第8章微分方程.docx
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第8章微分方程
高等数学练习题第十二章
系
微分方程
专业
姓名
学号
一.选择题
1.微分方程
（A）2
2.微分方程
第一节微分方程的基本概念
34
xyy"+x（y）-yy'=0的阶是
（B）3
y-2y=0的通解是
2x
（A）y=Csin2x（B）y=4e
3.下列微分方程中，属于可分离变量的微分方程是
（A）xsin（xy）dx+ydy=0
（C）dy=xsinydx
dxdy
4•微分方程一+丄
yx
（A）3x+4y=7
二.填空题
1.微分方程xyy‘=1
第二节可分离变量的微分方程
（C）4
（D）5
（C）
（B）
（D）
^Ce2x
=Cex
=0满足yx*=4的特解是
（B）x2+y2=25
22
（C）x-y=25（D）
2
y-x
x2的通解是
y2=2lnx-x2+c]
=7
dy3七
2.微分方程dx+ez
=0满足yX出=0的特解是
3
eT=3ex-2
ds
3.dTYi
1三的通解是
-t2
larcsins=arcsint+C
三.计算题
dx
1.cosydx+（1+ejsinydy=0
解：
原方程可化为tanydy=-x
1+e
积分，得lncoyB=In弋df+）Cl
=2的特解
故，方程的通解为cos<=c（卅e
2•求微分方程ydx+x2dy-4dy=0,满足
解：
原方程可化为也
dx
yx2-4
1积分得lny=—In
4x-2
心=2时，C罟
方程的满足条件的特解为
16X+2）
3（x-2）
3•质量为1克的质点受外力作用作直线运动，这外力和时间成正比，和质点运动的速度成反比。
在t=10秒时，速度等于50cm/秒，外力为4克厘米/秒2，问从运动开始经过了一分钟后
的速度是多少?
t¥0=4gcm/s2,
解：
由题意，外力F=k丄,v（10）=5ocm/s,F
V
10
代入得4=k—,即k=20,
F=
20t
50
v
L.dv
dv
20t
又F=ma=1—所以微分万程
5
dt
dt
v
22
所以v=20t+C
由初始条件
v
t#0=50，代入得C=500
在将t=60代入上式，得V=2693（cm/2s）
4•一曲线通过（2,3），它在两坐标轴间的任一切线段均被切点所平分，求这曲线方程。
解：
设曲线上任一点为M（X,y），则以该点为切点的切线在x轴，y轴上的截距，依题意应
为2x与2y,设切线倾角为a，则tan（兀-a）=,tana=
2xX
即史一y
dxX
解方程得Xy=C把y
（2）=3代入，得C=6
故所求的曲线方程为xy=6
一.填空题
1.下列各微分方程中为一阶线性微分方程的是
2
（C）yy'=x（D）（y）+xy=0
P12■丄4・
（A）xy+y=x（B）y+xy=sinx
y=[A]
2.已知函数y（x）满足微分方程xy'=yln'，且当x=1时，y=e2，则当x=-1时,
x
（A）-1
（B）0
（C）1
=xeXF
3.已知y=
Inx
x
一是微分方程
中w（~y）的解，贝u（~）的表达式为
xx
（B）
2
y
2
x
（C）-
2
x
2
y
（D）
2
x
2
y
2
y=—（x+1）2，则方程的通解为［C
3
5
4.已知微分方程y'+P（x）y=（x中1）2的一个特解为
27
（A）C（x+1）工+1）2
（B）
（C）C（x+1）2+2（x+1）2
3
（D）
C（x+1）2+1i（x+ir
填空题
计算题1.求微分方程（X2+y2）dx—xydy=0的通解
解：
方程可化为:
dy=_x+_ydxyx
则:
=y
X
du
X—
dx
dy
dx
l
u
丄du=u+x——dx
2
解得
u=InX+InC=InCx
2
即Cx=ex
2•求微分方程（y2—6x）业+2y=0的通解
dx
解：
方程可化为：
dx_3x=-Y
dyy2
戶dyy-Fdy
所以x=e'y（『一―€'ydy+C）
•2
3y1
…卜「严+C）
=y3（±+6=”
X2
3.设f（X）为连续函数，由Jotf（t）dt=X+f（x）所确定，求f（X）
解：
对积分方程两边求导数得Xf（M=2Xf（X,
f\X）-xf（X）=-2x且f（0）=0
（xdx_Xdx
f（x）=e」（J-2xedx+C）
=e^（J-Zxe^dx+C）
=e^（2e-2+C）=2+CeT
当X=0时，f（x）=0代入上方程得C=—2
x2
故f（X）=2-2/
4.设偶连结点0（0,0）和A（1,1）的一段向上凸的曲线弧OA,对于弧OA上任一点P（x,y）,曲
线弧OP与直线段OP所围图形的面积为X，求曲线弧OA的方程。
求微分方程
X13
解：
由题意f（X）满足：
!
0f（t）dt-?
xf（x）=X3
2
=x（-6x+C）=—6x+Cx
当x=1时，f（X）=1代入上式得C=7
故所求的曲线为f（X）=-6x+7x
高等数学练习题第十二章
微分方程
专业
姓名
学号
第五阶
全微分方程
第八节
可降阶的高阶微分方程
.选择题
丄的通解是
3x2
1
（B）-InCjX+C2X
3
y
2.设曲线积分[[f（x）-e]sinydx-f（x）cosydy与路径无关，其中
f（x）具有一阶连续导
数，且f（0）=0，则f（x）=
（A）2（ex
11
-e"）（B）ex）（C）^⑥计）—1
1
（D）1-?
（ex+「）
二.填空题
1.微分方程
Ci
xy"+3y，=0的通解为—y=-42+C2
2x
2.微分方程
y—*的通解为
Jy
X=C2±[Z（GC1）2-20厉9]
3
三.求下列微分方程的通解或特解
1.eydx+（xey—2y）dy=0
解：
eydx+xdey-dy=0即d（x-
所以方程的解为xey-y2=C
CQycP
或由于
—=e=—
ex
（xy）
所以u（x,yAJ（0,0eydx+xey—Rdy
—2y）dy
（x,0）（x,y）yy
=（[+[）eydx+（xey
'J（0,0）x,0）''
x0y
=.0e0dx+L（xey-2y）dy=x+（xey-y2）|；
=xey-y2
故方程的解为xey—y2=C
解：
方程可化为（xcos<+coxsd）y
（ysbnsynd乂
xcosydy+cosxdy-ysinxdx+sinydx=0
Xdsin才coxd中ydcosxsirydx
=d（xsiny）+d（ycosx）=d（xsiny+ycosx）=0
所以
或因为
所求方程的解xsiny+ycosx=C
P（X,y）=siny-ysinx,Q（x,y）=xcosy+cosx
所以竺=cos^-sixi=竺
（xy）
u（x，y）=J（0,0）xcosxaris+）-y（x冷inydxsin）
（x,0）（x,y）
=（J（0,0）+J（x,0））（xcosy+cosx）dy+（-ysinx+siny）dx
y
=0+Jo（xcosy+cosx）dy
=xsiny+ycosx
3.
y=y+x
fidx_fidx
p=e[Jxedx+C1]
=eX[Jxe^dx+G]=ex[（—x—1）e」+Ci]
=Ge—X—1
2
所以
x=C1e^-—-X+C2
2
4.y"—ay
■2
=0,仁=0，^x^=-1
解:
设八p（x）,八p（x）晋dx
dp
Pdy
则万程可化为：
pdy
2
-ap=0
Inpay+C
当X=0,y=0,y=T时，得G=0
所以y'=P=eay，即
dy—dx
eay
1
丄e」y=x+C2，a
当X=0,y=0时,
故方程满足条件的特解为
'z-ay八
x=-（e-1）a
或设y：
p（x），则y
P'（x）,
所以p'-ap2=0，即
dp
=adx,
积分得
1
=ax+c
P
由于当ylx凶=-1，所以
Ci=1,
1
=ax+1，y
1
即y=_所以y
ax中1
—-In（ax+1）+C2，当y|xm=0，得Q=0a
故方程满足条件的解为
=-丄］n（ax+1）a
四.试求y=x的经过点M（0,1）且在此点与直线
X
^r1相切的积分曲线
x1
解：
y'=——由题意，当x=0,y'=-
22
3.
x1
y=——+-x+C2
622
当X=0,y=1，得C2
=1
故所求的积分曲线为
3.
X丄1丄
y=——X+1
62
.专业
.班姓名
学号
第七节高阶线性微分方程方程第八节常系数齐次线性微分方程
1.选择题
1.设线性无关函数y^x）,y2（x）,y3（x）是二阶非齐次线性方程y"+P（x）y'+Q（x）y=f（x）
的特解，C1,C2是任意常数，则该方程的通解是y=
（A）Ciyi+C2y2+y3
（B）Ciyi+C2y2—（Ci+C2）y3
2.微分方程y"-4y=0的通解是
（B）y=G中C2e
（A）y=C1eC2e
3x3x
3•具有特解y1=e,y2=2xe二阶常系数齐次线性方程是
（A）y-9y=0
（B）y“-6y，+9y=0
4•微分方程y"+4y'+29y=0,y|x卫=0,y'|x」=15的特解是y=
（A）3（e^x—1）cos5x
（B）5（e'x-1）cos3x
（C）3e^xsin5x
2x
（D）5esin3x
2.填空题
1.具有特解yi
=ex和目=e"的二阶常系数齐次线性方程为
y"+y'-2y=0
2.设y=eX（C1
coS?
x+C2sin2x）为某方程的通解，其方程为
y"-
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