方差与频率分布中考数学复习知识讲解+例题解析+强化训练.docx

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方差与频率分布中考数学复习知识讲解+例题解析+强化训练

2009年中考数学复习教材回归知识讲解+例题解析+强化训练

方差与频率分布

◆知识讲解

1．方差的定义

在一组数据x1，x2，…，xn中，各数据与它们的平均数

的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．通常用“S2”表示，即S2=

[（x1－

）2+（x2－

）2+…+（xn－

）2]．

2．方差的计算

（1）基本公式

S2=

[（x1－

）2+（x2－

）2+…+（xn－

）2]

（2）简化计算公式（Ⅰ）

S2=

[（x12+x22+…+xn2）－n

2]，也可写成S2=

（x12+x22+…+xn2）－

2，此公式的记忆方法是：

方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方．

（3）简化计算公式（Ⅱ）

S2=

[（x`12+x`22+…+x`n2）－nx

`2]．

当一组数据中的数据较大时，可以依照简化平均数的计算方法，将每个数据同时减去一个与它们的平均数接近的常数a，得到一组数据x`1=x1－a，x`2=x2－a，…x`n=xn－a，那么S2=

[（x`12+x`22+…+x`n2）－n

`2]，也可写成S2=

（x`12+x`22+…+x`n2）－

`2．记忆方法是：

方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方．

3．标准差的定义和计算

方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用“S”表示，即

S=

=

4．方差和标准差的意义

方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小，我们所研究的权是这两组数据的个数相等、平均数相等或比较接近时的情况．

方差较大的数据波动较大，方差较小的数据波动较小．

5．频率分布的意义

前面学习的平均数与方差，反映了样本和总体的两个特征：

平均水平和波动大小．但是在许多问题中，只知道这些还不够，还需要知道样本中数据在各个小范围所占的比例的大小，这就需要研究如何对一组数据进行整理，以便得到它的频率分布．

6．研究频率分布的一般步骤及有关概念

（1）研究样本的频率分布的一般步骤：

①计算极差（最大值与最小值的差）；②决定组距与组数；③决定分点；④列频率分布表；⑤画出频率分布直方图．

（2）频率分布的有关概念：

①极差：

最大值与最小值的差；

②频数：

落在各个小组内的数据的个数；

③频率：

每一小组的频数与数据总体（样本容量n）的比值叫做这一小组的频率．

（3）几个重要的结论：

①各小组的频数之和等于数据总数；

②各小组的频率之和等于1；

③频率分布直方图中，各小长方形的面积等于相应各组的频率，各小长方形面积之和等于1；

④各小长方形的高与该组频数成正比．

◆例题解析

例1甲、乙两个学习小组各4名学生的数学测验成绩如下（单位：

分）

甲组：

86828785乙组：

85818589

（1）分别计算这两组数据的平均数；

（2）分别计算这两组数据的方差；

（3）哪个学习小组学生的成绩比较整齐？

【分析】应用平均数计算公式和方差的计算公式求平均数和方差．

【解答】

（1）

甲=

（6+2+7+5）+80=85，

乙=

（5+1+5+9）+80=85．

（2）S甲2=

[（86－85）2+（82－85）2+（87－85）2+（85－85）2]=3.5，S乙2

=

[（85－85）2+（81－85）2+（85－85）2+（89－85）2]=8．

（3）∵S乙2>S甲2，∴甲组学习成绩较稳定．

【点评】方差是反映一组数据波动大小的量．

例2为了迎接全市体育中考，某中学对全校初三男生进行了立定跳远项目测试，并从参加测试的500名男生中随机抽取了部分男生的测试成绩（单位：

m，精确到0.01m）作为样本进行分析，绘制了如图所示的频率分布直方图（每组含最低值，不含最高值）．已知图中从左到右每个小长方形的高比依次为2：

4：

6：

5：

3，其中1.80～2.00这一小组的频数为8，请根据有关信息解答下列问题：

（1）这次调查的样本容量为______，2.40～2.60这一小组的频率为_____．

（2）请指出样本成绩的中位数落在哪一小组内，并说明理由；

（3）样本中男生立定跳远的人均成绩不低于多少米？

（4）请估计该校初三男生立定跳远成绩在2.00m以上（包括2.00m）的约有多少人？

【分析】样本容量是样本数据，不带单位，确定中位数时，首先将样本数据按大小排序后再求出，然后分析落在哪个小组．

【解答】

（1）由于1.80～2.00小组的频数为8，占总份数中的4份，总份数是20分，故样本容量为：

8÷

=40．2.40～2.60这个小组的频率为3÷20=0.15．

（2）由于样本容量是40，则中位数是第20人和第21人成绩的平均数，而第20人和第21人的成绩均在2.00～2.20这个小组，则中位数落在2.00～2.20这个小组．

（3）因为第一组到第五组人数依次为4人，8人，12人，10人，6人，则可求得样本中男生立定跳远的人均成绩不低于2.03m．

（4）初中男生立定跳远成绩在2.00m以上的约有

×500=350（人）．

【点评】频率分布直方图中各小组频率之和为1，掌握它是解题的关键．

◆强化训练

一、填空题

1．（2005，荆门市）已知数据：

1，2，1，0，－1，－2，0，－1，这组数据的方差为______．

2．（2005，宜昌市）甲、乙、丙三台包装机同时分装质量为400g的茶叶，从它们各自分装的茶叶中分别随机抽取了10盒，得到它们的实际质量的方差如下表所示．根据表中数据，可以认为三台包装机中，______包装机包装的茶叶质量稳定．

甲包装机

乙包装机

丙包装机

方差/g2

31.96

7.96

16.32

3．2005年沈阳市春季房交会期间，某公司对参加本次房交会的消费者进行了随机的问卷调查，共发放1000份调查问卷，并全部收回．根据调查问卷，将消费者年收入情况整理后，制成表1；将消费者打算购买住房的面积的情况整理后，制成表2，并作出部分频率分布直方图（如图）．

表1被调查的消费者年收入情况

年收入/万元

1.2

1.8

3.0

5.0

10.0

被调查的消费者数/人

200

500

200

70

30

表2被调查的消费者打算购买住房的面积的情况

分组/m2

频数

频率

40.5~60.5

0.04

60.5~80.5

0.12

80.5~100.5

0.36

100.5~120.5

120.5~140.5

0.20

140.5~160.5

0.04

合计

1000

1.00

注：

住房面积取整数

请你根据以上信息，回答下列问题：

（1）根据表1可得，被调查的消费者平均年收入为______万元；被调查的消费者年收入的中位数是______万元；在平均数，中位数这两个数中，更能反映出被调查的消费者年收入的一般水平；

（2）根据表2可得，打算购买100.5～120.5m2房子的人数是_____人；打算购买住房面积不超过100m2的消费者的人数占被调查人数的百分数是____；

（3）在下图中补全这个频率分布直方图．

4．青少年视力水平的下降已经引起全社会的关注，某校为了了解初中毕业年级500名学生的视力情况，从中抽查了一部分学生视力，通过数据处理，得到如下频率分布表和频率分布直方图．

分组

频数

频率

3.95~4.25

2

0.04

4.25~4.55

6

0.12

4.55~4.85

25

4.85~5.15

0.04

5.15~5.45

2

1.00

合计

请你根据给出的图表回答：

（1）填写频率分布表中未完成部分的数据．

（2）在这个问题中，总体是________，样本容量是________．

（3）在频率分布直方图中，梯形ABCD的面积是______．

（4）请你用样本估计总体，可以得到哪些信息（写一条即可）：

________．

5．甲，乙两种产品进行对比试验，得知乙产品比甲产品的性能更稳定，如果甲，乙两种产品抽样数据的方差分别是S甲2与S乙2，则它们的方差的大小关系是_______．

6．已知：

一组数据－1，x，1，2，0的平均数是0，这组数据的方差是_____．

7．若样本数据1，2，3，2的平均数是a，中位数是b，众数是c，则数据a，b，c的标准差是_______．

8．若已知一组数据：

x1，x2，…，xn的平均数为x，方差为S2，那么另一组数据：

3x1－2，3x2－2，…，3xn－2的平均数为______，方差为______．

二、选择题

9．在一次射击练习中，甲，乙两人前5次射击的成绩分别为（单位：

环）

甲：

10810107乙：

7109910

则这次练习中，甲，乙两人方差的大小是（）

A．S甲2>S乙2B．S甲2

10．已知甲，乙两组数据的平均数相等，若甲组数据的方差S甲2=0.055，乙组数据的方差S乙2=0.105，则（）

A．甲组数据比乙组数据波动大B．乙组数据比甲组数据波动大

C．甲组数据与乙组数据的波动一样大D．甲，乙两组数据的波动大小不能比较

11．（2005，宜昌市）衡量样本和总体的波动大小的特征数是（）

A．平均数B．众数C．标准差D．中位数

12．某少年军校准备从甲，乙，丙三位同学中选拔一人参加全市射击比赛，他们在选拔比赛中，射靶十次的平均环数是

甲=

乙=

丙=8.3，方差分别是S甲2=1.5，S乙2=2.8，S丙2=3.2．那么，根据以上提供的信息，你认为应该推荐参加全市射击比赛的同学是（）

A．甲B．乙C．丙D．不能确定

13．（2005，广州市）甲，乙两人在相同情况下，各射靶10次，两人命中环数的平均数是

甲=

乙=7，方差S甲2=1.0，S乙2=1.2，则射击成绩较稳定的是（）

A．甲B．乙C．一样D．不能确定

14．为参加电脑汉字输入比赛，甲和乙两位同学进行了6次测试，成绩如表所示：

甲和乙两位同学6次测试成绩（每分钟输入汉字个数）及部分统计数据表

第1次

第2次

第3次

第4次

第5次

第6次

平均数

方差

甲

134

137

136

136

137

136

136

1.0

乙

135

136

136

137

136

136

136

有四位同学在进一步算得乙测试成绩的方差后分别作出了以下判断，其中说法正确的是（）

A．甲的方差大于乙的方差，所以甲的成绩比较稳定

B．甲的方差小于乙的方差，所以甲的成绩比较稳定

C．乙的方差小于甲的方差，所以乙的成绩比较稳定

D．乙的方差大于甲的方差，所以乙的成绩比较稳定

15．在一次科技知识竞赛中，两组学生成绩统计如下表，通过计算可知两组的方差为S甲2=172，S乙2=256．下列说法：

①两组的平均数相同；②甲组学生成绩比乙组学生成绩稳定；③甲组成绩的众数>乙组成绩的众数；④两组成绩的中位数均为80，但成绩≥80的人数甲组比乙组多，从中位数来看，甲组成绩总体比乙组好；⑤成绩高于或等于90分的人数乙组比甲组多，高分段乙组成绩比甲组好．其中正确的共有（）

分数

50

60

70

80

90

100

人

数

甲组

2

5

10

13

14

6

乙组

4

4

16

2

12

12

A．2种B．3种C．4种D．5种

16．（2005，盐城市）如果将一组数据中的每一个数据都加上同一个非零常数，那么这组数据的（）

A．平均数和方差都不变B．平均数不变，方差改变

C．平均数改变，方差不变D．平均和方差都改变

三、解答题

17．某校初三

（1）班，三

（2）班各有49名学生，两班一次数学测验中的成绩统计如下表：

班级

平均分

众数

中位数

标准差

初三

（1）班

79

70

87

19.8

初三

（2）班

79

70

79

5.2

（1）请你对下面的一段话给予简要分析：

初三

（1）班的小刚回家对妈妈说：

“昨天的数学测验，全班平均79分，得70分的人最多，我得了85分，在班上可算上游！

”

（2）请你根据表中数据，对这两个班的测验情况进行简要分析，并提出教学建议．

18．武汉市教育局在中学开展的“创新素质实践行”中，进行了小论文的评比．各校交论文的时间为5月1日至30日，评委会把各校交的论文的件数按5天一组分组统计，绘制了频率分布直方图，已知从左到右各长方形的高的比为2：

3：

4：

6：

4：

1，第二组的频数为18．请回答下列问题：

（1）本次活动共有多少篇论文参加评比？

（2）哪组上交的论文数量最多？

有多少篇？

（3）经过评比，第四组和第六组分别有20篇，4篇论文获奖，问这两组哪组获奖率较高？

19．（2008，金华）九（3）班学生参加学校组织的“绿色奥运”知识竞赛活动，老师将对学生的成绩按10分的组距分段，统计每个分数段出现的频数，填入频数分布表，并绘制频数的分布直方图．

九（3）班“绿色奥运”知识竞赛成绩频数分布表

分数段/分

49.5~59.5

59.5~69.5

69.5~79.5

79.5~89.5

89.5~99.5

组中值/分

54.5

64.5

74.5

84.5

94.5

频数

a

9

10

14

5

频率

0.050

0.225

0.250

0.350

b

（1）频数分布表中a=_____，b=___；

（2）把频数分布直方图补充完整；

（3）学校设定成绩在69．5分以上的学生将获得一等奖或二等奖，一等奖奖励作业本15本及奖金50元，二等奖奖励作业本10本及奖金30元．已知这部分学生共获得作业本335本，请你求出他们共获得的奖金．

九（3）班“绿色奥运”知识竞赛成绩频数分布直方图

20．甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图6－28所示．

（1）请填写下表：

平均数

方差

中位数

命中8环以上次数

甲

7

1.2

1

乙

5.4

（2）请从下列四个不同的角度对这次测试结果进行分析．

①从平均数和方差相结合看；

②从平均数和中位数相结合看（分析谁的成绩好些）；

③从平均数和命中9环以上的次数相结合看（分析谁的成绩好些）；

④从折线图上两人射击命中环数的走势看（分析谁更有潜力）．

21．在“3．15”消费者权益日的活动中，对甲、乙两家商场售后服务的满意度进行了抽查．如图反映了被抽查用户对两家商场售后服务的满意程度（以下称：

用户满意度），分为很不满意，不满意，较满意，很满意四个等级，并依次为1分，2分，3分，4分．

（1）请问：

甲商场的用户满意度分数的众数为_____分；乙商品的用户满意度分数的众数为_______分．

（2）分别求出甲、乙两商场的用户满意度分数的平均分．（精确到0.01）

（3）请你根据所学统计知识，判断哪家商场的用户满意度较高，并简要说明理由．

参考答案

1．

2．乙

3．

（1）2.39；1.8；中位数

（2）240；52%（3）略

4．

（1）第二列从上至下两空分别填15，50；第三列从上至下两空分别填0.5，0.3

（2）500名学生的视力情况；50（3）0.8（4）该校初中毕业年级学生视力在4.55～4.85的人数最多，约250人；或该校初中毕业年级学生视力在5.15以上的与视力在4.25以下的人数基本相等，各有20人左右

5．S乙2

－29S2

9．A10．B11．C12．A13．A14．C15．D16．C

17．

（1）从平均数，众数和中位数角度分析；

（2）平均分，众数均相同，但三

（1）班的成绩中位数高，表示三

（1）班成绩比三

（2）班好，但三

（2）班标准差比三

（1）班小，表示三

（2）班学生成绩较整齐．

18．

（1）本次活动共有120篇文章参评

（2）第四组上交的论文数量最多，有36篇

（3）第六组获奖率最高．

19．

（1）20.125

（2）图略

（3）由题中表得，有29名同学获得一等奖或二等奖．

设有x名同学获得一等奖，则有（29－x）名同学获得二等奖，根据题意得

15x+10（29－x）=335．

解得x=9．

∴50x+30（29－x）=1050，

所以他们得到的奖金是1050元．

20．

（1）如下表：

平均数

方差

中位数

命中8环以上次数

甲

7

1.2

7

1

乙

7

5.4

7.5

3

（2）①∵平均数相同，S甲2

∴甲成绩比乙稳定．

②∵平均数相同，甲的中位数<乙的中位数．

∴乙的成绩比甲好些．

③∵平均数相同，命中9环以上的次数甲比乙少．

∴乙的成绩比甲好些．

④甲成绩在平均数上下波动，而乙处于上升势头，从第4次以后就没有比甲少的情况发生，乙较有潜力．

21．

（1）33

（2）甲商场抽查用户数为：

500+1000+2000+1000=4500（户），

乙商场抽查用户数为：

100+900+2200+1300=4500（户）．

所以甲商场满意度分数的平均值

=

≈2.78（分）．

乙商场满意度分数的平均值

=

≈3.04（分）

答：

甲，乙两商场用户满意度分数的平均值分别为2.78分，3.04分．

（3）因为乙商场用户满意度分数的平均值较高（或较满意和很满意的人数较多），所以乙商场的用户满意度较多．