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2009年中考数学复习教材回归知识讲解+例题解析+强化训练
方差与频率分布
◆知识讲解
1．方差的定义
在一组数据x1，x2，…，xn中，各数据与它们的平均数
的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．通常用“S2”表示，即S2=
[（x1－
）2+（x2－
）2+…+（xn－
）2]．
2．方差的计算
（1）基本公式
S2=
[（x1－
）2+（x2－
）2+…+（xn－
）2]
（2）简化计算公式（Ⅰ）
S2=
[（x12+x22+…+xn2）－n
2]，也可写成S2=
（x12+x22+…+xn2）－
2，此公式的记忆方法是：
方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方．
（3）简化计算公式（Ⅱ）
S2=
[（x`12+x`22+…+x`n2）－nx
`2]．
当一组数据中的数据较大时，可以依照简化平均数的计算方法，将每个数据同时减去一个与它们的平均数接近的常数a，得到一组数据x`1=x1－a，x`2=x2－a，…x`n=xn－a，那么S2=
[（x`12+x`22+…+x`n2）－n
`2]，也可写成S2=
（x`12+x`22+…+x`n2）－
`2．记忆方法是：
方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方．
3．标准差的定义和计算
方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用“S”表示，即
S=
=
4．方差和标准差的意义
方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小，我们所研究的权是这两组数据的个数相等、平均数相等或比较接近时的情况．
方差较大的数据波动较大，方差较小的数据波动较小．
5．频率分布的意义
前面学习的平均数与方差，反映了样本和总体的两个特征：
平均水平和波动大小．但是在许多问题中，只知道这些还不够，还需要知道样本中数据在各个小范围所占的比例的大小，这就需要研究如何对一组数据进行整理，以便得到它的频率分布．
6．研究频率分布的一般步骤及有关概念
（1）研究样本的频率分布的一般步骤：
①计算极差（最大值与最小值的差）；②决定组距与组数；③决定分点；④列频率分布表；⑤画出频率分布直方图．
（2）频率分布的有关概念：
①极差：
最大值与最小值的差；
②频数：
落在各个小组内的数据的个数；
③频率：
每一小组的频数与数据总体（样本容量n）的比值叫做这一小组的频率．
（3）几个重要的结论：
①各小组的频数之和等于数据总数；
②各小组的频率之和等于1；
③频率分布直方图中，各小长方形的面积等于相应各组的频率，各小长方形面积之和等于1；
④各小长方形的高与该组频数成正比．
◆例题解析
例1甲、乙两个学习小组各4名学生的数学测验成绩如下（单位：
分）
甲组：
86828785乙组：
85818589
（1）分别计算这两组数据的平均数；
（2）分别计算这两组数据的方差；
（3）哪个学习小组学生的成绩比较整齐？
【分析】应用平均数计算公式和方差的计算公式求平均数和方差．
【解答】
（1）
甲=
（6+2+7+5）+80=85，
乙=
（5+1+5+9）+80=85．
（2）S甲2=
[（86－85）2+（82－85）2+（87－85）2+（85－85）2]=3.5，S乙2
=
[（85－85）2+（81－85）2+（85－85）2+（89－85）2]=8．
（3）∵S乙2>S甲2，∴甲组学习成绩较稳定．
【点评】方差是反映一组数据波动大小的量．
例2为了迎接全市体育中考，某中学对全校初三男生进行了立定跳远项目测试，并从参加测试的500名男生中随机抽取了部分男生的测试成绩（单位：
m，精确到0.01m）作为样本进行分析，绘制了如图所示的频率分布直方图（每组含最低值，不含最高值）．已知图中从左到右每个小长方形的高比依次为2：
4：
6：
5：
3，其中1.80～2.00这一小组的频数为8，请根据有关信息解答下列问题：
（1）这次调查的样本容量为______，2.40～2.60这一小组的频率为_____．
（2）请指出样本成绩的中位数落在哪一小组内，并说明理由；
（3）样本中男生立定跳远的人均成绩不低于多少米？
（4）请估计该校初三男生立定跳远成绩在2.00m以上（包括2.00m）的约有多少人？
【分析】样本容量是样本数据，不带单位，确定中位数时，首先将样本数据按大小排序后再求出，然后分析落在哪个小组．
【解答】
（1）由于1.80～2.00小组的频数为8，占总份数中的4份，总份数是20分，故样本容量为：
8÷
=40．2.40～2.60这个小组的频率为3÷20=0.15．
（2）由于样本容量是40，则中位数是第20人和第21人成绩的平均数，而第20人和第21人的成绩均在2.00～2.20这个小组，则中位数落在2.00～2.20这个小组．
（3）因为第一组到第五组人数依次为4人，8人，12人，10人，6人，则可求得样本中男生立定跳远的人均成绩不低于2.03m．
（4）初中男生立定跳远成绩在2.00m以上的约有
×500=350（人）．
【点评】频率分布直方图中各小组频率之和为1，掌握它是解题的关键．
◆强化训练
一、填空题
1．（2005，荆门市）已知数据：
1，2，1，0，－1，－2，0，－1，这组数据的方差为______．
2．（2005，宜昌市）甲、乙、丙三台包装机同时分装质量为400g的茶叶，从它们各自分装的茶叶中分别随机抽取了10盒，得到它们的实际质量的方差如下表所示．根据表中数据，可以认为三台包装机中，______包装机包装的茶叶质量稳定．
甲包装机
乙包装机
丙包装机
方差/g2
31.96
7.96
16.32
3．2005年沈阳市春季房交会期间，某公司对参加本次房交会的消费者进行了随机的问卷调查，共发放1000份调查问卷，并全部收回．根据调查问卷，将消费者年收入情况整理后，制成表1；将消费者打算购买住房的面积的情况整理后，制成表2，并作出部分频率分布直方图（如图）．
表1被调查的消费者年收入情况
年收入/万元
1.2
1.8
3.0
5.0
10.0
被调查的消费者数/人
200
500
200
70
30
表2被调查的消费者打算购买住房的面积的情况
分组/m2
频数
频率
40.5~60.5
0.04
60.5~80.5
0.12
80.5~100.5
0.36
100.5~120.5
120.5~140.5
0.20
140.5~160.5
0.04
合计
1000
1.00
注：
住房面积取整数
请你根据以上信息，回答下列问题：
（1）根据表1可得，被调查的消费者平均年收入为______万元；被调查的消费者年收入的中位数是______万元；在平均数，中位数这两个数中，更能反映出被调查的消费者年收入的一般水平；
（2）根据表2可得，打算购买100.5～120.5m2房子的人数是_____人；打算购买住房面积不超过100m2的消费者的人数占被调查人数的百分数是____；
（3）在下图中补全这个频率分布直方图．
4．青少年视力水平的下降已经引起全社会的关注，某校为了了解初中毕业年级500名学生的视力情况，从中抽查了一部分学生视力，通过数据处理，得到如下频率分布表和频率分布直方图．
分组
频数
频率
3.95~4.25
2
0.04
4.25~4.55
6
0.12
4.55~4.85
25
4.85~5.15
0.04
5.15~5.45
2
1.00
合计
请你根据给出的图表回答：
（1）填写频率分布表中未完成部分的数据．
（2）在这个问题中，总体是________，样本容量是________．
（3）在频率分布直方图中，梯形ABCD的面积是______．
（4）请你用样本估计总体，可以得到哪些信息（写一条即可）：
________．
5．甲，乙两种产品进行对比试验，得知乙产品比甲产品的性能更稳定，如果甲，乙两种产品抽样数据的方差分别是S甲2与S乙2，则它们的方差的大小关系是_______．
6．已知：
一组数据－1，x，1，2，0的平均数是0，这组数据的方差是_____．
7．若样本数据1，2，3，2的平均数是a，中位数是b，众数是c，则数据a，b，c的标准差是_______．
8．若已知一组数据：
x1，x2，…，xn的平均数为x，方差为S2，那么另一组数据：
3x1－2，3x2－2，…，3xn－2的平均数为______，方差为______．
二、选择题
9．在一次射击练习中，甲，乙两人前5次射击的成绩分别为（单位：
环）
甲：
10810107乙：
7109910
则这次练习中，甲，乙两人方差的大小是（）
A．S甲2>S乙2B．S甲210．已知甲，乙两组数据的平均数相等，若甲组数据的方差S甲2=0.055，乙组数据的方差S乙2=0.105，则（）
A．甲组数据比乙组数据波动大B．乙组数据比甲组数据波动大
C．甲组数据与乙组数据的波动一样大D．甲，乙两组数据的波动大小不能比较
11．（2005，宜昌市）衡量样本和总体的波动大小的特征数是（）
A．平均数B．众数C．标准差D．中位数
12．某少年军校准备从甲，乙，丙三位同学中选拔一人参加全市射击比赛，他们在选拔比赛中，射靶十次的平均环数是
甲=
乙=
丙=8.3，方差分别是S甲2=1.5，S乙2=2.8，S丙2=3.2．那么，根据以上提供的信息，你认为应该推荐参加全市射击比赛的同学是（）
A．甲B．乙C．丙D．不能确定
13．（2005，广州市）甲，乙两人在相同情况下，各射靶10次，两人命中环数的平均数是
甲=
乙=7，方差S甲2=1.0，S乙2=1.2，则射击成绩较稳定的是（）
A．甲B．乙C．一样D．不能确定
14．为参加电脑汉字输入比赛，甲和乙两位同学进行了6次测试，成绩如表所示：
甲和乙两位同学6次测试成绩（每分钟输入汉字个数）及部分统计数据表
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
第6次
平均数
方差
甲
134
137
136
136
137
136
136
1.0
乙
135
136
136
137
136
136
136
有四位同学在进一步算得乙测试成绩的方差后分别作出了以下判断，其中说法正确的是（）
A．甲的方差大于乙的方差，所以甲的成绩比较稳定
B．甲的方差小于乙的方差，所以甲的成绩比较稳定
C．乙的方差小于甲的方差，所以乙的成绩比较稳定
D．乙的方差大于甲的方差，所以乙的成绩比较稳定
15．在一次科技知识竞赛中，两组学生成绩统计如下表，通过计算可知两组的方差为S甲2=172，S乙2=256．下列说法：
①两组的平均数相同；②甲组学生成绩比乙组学生成绩稳定；③甲组成绩的众数>乙组成绩的众数；④两组成绩的中位数均为80，但成绩≥80的人数甲组比乙组多，从中位数来看，甲组成绩总体比乙组好；⑤成绩高于或等于90分的人数乙组比甲组多，高分段乙组成绩比甲组好．其中正确的共有（）
分数
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