中，若A X1, y1 , B X2, y2 ,C X3, y3 ,则其重心的坐标为G Xi X2 冷 % y X3

9、， 31 0A 2 0B ,其中1, 2 R且1 2 1,则点C的轨迹是 高中数学必修五第一章解三角形知识点复习及经典练习一、知识点总结1 .正弦定理：一asin Absin B2R或变形:sin Ca:b: c sin A:sin B:sin C .sin sin ,等号当且当a推论：定理：若a、B 0,且a + ，则aWB=B时成立。判断三角解时，可以利用如下原理： si nA sinB A Ba bcosA cosB AB ( y cosx 在(0,)上单调递减)a2 b2 c2 2bccosAb2 a2 c2 2accosB 或c2 b2 a2 2bacosC3. （1）两类正弦定理解

10、三角形的问题： 1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角 2 、已知两角和其中一边的对角，求其他边角 （2）两类余弦定理解三角形的问题： 1、已知三边求三角2 、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角4判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式 5.三角形中的基本关系：sin（A B） si nC,cos（A B） cosC, tan （A B） tanC,sin cosC,cos sinC,tan 口 cotC2 2 2 2 2 2已知条件定理应用一般解法一边和两角（如 a、B、C）正弦定理由A+B+C=180，求角A,由正弦定理求出 b与c,在有解时 有一

11、解。两边和夹角（如 a、b、c）余弦定理由余弦定理求第三边 C,由正弦定理求出小边所对的角，再由A+B+C=180求出另一角，在有解时有一解。三边（如 a、b、c）余弦定理由余弦定理求出角 A、B,再利用A+B+C=180，求出角C在有解时只有一解。解三角形基础训练A组一、选择题1.在 ABC中，若 C 900,a 6,B 300，则 c b等于（ ）A. 1 B. 1 C. 2 3 D. 2.32.若A ABC的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ）1A. sin A B. cos A C. tan A D. tan A3.在 ABC中，角A, B均为锐角，且cos A sin B,则厶AB

12、C的形状是（A .直角三角形B.锐角三角形 C.钝角三角形D.等腰三角形A. 2 B. - C. 3 D. 2.325.在 ABC中，若 b 2asinB，贝U A等于（ ）A. 30或60 B. 45或60 C. 120或60 D. 30或 1506 边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ）A. 90 B. 120 C. 135 D. 150二、 填空题1 在Rt ABC中，C 90，则sin Asin B的最大值是 。2. 在 ABC中，若 a2 b2 be c2,则A 。3. 在 ABC中，若 b 2,B 30,C 135,则a 。4 .在 ABC 中，若 si nA : si n B : si n C 7 : 8 : 13，则 C 。5.在 ABC中，AB .6 2, C 30