1920 第2章 21 211 平面.docx

1920 第2章 21 211 平面.docx

《1920 第2章 21 211 平面.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《1920 第2章 21 211 平面.docx（13页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

1920第2章21211平面

2.1　空间点、直线、平面之间的位置关系

2.1.1　平面

学习目标

核心素养

1.了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法．（难点）

2．能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系．（重点）

3．能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解三个公理的地位与作用．（难点、易错点）

1.通过对平面有关概念的学习，培养直观想象的数学素养．

2．通过平面基本性质的应用，培养逻辑推理、直观想象的数学素养.

1．平面的概念

几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的．几何里的平面是无限延展的．

思考：

一个平面能否把空间分成两部分？

[提示]　因为平面是无限延展的，一个平面把空间分成两部分．

2．平面的画法

（1）水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍．如图①.

（2）如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来．如图②.

①　　　　　　　②

3．平面的表示法

上图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD．

4．平面的基本性质

公理

内容

图形

符号

公理1

如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内

A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α

公理2

过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面

A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α

公理3

如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

P∈α，P∈β⇒α∩β＝l且P∈l

思考：

经过空间任意三点能确定一个平面吗？

[提示]　不一定，只有经过空间不共线的三点才能确定一个平面．

1．用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”，正确的是（　　）

A．A∈l，l

αB．A∈l，l⊄α

C．A⊂l，l⊄αD．A⊂l，l

α

[答案]　B

2．如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面不能记为（　　）

A．平面MNB．平面NQP

C．平面αD．平面MNPQ

A　[表示平面不能用一条线段的两个端点表示，但可以表示为平面MP，选A.]

3．任意三点可确定平面的个数是（　　）

A．0B．1C．2　　　D．1或无数个

D　[当这三点共线时，可确定无数个平面；当这三点不共线时，可确定一个平面．]

立体几何三种语言的相互转化

【例1】　用符号表示下列语句，并画出图形．

（1）平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B；

（2）点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上．

[解]　

（1）用符号表示：

α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图．

（2）用符号表示：

A∈α，B∈α，a∩α＝C，C

AB，如图．

三种语言的转换方法：

（1）用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．

（2）要注意符号语言的意义.如点与直线的位置关系只能用“∈”或“

”，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”．

（3）由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．

1．用符号语言表示下列语句，并画出图形：

（1）三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β相交于PA，平面α与平面γ相交于PB，平面β与平面γ相交于PC；

（2）平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC.

[解]　

（1）符号语言表示：

α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC，图形表示：

如图①.

（2）符号语言表示：

平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC，图形表示：

如图②.

点线共面问题

【例2】　如图，已知：

a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：

PQ⊂α.

[证明]　∵PQ∥a，∴PQ与a确定一个平面β.

∴直线a⊂β，点P∈β.

∵P∈b，b⊂α，∴P∈α.

又∵a⊂α，∴α与β重合．∴PQ⊂α.

解决点线共面问题的基本方法：

2．求证：

两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内．

[解]　已知：

AB∩AC＝A，AB∩BC＝B，AC∩BC＝C.

求证：

直线AB，BC，AC共面．

证明：

法一：

因为AC∩AB＝A，所以直线AB，AC可确定一个平面α.

因为B∈AB，C∈AC，所以B∈α，C∈α，故BC⊂α.

因此直线AB，BC，AC都在平面α内，

所以直线AB，BC，AC共面．

法二：

因为A不在直线BC上，

所以点A和直线BC可确定一个平面α.

因为B∈BC，所以B∈α，又A∈α，所以AB⊂α.同理AC⊂α，故直线AB，BC，AC共面．

法三：

因为A，B，C三点不在同一条直线上，

所以A，B，C三点可以确定一个平面α.

因为A∈α，B∈α，所以AB⊂α，

同理BC⊂α，AC⊂α，

故直线AB，BC，AC共面．

点共线、线共点问题

[探究问题]

1．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，设A1C∩平面ABC1D1＝E.能否判断点E在平面A1BCD1内？

[提示]　如图，连接BD1，

∵A1C∩平面ABC1D1＝E，

∴E∈A1C，E∈平面ABC1D1.

∵A1C⊂平面A1BCD1，

∴E∈平面A1BCD1.

2．上述问题中，你能证明B，E，D1三点共线吗？

[提示]　由于平面A1BCD1与平面ABC1D1交于直线BD1，又E∈BD1，根据公理3可知B，E，D1三点共线．

【例3】　如图，已知平面α，β，且α∩β＝l.设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β.

求证：

AB，CD，l共点（相交于一点）.

思路探究：

→

→

→

[证明]　因为梯形ABCD中，AD∥BC，

所以AB，CD是梯形ABCD的两腰.

所以AB，CD必定相交于一点.

设AB∩CD＝M.

又因为AB⊂α，CD⊂β，所以M∈α，M∈β.

所以M∈α∩β.

又因为α∩β＝l，所以M∈l.

即AB，CD，l共点（相交于一点）.

本例变为：

如图所示，在空间四边形各边AD、AB、BC、CD上分别取E、F、G、H四点，如果EF、GH交于一点P，求证：

点P在直线BD上．

[证明]　若EF、GH交于一点P，

则E，F，G，H四点共面，

又因为EF⊂平面ABD，GH⊂平面CBD，

平面ABD∩平面CBD＝BD，

所以P∈平面ABD，且P∈平面CBD，

由公理3可得P∈BD.

1．证明三点共线的方法

（1）首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知，这些点都在两个平面的交线上．

（2）选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在此直线上．

2．证明三线共点的步骤

（1）首先说明两条直线共面且交于一点；

（2）说明这个点在另两个平面上，并且这两个平面相交；

（3）得到交线也过此点，从而得到三线共点．

1．立体几何的三种语言

图形语言、符号语言、文字语言是立体几何的三大语言，要准确实现这三种语言的相互转换．

2．三个公理的作用：

公理1——判定直线在平面内的依据；

公理2——判定点共面、线共面的依据；

公理3——判定点共线、线共点的依据．

3．证明几点共线的方法：

首先考虑两个平面的交线，再证有关的点都是这两个平面的公共点.或先由某两点作一条直线，再证明其他点也在这条直线上．

1．有以下结论：

①平面是处处平的面；

②平面是无限延展的；

③平面的形状是平行四边形；

④一个平面的厚度可以是0.001cm.

其中正确的个数为（　　）

A．1B．2　　　　C．3　　　　D．4

B　[平面是无限延展的，但是没有大小、形状、厚薄，①②两种说法是正确的；③④两种说法是错误的．故选B.]

2．下列空间图形画法错误的是（　　）

A　　　　B　　　　C　　　　　D

D　[遮挡部分应画成虚线．故D错，选D.]

3．如果点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，则可以表示为（　　）

A．A⊂a，a⊂α，B∈αB．A∈a，a⊂α，B∈α

C．A⊂a，a∈α，B⊂αD．A∈a，a∈α，B∈α

B　[点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，表示为A∈a，a⊂α，B∈α.]

4．如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，求证：

点P在直线DE上．

[证明]　因为P∈AB，AB⊂平面ABC，

所以P∈平面ABC.

又P∈α，平面ABC∩平面α＝DE，

所以P∈直线DE.

课时分层作业（七）　平面

（建议用时：

45分钟）

[基础达标练]

一、选择题

1．已知点A，直线a，平面α，以下命题表述正确的个数是（　　）

①A∈a，a⊄α⇒A

α；②A∈a，a∈α⇒A∈α；③A

a，a⊂α⇒A

α；④A∈a，a⊂α⇒A⊂α.

A．0B．1　　　C．2　　　D．3

A　[①不正确，如a∩α＝A；②不正确，∵“a∈α”表述错误；③不正确，如图所示，A

a，a⊂α，但A∈α；④不正确，“A⊂α”表述错误．]

2．下列命题中正确命题的个数是（　　）

①三角形是平面图形；

②四边形是平面图形；

③四边相等的四边形是平面图形；

④圆是平面图形．

A．1个B．2个

C．3个D．4个

B　[根据公理2可知①④正确，②③错误．故选B.]

3．两个平面若有三个公共点，则这两个平面（　　）

A．相交B．重合

C．相交或重合D．以上都不对

C　[若三点在同一条直线上，则这两个平面相交或重合，若三点不共线，则这两个平面重合．]

4．如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是（　　）

A．A，B，C，D四点中必有三点共线

B．A，B，C，D四点中不存在三点共线

C．直线AB与CD相交

D．直线AB与CD平行

B　[两条平行直线、两条相交直线、直线及直线外一点都分别确定一个平面，选B.]

5．三条两两平行的直线可以确定平面的个数为（　　）

A．0B．1

C．0或1D．1或3

D　[当三条直线是同一平面内的平行直线时，确定一个平面，当三条直线是三棱柱侧棱所在的直线时，确定三个平面，选D.]

二、填空题

6．设平面α与平面β相交于l，直线a⊂α，直线b⊂β，a∩b＝M，则M________l.

∈　[因为a∩b＝M，a⊂α，b⊂β，所以M∈α，M∈β.又因为α∩β＝l，所以M∈l.]

7．在长方体ABCDA1B1C1D1的所有棱中，既与AB共面，又与CC1共面的棱有________条.

5　[由题图可知，既与AB共面又与CC1共面的棱有CD、BC、BB1、AA1、C1D1共5条．]

8．已知平面α与平面β、平面γ都相交，则这三个平面可能的交线有________条．

1或2或3　[当β与γ相交时，若α过β与γ的交线，有1条交线；若α不过β与γ的交线，有3条交线；当β与γ平行时，有2条交线．]

三、解答题

9．已知：

A∈l，B∈l，C∈l，D

l，如图所示．

求证：

直线AD，BD，CD共面．

[证明]　因为D

l，所以l与D可以确定平面α，

因为A∈l，所以A∈α，

又D∈α，所以AD⊂α.同理，BD⊂α，CD⊂α，

所以AD，BD，CD在同一平面α内，

即它们共面．

10．求证：

三棱台A1B1C1ABC三条侧棱延长后相交于一点．