第8章微分方程.docx

1、第8章微分方程高等数学练习题 第十二章 系微分方程专业姓名学号一.选择题1.微分方程(A) 22.微分方程第一节 微分方程的基本概念3 4xyy +x(y) -y y =0 的阶是(B) 3y-2y =0的通解是2x(A) y =Csin 2x (B) y =4e3.下列微分方程中，属于可分离变量的微分方程是(A) xsin(xy)dx +ydy = 0(C) dy=xsiny dxdx dy4微分方程一+丄y x(A) 3x +4y = 7二.填空题1 .微分方程xyy = 1第二节 可分离变量的微分方程(C) 4(D) 5(C)(B)(D)Ce2x= Cex=0满足yx* =4的特解是(B

2、) x2 +y2 =252 2(C) x -y =25 (D)2y -xx2的通解是y2 =2ln x-x2 +c=7d y3七2 .微分方程dx+ez=0满足y X出=0的特解是3eT =3ex -2ds3. dTYi1三的通解是-t2larcsins = arcsint +C三.计算题dx1. cos ydx +(1 + ejsinydy =0解：原方程可化为 tan ydy = - x1 +e积分，得 lncoyB= I n弋df + ) Cl=2的特解故，方程的通解为 cos = c (卅e2求微分方程ydx +x2dy -4dy = 0 ,满足解：原方程可化为也dxy x2 -41

3、积分得 lny= In4 x-2心=2时，C罟方程的满足条件的特解为16X + 2)3(x- 2)3质量为1克的质点受外力作用作直线运动，这外力和时间成正比，和质点运动的速度成反 比。在t =10秒时，速度等于50cm/秒，外力为4克厘米/秒 2，问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少?t0=4 gcm/s2 ,解：由题意，外力F=k丄,v(10)= 5o cm/s ,FV10代入得 4 = k , 即 k = 20,F =20t50vL . dvdv20t又 F = ma =1 所以微分万程5dtdtv2 2所以 v =20t +C由初始条件vt #0 = 50，代入得 C = 500在将t

4、 =60代入上式，得 V =2 6 9 3(cm/2s )4一曲线通过(2,3)，它在两坐标轴间的任一切线段均被切点所平分，求这曲线方程。解：设曲线上任一点为 M (X, y)，则以该点为切点的切线在 x轴，y轴上的截距，依题意应为2x与2y,设切线倾角为a，则tan(兀-a)=, tana =2x X即史一 ydx X解方程得 X y = C把y( 2) = 3代入，得C = 6故所求的曲线方程为 xy=6一.填空题1.下列各微分方程中为一阶线性微分方程的是2(C) yy = x (D) (y) +xy =0P 1 2 丄 4 (A) xy + y =x (B) y +x y =sinxy=

5、 A 2.已知函数y(x)满足微分方程xy=yl n ，且当x=1时，y=e2，则当x =-1时,x(A) -1(B) 0(C) 1=xeXF3.已知y =Inxx一是微分方程中w(y)的解，贝u ()的表达式为x x(B)2y2x(C)-2x2y(D)2x2y2y = (x+1)2，则方程的通解为C354.已知微分方程y + P(x)y=(x中1)2的一个特解为2 7(A)C(x +1)工 +1)2(B)(C) C(x+1)2+2(x+1)23(D)C(x+1)2+1i(x + ir填空题计算题 1.求微分方程（X2 + y2 ）dx xydy =0的通解解：方程可化为:dy=_x+_y d

6、 x y x则:=yXduX dxdydxlu丄du =u +x dx2解得u = In X + In C = In Cx2即 Cx = ex2求微分方程（y2 6x）业+2y =0的通解dx解：方程可化为：dx_3x=-Ydy y 2戶 dy y -Fdy所以 x=ey (一 y dy+C) 23 y 1卜严+C)=y3 (+6= ”X 23.设f(X)为连续函数，由Jo tf (t)dt = X + f(x)所确定，求f(X)解：对积分方程两边求导数得 Xf( M = 2 X f( X,f X) - xf (X) = -2x 且 f (0) = 0(xdx _ Xdxf(x) = e( J

7、-2xe dx+C)=e (J -Zxedx+C)=e (2e-2 + C) = 2 +CeT当X =0时，f (x )= 0代入上方程得C=2x2故 f (X)= 2-2/4.设偶连结点0(0,0)和A(1,1)的一段向上凸的曲线弧 OA,对于弧OA上任一点P(x, y),曲线弧OP与直线段OP所围图形的面积为X，求曲线弧OA的方程。求微分方程X 1 3解：由题意 f(X)满足：!0 f(t)dt-?xf(x)= X32= x(-6x+C ) = 6x +Cx当x=1时，f(X)= 1代入上式得C=7故 所求的曲线为f (X) = -6x +7x高等数学练习题 第十二章微分方程专业姓名学号第

8、五阶全微分方程第八节可降阶的高阶微分方程.选择题丄的通解是3x21(B) -In CjX +C2X3y2.设曲线积分 f(x)-e sinydx - f (x)cosydy与路径无关，其中f(x)具有一阶连续导数，且 f (0) =0，则 f (x) =(A) 2(ex1 1-e) (B) ex) (C) 计)11(D) 1-?(ex +)二.填空题1 .微分方程Cixy + 3y，= 0 的通解为y=-42+C22x2.微分方程y *的通解为JyX =C2 Z(GC1)2 -20厉93三.求下列微分方程的通解或特解1.eydx+(xey 2y)dy = 0解：eydx +xdey-dy=0

9、即 d( x -所以方程的解为 xey-y2=CCQ y cP或由于=e =ex(x y )所以 u(x,y A J(0,0eydx + xey Rdy2y)dy(x,0) (x,y) y y=( + )eydx +(xey J(0,0) x,0) x 0 y= .0e0dx + L(xey -2y)dy = x+(xey-y2)|；=xey - y2故方程的解为 xey y2 =C解：方程可化为 (xcos+ coxs d)y(y s bn sy nd 乂x cos ydy + cosxdy - y sin xdx + sin ydx = 0X ds in 才 coxd 中 y dc o s

10、x sirydx=d(xsin y) +d(ycosx) =d(xsin y + ycosx) =0所以或 因为所求方程的解 xsin y + y cosx = CP(X, y) =sin y - ysin x , Q(x, y) = xcosy +cosx所以 竺=cos - sixi=竺(x y )u(x，y)= J(0,0)x cos xaris + )-y (x 冷inydxsin )(x,0) (x,y)=( J(0,0) +J(x,0)(xcosy+cosx)dy + (-ysinx+siny)dxy=0 + Jo (xcosy +cosx)dy=xsin y + ycosx3.y

11、 = y +xfidx _fidxp = e Jxe dx + C1= eX Jxedx +G = ex(x1)e+Ci=Ge X 12所以x = C1e - -X +C224. y ay2=0,仁=0，x = -1解:设八p（x）,八p（x）晋dxdpPdy则万程可化为：pdy2-ap =0In p ay+ C当 X = 0, y = 0, y = T 时，得 G = 0所以y = P = eay，即dy dxeay1丄 ey =x +C2， a当 X =0,y =0 时,故方程满足条件的特解为z -ay 八x=-(e -1) a或设y： p(x)，则yP(x),所以p -ap2 =0，即d

12、p= adx ,积分得1=ax +cP由于当ylx凶=-1，所以Ci =1,1=ax +1， y1即y = _ 所以 yax中1-In(ax +1) +C2，当 y |xm= 0，得 Q = 0 a故方程满足条件的解为=-丄n(ax + 1) a四.试求 y = x的经过点M(0,1)且在此点与直线Xr1相切的积分曲线x 1解：y=由题意，当x=0, y = -2 23 .x 1y =+ -x + C26 2 2当 X =0,y =1，得 C2=1故所求的积分曲线为3 .X 丄1 丄y =X +16 2.专业.班 姓名学号第七节高阶线性微分方程方程 第八节常系数齐次线性微分方程1.选择题1.设

13、线性无关函数 yx), y2(x), y3(x)是二阶非齐次线性方程 y+P(x)y+Q(x)y= f(x)的特解，C1, C2是任意常数，则该方程的通解是 y =(A)Ciyi +C2y2 +y3(B) Ci yi +C2y2 (Ci +C2)y32.微分方程y-4y =0的通解是(B) y = G 中C2e(A) y =C1e C2 e3 x 3x3具有特解y1 =e , y2 =2xe二阶常系数齐次线性方程是(A) y -9y =0(B) y“-6y，+ 9y=04微分方程y + 4y+ 29y =0 , y|x卫=0 , y|x= 15的特解是y =(A) 3(ex 1)cos5x(B) 5(ex-1)cos3x(C) 3exsin5x2x(D) 5e sin3x2.填空题1.具有特解yi=ex和目=e的二阶常系数齐次线性方程为y + y-2y = 02 .设 y =eX (C1coS?x +C2 sin 2x)为某方程的通解，其方程为y-