版 数学 高考冲刺总复习一元函数的导数及其应用第三章 第1节人教A版新高考.docx

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版数学高考冲刺总复习一元函数的导数及其应用第三章第1节人教A版新高考

第1节　导数的概念及运算

考试要求　1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想；2.体会极限思想；3.通过函数图象直观理解导数的几何意义；4.能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝

，y＝

的导数；5.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数（限于形如f（ax＋b））的导数；6.会使用导数公式表.

知识梳理

1.函数y＝f（x）在x＝x0处的导数

（1）定义：

称函数y＝f（x）在x＝x0处的瞬时变化率

＝

为函数y＝f（x）在x＝x0处的导数，记作f′（x0）或y′|x＝x0，即f′（x0）＝

＝

.

（2）几何意义：

函数f（x）在点x0处的导数f′（x0）的几何意义是在曲线y＝f（x）上点（x0，f（x0））处的切线的斜率.相应地，切线方程为y－y0＝f′（x0）（x－x0）.

2.函数y＝f（x）的导函数

如果函数y＝f（x）在开区间（a，b）内的每一点处都有导数，其导数值在（a，b）内构成一个新函数，函数f′（x）＝lim

称为函数y＝f（x）在开区间内的导函数.

3.导数公式表

基本初等函数

导函数

f（x）＝c（c为常数）

f′（x）＝0

f（x）＝xα（α∈Q*）

f′（x）＝αxα－1

f（x）＝sinx

f′（x）＝cosx

f（x）＝cosx

f′（x）＝－sinx

f（x）＝ex

f′（x）＝ex

f（x）＝ax（a＞0）

f′（x）＝axlna

f（x）＝lnx

f′（x）＝

f（x）＝logax（a＞0，a≠1）

f′（x）＝

4.导数的运算法则

若f′（x），g′（x）存在，则有：

（1）[f（x）±g（x）]′＝f′（x）±g′（x）；

（2）[f（x）·g（x）]′＝f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）；

（3）

′＝

（g（x）≠0）.

5.复合函数的导数

复合函数y＝f（g（x））的导数和函数y＝f（u），u＝g（x）的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′.

[微点提醒]

1.f′（x0）代表函数f（x）在x＝x0处的导数值；（f（x0））′是函数值f（x0）的导数，且（f（x0））′＝0.

2.

′＝－

.

3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.

4.函数y＝f（x）的导数f′（x）反映了函数f（x）的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′（x）|反映了变化的快慢，|f′（x）|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.

基础自测

1.判断下列结论正误（在括号内打“√”或“×”）

（1）f′（x0）是函数y＝f（x）在x＝x0附近的平均变化率.（　　）

（2）函数f（x）＝sin（－x）的导数f′（x）＝cosx.（　　）

（3）求f′（x0）时，可先求f（x0），再求f′（x0）.（　　）

（4）曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.（　　）

解析　

（1）f′（x0）表示y＝f（x）在x＝x0处的瞬时变化率，

（1）错.

（2）f（x）＝sin（－x）＝－sinx，则f′（x）＝－cosx，

（2）错.

（3）求f′（x0）时，应先求f′（x），再代入求值，（3）错.

答案　

（1）×　

（2）×　（3）×　（4）√

2.（选修2－2P19B2改编）曲线y＝x3＋11在点P（1，12）处的切线与y轴交点的纵坐标是（　　）

A.－9B.－3C.9D.15

解析　因为y＝x3＋11，所以y′＝3x2，所以y′|x＝1＝3，所以曲线y＝x3＋11在点P（1，12）处的切线方程为y－12＝3（x－1）.令x＝0，得y＝9.

答案　C

3.（选修2－2P3例题改编）在高台跳水运动中，ts时运动员相对于水面的高度（单位：

m）是h（t）＝－4.9t2＋6.5t＋10，则运动员的速度v＝________m/s，加速度a＝______m/s2.

解析　v＝h′（t）＝－9.8t＋6.5，a＝v′（t）＝－9.8.

答案　－9.8t＋6.5　－9.8

4.（2019·青岛质检）已知函数f（x）＝x（2018＋lnx），若f′（x0）＝2019，则x0等于（　　）

A.e2B.1C.ln2D.e

解析　f′（x）＝2018＋lnx＋x×

＝2019＋lnx.

由f′（x0）＝2019，得2019＋lnx0＝2019，则lnx0＝0，解得x0＝1.

答案　B

5.（2018·天津卷）已知函数f（x）＝exlnx，f′（x）为f（x）的导函数，则f′

（1）的值为________.

解析　由题意得f′（x）＝exlnx＋ex·

，则f′

（1）＝e.

答案　e

6.（2017·全国Ⅰ卷）曲线y＝x2＋

在点（1，2）处的切线方程为________.

解析　设y＝f（x），则f′（x）＝2x－

，

所以f′

（1）＝2－1＝1，

所以在（1，2）处的切线方程为y－2＝1×（x－1），

即y＝x＋1.

答案　y＝x＋1

考点一　导数的运算　

多维探究

角度1　根据求导法则求函数的导数

【例1－1】分别求下列函数的导数：

（1）y＝exlnx；

（2）y＝x

；

（3）f（x）＝ln

.

解　

（1）y′＝（ex）′lnx＋ex（lnx）′＝exlnx＋

＝ex

.

（2）因为y＝x3＋1＋

，所以y′＝3x2－

.

（3）因为y＝ln

＝

ln

，

所以y′＝

·

·（1＋2x）′＝

.

角度2　抽象函数的导数计算

【例1－2】（2019·天津河西区调研）已知函数f（x）的导函数是f′（x），且满足f（x）＝2xf′

（1）＋ln

，则f

（1）＝（　　）

A.－eB.2C.－2D.e

解析　由已知得f′（x）＝2f′

（1）－

，令x＝1得f′

（1）＝2f′

（1）－1，解得f′

（1）＝1，则f

（1）＝2f′

（1）＝2.

答案　B

规律方法　1.求函数的导数要准确地把函数分割成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.

2.复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.

3.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.

【训练1】

（1）若y＝x－cos

sin

，则y′＝________.

（2）已知f（x）＝x2＋2xf′

（1），则f′（0）＝________.

解析　

（1）因为y＝x－

sinx，

所以y′＝

′＝x′－

′＝1－

cosx.

（2）∵f′（x）＝2x＋2f′

（1），

∴f′

（1）＝2＋2f′

（1），即f′

（1）＝－2.

∴f′（x）＝2x－4，∴f′（0）＝－4.

答案　

（1）1－

cosx　

（2）－4

考点二　导数的几何意义　

多维探究

角度1　求切线方程

【例2－1】（2018·全国Ⅰ卷）设函数f（x）＝x3＋（a－1）x2＋ax.若f（x）为奇函数，则曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程为（　　）

A.y＝－2xB.y＝－x

C.y＝2xD.y＝x

解析　因为函数f（x）＝x3＋（a－1）x2＋ax为奇函数，所以a－1＝0，则a＝1，所以f（x）＝x3＋x，所以f′（x）＝3x2＋1，所以f′（0）＝1，所以曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程为y＝x.

答案　D

角度2　求切点坐标

【例2－2】

（1）（2019·聊城月考）已知曲线y＝

－3lnx的一条切线的斜率为

，则切点的横坐标为（　　）

A.3B.2C.1D.

（2）设曲线y＝ex在点（0，1）处的切线与曲线y＝

（x>0）上点P处的切线垂直，则P的坐标为________.

解析　

（1）设切点的横坐标为x0（x0>0），

∵曲线y＝

－3lnx的一条切线的斜率为

，

∴y′＝

－

，即

－

＝

，

解得x0＝3或x0＝－2（舍去，不符合题意），即切点的横坐标为3.

（2）∵函数y＝ex的导函数为y′＝ex，

∴曲线y＝ex在点（0，1）处的切线的斜率k1＝e0＝1.

设P（x0，y0）（x0>0），∵函数y＝

的导函数为y′＝－

，∴曲线y＝

（x>0）在点P处的切线的斜率k2＝－

，

由题意知k1k2＝－1，即1·

＝－1，解得x

＝1，又x0>0，∴x0＝1.

又∵点P在曲线y＝

（x>0）上，∴y0＝1，故点P的坐标为（1，1）.

答案　

（1）A　

（2）（1，1）

角度3　求参数的值或取值范围

【例2－3】

（1）函数f（x）＝lnx＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是（　　）

A.（－∞，2]B.（－∞，2）

C.（2，＋∞）D.（0，＋∞）

（2）（2019·河南六市联考）已知曲线f（x）＝x＋

＋b（x≠0）在点（1，f

（1））处的切线方程为y＝2x＋5，则a－b＝________.

解析　

（1）由题意知f′（x）＝2在（0，＋∞）上有解.

∴f′（x）＝

＋a＝2在（0，＋∞）上有解，则a＝2－

.

因为x＞0，所以2－

＜2，所以a的取值范围是（－∞，2）.

（2）f′（x）＝1－

，∴f′

（1）＝1－a，

又f

（1）＝1＋a＋b，∴曲线在（1，f

（1））处的切线方程为y－（1＋a＋b）＝（1－a）（x－1），即y＝（1－a）x＋2a＋b，

根据题意有

解得

∴a－b＝－1－7＝－8.

答案　

（1）B　

（2）－8

规律方法　1.求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程是y－f（x0）＝f′（x0）（x－x0）；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解.

2.处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：

①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.

【训练2】

（1）（2019·东莞二调）设函数f（x）＝x3＋ax2，若曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程为x＋y＝0，则点P的坐标为（　　）

A.（0，0）B.（1，－1）

C.（－1，1）D.（1，－1）或（－1，1）

（2）（2018·全国Ⅱ卷）曲线y＝2ln（x＋1）在点（0，0）处的切线方程为________________.

解析　

（1）由f（x）＝x3＋ax2，得f′（x）＝3x2＋2ax.

根据题意可得f′（x0）＝－1，f（x0）＝－x0，

可列方程组

解得

或

当x0＝1时，f（x0）＝－1，

当x0＝－1时，f（x0）＝1.

∴点P的坐标为（1，－1）或（－1，1）.

（2）由题意得y′＝

.在点（0，0）处切线斜率k＝y′|x＝0＝2.∴曲线y＝2ln（x＋1）在点（0，0）处的切线方程为y－0＝2（x－0），即y＝2x.

答案　

（1）D　

（2）y＝2x

[思维升华]

1.对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则.求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误.对于复合函数求导，关键在于分清复合关系，适当选取中间变量，然后“由外及内”逐层求导.