学年高中数学第三章空间向量与立体几何单元质量测评新人教A版选修21.docx
《学年高中数学第三章空间向量与立体几何单元质量测评新人教A版选修21.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《学年高中数学第三章空间向量与立体几何单元质量测评新人教A版选修21.docx（30页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
学年高中数学第三章空间向量与立体几何单元质量测评新人教A版选修21
第三章 单元质量测评
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷 （选择题，共60分）
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1．若平面α外直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则能使l∥α的是（ ）
A．a＝（1,0,1），n＝（－2,0,0）
B．a＝（1,3,5），n＝（1,0,1）
C．a＝（0,2,1），n＝（－1,0，－1）
D．a＝（1，－1,3），n＝（0,3,1）
答案 D
解析 若l∥α，则a·n＝0，只有选项D中a·n＝0.
2．已知A（1,2，－1），B为A关于平面xOy的对称点，C为B关于y轴的对称点，则
＝（ ）
A．（－2,0，－2）B．（2,0,2）
C．（－1,0，－1）D．（0，－2，－2）
答案 A
解析 由题意可知B（1,2,1），C（－1,2，－1），∴
＝（－2,0，－2）．
3．以下四组向量中，互相平行的组数为（ ）
①a＝（2,2,1），b＝（3，－2，－2）；
②a＝（8,4，－6），b＝（4,2，－3）；
③a＝（0，－1,1），b＝（0,3，－3）；
④a＝（－3,2,0），b＝（4，－3,3）．
A．1B．2C．3D．4
答案 B
解析 ∵②中a＝2b，∴a∥b；③中a＝－
b，∴a∥b；而①④中的向量不平行．故选B.
4．已知a＝（1，x,1），b＝（2,1，－1）的夹角为锐角，则函数y＝x2＋4x－1的值域是（ ）
A．（－∞，3）B．（－∞，－3）
C．（－4，＋∞）D．（－∞，－4）
答案 C
解析 因a＝（1，x,1），b＝（2,1，－1）的夹角为锐角，则a·b>0，同时a＝（1，x,1），b＝（2,1，－1）不共线，即2＋x－1>0，得x>－1，则y＝x2＋4x－1＝（x＋2）2－5>－4，故选C.
5．已知A（2，－4，－1），B（－1,5,1），C（3，－4,1），D（0,0,0），令a＝
，b＝
，则a＋b为（ ）
A．（5，－9,2）B．（－5,9，－2）
C．（5,9，－2）D．（5，－9，－2）
答案 B
解析 ∵a＝
＝（－1,0，－2），
b＝
＝（－4,9,0），∴a＋b＝（－5,9，－2）．
6．已知a＝（1,2，－y），b＝（x,1,2），且（a＋2b）∥（2a－b），则（ ）
A．x＝
，y＝1B．x＝
，y＝－4
C．x＝2，y＝－
D．x＝1，y＝－1
答案 B
解析 由题意知，a＋2b＝（2x＋1,4,4－y），2a－b＝（2－x，3，－2y－2）．∵（a＋2b）∥（2a－b），
∴存在实数λ，使a＋2b＝λ（2a－b），
∴
解得
7．已知向量i，j，k是一组单位正交向量，m＝8j＋3k，n＝－i＋5j－4k，则m·n＝（ ）
A．7B．－20C．28D．11
答案 C
解析 因为m＝（0,8,3），n＝（－1,5，－4），所以m·n＝0＋40－12＝28.
8．在三棱锥P－ABC中，△ABC为等边三角形，PA⊥平面ABC，且PA＝AB，则二面角A－PB－C的平面角的正切值为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 设PA＝AB＝2，建立如图所示的空间直角坐标系，
则B（0,2,0），C（
，1,0），P（0,0,2）．∴
＝（0，－2，2），
＝（
，－1,0）．设n＝（x，y，z）是平面PBC的法向量．则
即
令y＝1，则x＝
，z＝1.即n＝
.易知m＝（1,0,0）是平面PAB的一个法向量．则cos〈m，n〉＝
＝
＝
.∴tan〈m，n〉＝
.故选A.
9．已知
＝（1,2,3），
＝（2,1,2），
＝（1,1,2），点Q在直线OP上运动，则当
·
取得最小值时，点Q的坐标为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 ∵Q在OP上，∴可设Q（x，x,2x），则
＝（1－x，2－x,3－2x），
＝（2－x,1－x,2－2x）．∴
·
＝6x2－16x＋10，∴当x＝
时，
·
最小，这时Q
.
10．已知E，F分别是棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC，CC1的中点，则截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的正弦值是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 以D为坐标原点，以DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，
则A（1,0,0），E
，F
，D1（0,0,1）．所以
＝（－1,0,1），
＝
.设平面AEFD1的法向量为n＝（x，y，z），则
⇒
∴x＝2y＝z，取y＝1，则n＝（2,1,2）．而平面ABCD的一个法向量为u＝（0,0,1），
∵cos〈n，u〉＝
，∴sin〈n，u〉＝
.故选C.
11．在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k分别是x轴、y轴、z轴的方向向量，设a为非零向量，且〈a，i〉＝45°，〈a，j〉＝60°，则〈a，k〉＝（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
答案 C
解析 如图所示，
设|a|＝m（m>0），a＝
，PA⊥平面xOy，AB，AC，PD分别为x轴、y轴、z轴的垂线，
则在Rt△PBO中，
|PB|＝|
|sin〈a，i〉＝
m.
在Rt△PCO中，
|OC|＝|
|cos〈a，j〉＝
，∴|AB|＝
.
在Rt△PAB中，|PA|＝
＝
＝
，∴|OD|＝
.
在Rt△PDO中，cos〈a，k〉＝
＝
，又0°≤〈a，k〉≤180°，∴〈a，k〉＝60°.
12．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论：
①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD所成的角为60°；④AB与CD所成的角为60°.其中错误的结论是（ ）
A．①B．②C．③D．④
答案 C
解析 如图所示，
建立空间直角坐标系Oxyz，设正方形ABCD的边长为
，则D（1,0,0），B（－1,0,0），C（0,0,1），A（0,1,0），所以
＝（0，－1,1），
＝（2,0,0），
·
＝0，
故AC⊥BD.①正确．
又|
|＝
，|
|＝
，|
|＝
，
所以△ACD为等边三角形．②正确．
对于③，
为面BCD的一个法向量，
cos〈
，
〉＝
＝
＝
＝－
.
因为直线与平面所成的角∈
，
所以AB与平面BCD所成的角为45°.故③错误．
又cos〈
，
〉＝
＝
＝－
.
因为异面直线所成的角为锐角或直角，
所以AB与CD所成的角为60°.故④正确．
第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．在平行六面体（即六个面都是平行四边形的四棱柱）ABCD－A′B′C′D′中，AB＝1，AD＝2，AA′＝3，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则AC′的长为________．
答案
解析 因为
＝
＋
＋
，所以
2＝|
|2＋|
|2＋|
|2＋2
·
＋2
·
＋2
·
＝1＋4＋9＋2×1×2×cos90°＋2×1×3×cos60°＋2×2×3×cos60°＝23，即|
|＝
.故AC′的长为
.
14．正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD夹角的正弦值是________．
答案
解析 如图，
以DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则A（1,0,0），B（1,1,0），C1（0，1,1），易证
是平面A1BD的一个法向量.
＝（－1，1,1），
＝（－1,0,1）．
则cos〈
，
〉＝
＝
.
所以BC1与平面A1BD夹角的正弦值为
.
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝1，EF∥BC且AE＝2EB，G为BC的中点，K为AF的中点．沿EF将矩形折成120°的二面角A－EF－B，此时KG的长为________．
答案
解析 如图，
过K作KM⊥EF，垂足M为EF的中点，连接MG，KG，则向量
与
的夹角为120°，〈
，
〉＝60°.又
＝
＋
＝
＋
，
∴
2＝
2＋
2＋2
·
＝1＋1＋2×1×1×cos60°＝3.∴|
|＝
.
16．在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AA1的中点，则A1到平面MBD的距离为________．
答案
a
解析 建立如图所示的空间直角坐标系，
则D（0,0,0），B（a，a,0），M
，A1（a,0，a），设平面MBD的法向量为n＝（x，y，z），则
即
令x＝1，则z＝－2，y＝－1，
∴n＝（1，－1，－2）．
∴A1到平面MBD的距离d＝
＝
＝
a.
三、解答题：
本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）已知空间三点A（－2,0,2），B（－1，1,2），C（－3,0,4），设a＝
，b＝
.
（1）求a与b的夹角θ的余弦值；
（2）若向量ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值．
解 a＝
＝（－1,1,2）－（－2,0,2）＝（1,1,0），
b＝
＝（－3,0,4）－（－2,0,2）＝（－1,0,2）．
（1）cosθ＝
＝
＝－
，
∴a与b的夹角θ的余弦值为－
.
（2）ka＋b＝（k，k,0）＋（－1,0,2）＝（k－1，k,2），
ka－2b＝（k，k,0）－（－2,0,4）＝（k＋2，k，－4），
∴（k－1，k,2）·（k＋2，k，－4）＝（k－1）·（k＋2）＋k2－8＝0，即2k2＋k－10＝0，∴k＝－
或k＝2.
18．（本小题满分12分）如图所示，已知几何体ABCD－A1B1C1D1是平行六面体．
（1）化简
＋
＋
，并在图上标出结果；
（2）设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC1B1对角线BC1上的点，且C1N＝
C1B，设
＝α
＋β
＋γ
，试求α，β，γ的值．
解
（1）如图所示，
取AA1的中点E，在D1C1上取一点F，使得D1F＝2FC1，连接EF，则
＋
＋
＝
＋
＋
＝
.
（2）
＝
＋
＝
＋
＝
（
＋
）＋
（
＋
）
＝
＋
＋
，
所以α＝
，β＝
，γ＝
.
19．（本小题满分12分）如图，在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3.
（1）证明：
AC⊥B1D；
（2）求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值．
解
（1）由题意易知，AB，AD，AA1两两垂直．
如图，
以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．设AB＝t，则相关各点的坐标为A（0,0,0），B（t,0,0），B1（t,0,3），C（t,1,0），C1（t,1,3），D（0,3,0），D1（0,3,3）．从而
＝（－t,3，－3），
＝（t,1,0），
＝（－t,3,0）．
因为AC⊥BD，所以
·
＝－t2＋3＋0＝0.
解得t＝
或t＝－
（舍去）．于是
＝（－
，3，－3），
＝（
，1,0）．因为
·
＝－3＋
升级会员 