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1、版 数学 高考冲刺总复习一元函数的导数及其应用第三章 第1节人教A版新高考 第1节导数的概念及运算考试要求1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想；2.体会极限思想；3.通过函数图象直观理解导数的几何意义；4.能根据导数定义求函数yc，yx，yx2，yx3，y，y的导数；5.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数(限于形如f(axb)的导数；6.会使用导数公式表.知 识 梳 理1.函数yf(x)在xx0处的导数(1)定义：称函数yf(x)在xx

2、0处的瞬时变化率 为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx0，即f(x0).(2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点(x0，f(x0)处的切线的斜率.相应地，切线方程为yy0f(x0)(xx0).2.函数yf(x)的导函数如果函数yf(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，函数f(x)lim 称为函数yf(x)在开区间内的导函数.3.导数公式表基本初等函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)x(Q*)f(x)x1f(x)sin xf(x)cos xf(x)cos xf(x)si

3、n xf(x)exf(x)exf(x)ax(a0)f(x)axln af(x)ln xf(x)f(x)logax (a0，a1)f(x)4.导数的运算法则若f(x)，g(x)存在，则有：(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0).5.复合函数的导数复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux.微点提醒1.f(x0)代表函数f(x)在xx0处的导数值；(f(x0)是函数值f(x0)的导数，且(f(x0)0.2.3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有

4、一个公共点.4.函数yf(x)的导数f(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f(x)|反映了变化的快慢，|f(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)f(x0)是函数yf(x)在xx0附近的平均变化率.()(2)函数f(x)sin(x)的导数f(x)cos x.()(3)求f(x0)时，可先求f(x0)，再求f(x0).()(4)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.()解析(1)f(x0)表示yf(x)在xx0处的瞬时变化率，(1)错.(2)f(x)sin(x)sin x，则f(x)cos x

5、，(2)错.(3)求f(x0)时，应先求f(x)，再代入求值，(3)错.答案(1)(2)(3)(4)2.(选修22P19B2改编)曲线yx311在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()A.9 B.3 C.9 D.15解析因为yx311，所以y3x2，所以y|x13，所以曲线yx311在点P(1，12)处的切线方程为y123(x1).令x0，得y9.答案C3.(选修22P3例题改编)在高台跳水运动中，t s时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h(t)4.9t26.5t10，则运动员的速度v_ m/s，加速度a_ m/s2.解析vh(t)9.8t6.5，av(t)9.8.答案9.8t6

6、.59.84.(2019青岛质检)已知函数f(x)x(2 018ln x)，若f(x0)2 019，则x0等于()A.e2 B.1 C.ln 2 D.e解析f(x)2 018ln xx2 019ln x.由f(x0)2 019，得2 019ln x02 019，则ln x00，解得x01.答案B5.(2018天津卷)已知函数f(x)exln x，f(x)为f(x)的导函数，则f(1)的值为_.解析由题意得f(x)exln xex，则f(1)e.答案e6.(2017全国卷)曲线yx2在点(1，2)处的切线方程为_.解析设yf(x)，则f(x)2x，所以f(1)211，所以在(1，2)处的切线方程

7、为y21(x1)，即yx1.答案yx1考点一导数的运算多维探究角度1根据求导法则求函数的导数【例11】 分别求下列函数的导数：(1)yexln x；(2)yx；(3)f(x)ln .解(1)y(ex)ln xex(ln x)exln xex.(2)因为yx31，所以y3x2.(3)因为yln ln，所以y(12x).角度2抽象函数的导数计算【例12】 (2019天津河西区调研)已知函数f(x)的导函数是f(x)，且满足f(x)2xf(1)ln ，则f(1)()A.e B.2 C.2 D.e解析由已知得f(x)2f(1)，令x1得f(1)2f(1)1，解得f(1)1，则f(1)2f(1)2.答案

8、B规律方法1.求函数的导数要准确地把函数分割成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.2.复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.3.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.【训练1】 (1)若yxcos sin ，则y_.(2)已知f(x)x22xf(1)，则f(0)_.解析(1)因为yxsin x，所以yx1cos x.(2)f(x)2x2f(1)，f(1)22f(1)，即f(1)2.f(x)2x4，f(0)4.答案(1)1cos x(2)4考点二导数的几何意义多维探究角度1求切线方程【例21】 (2018全国卷)设函数f(x)x3(a1)x2ax.若f(

9、x)为奇函数，则曲线yf(x)在点(0，0)处的切线方程为()A.y2x B.yxC.y2x D.yx解析因为函数f(x)x3(a1)x2ax为奇函数，所以a10，则a1，所以f(x)x3x，所以f(x)3x21，所以f(0)1，所以曲线yf(x)在点(0，0)处的切线方程为yx.答案D角度2求切点坐标【例22】 (1)(2019聊城月考)已知曲线y3ln x的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为()A.3 B.2 C.1 D.(2)设曲线yex在点(0，1)处的切线与曲线y(x0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为_.解析(1)设切点的横坐标为x0(x00)，曲线y3ln x的一条切线的斜率为，

10、y，即，解得x03或x02(舍去，不符合题意)，即切点的横坐标为3.(2)函数yex的导函数为yex，曲线yex在点(0，1)处的切线的斜率k1e01.设P(x0，y0)(x00)，函数y的导函数为y，曲线y(x0)在点P处的切线的斜率k2，由题意知k1k21，即11，解得x1，又x00，x01.又点P在曲线y(x0)上，y01，故点P的坐标为(1，1).答案(1)A(2)(1，1)角度3求参数的值或取值范围【例23】 (1)函数f(x)ln xax的图象存在与直线2xy0平行的切线，则实数a的取值范围是()A.(，2 B.(，2) C.(2，) D.(0，)(2)(2019河南六市联考)已知

11、曲线f(x)xb(x0)在点(1，f(1)处的切线方程为y2x5，则ab_.解析(1)由题意知f(x)2在(0，)上有解.f(x)a2在(0，)上有解，则a2.因为x0，所以22，所以a的取值范围是(，2).(2)f(x)1，f(1)1a，又f(1)1ab，曲线在(1，f(1)处的切线方程为y(1ab)(1a)(x1)，即y(1a)x2ab，根据题意有解得ab178.答案(1)B(2)8规律方法1.求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线方程是yf(x0)f(x0)(xx0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在

12、切线上求解.2.处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：切点处的导数是切线的斜率；切点在切线上；切点在曲线上.【训练2】 (1)(2019东莞二调)设函数f(x)x3ax2，若曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线方程为xy0，则点P的坐标为()A.(0，0) B.(1，1)C.(1，1) D.(1，1)或(1，1)(2)(2018全国卷)曲线y2ln(x1)在点(0，0)处的切线方程为_.解析(1)由f(x)x3ax2，得f(x)3x22ax.根据题意可得f(x0)1，f(x0)x0，可列方程组解得或当x01时，f(x0)1，当x01时，f(x0)1.点P的坐标为(1，1)或(1，1).(2)由题意得y.在点(0，0)处切线斜率ky|x02.曲线y2ln(x1)在点(0，0)处的切线方程为y02(x0)，即y2x.答案(1)D(2)y2x思维升华1.对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则.求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误.对于复合函数求导，关键在于分清复合关系，适当选取中间变量，然后“由外及内”逐层求导.