上海市闵行区届高三下学期质量调研考试二模数学理试题 Word版含答案1.docx
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上海市闵行区届高三下学期质量调研考试二模数学理试题Word版含答案1
闵行区2014学年第二学期高三年级质量调研考试
数学试卷（理科）
（满分150分，时间120分钟）
考生注意：
1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、准考证号、姓名等填写清楚．
2．请按照题号在答题纸各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．
3．本试卷共有23道试题．
一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生必须在答题纸的相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分．
1．用列举法将方程
的解集表示为．
2．若复数
满足
（其中
为虚数单位），则
．
3．双曲线
的两条渐近线的夹角的弧度数为.
4．若
，且
，则
．
5．在极坐标系中，若过点（3，0）且与极轴垂直的直线交曲线
于
、
两点，则
=.
6．已知等比数列
满足
，则
=.
7.设二项式
的展开式的二项式系数的和为
，各项系数的和为
，且
，则
的值为.
8．
是从集合
中随机抽取的一个元素,记随机变量
则
的数学期望
.
9．给出条件：
①
，②
，③
，④
．函数
，对任意
，能使
成立的条件的序号是．
10．已知数列
满足
，则使不等式
成立的所有正整数
的集合为．
11．斜率为
的直线与焦点在
轴上的椭圆
交于不同的两点
、
.若点
、
在
轴上的投影恰好为椭圆的两焦点，则该椭圆的焦距为.
12．函数
在区间
内无零点，则实数
的范围是.
13．如图，已知点
，且正方形
内接于
：
，
、
分别为边
、
的中点.当正方形
绕圆心
旋转时，
的取值范围为．
14．已知函数
，
，若对任意的
，均有
，则实数
的取值范围是 ．
二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4小题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格用铅笔涂黑，选对得5分，否则一律得0分．
15．如果
，那么下列不等式成立的是（）
（A）
.（B）
.（C）
.（D）
.
16．从4个不同的独唱节目和2个不同的合唱节目中选出4个节目编排一个节目单，要求最后一个节目必须是合唱，则这个节目单的编排方法共有（）
（A）14种.（B）48种.（C）72种.（D）120种.
17．函数
的定义域为
，值域为
，则
的最大值是（）
（A）
.（B）
.（C）
.（D）
.
18．如图，已知直线
平面
，垂足为
，在
中，
，点
是边
上的动点.
该三角形在空间按以下条件作自由移动：
（1）
，
（2）
.则
的最大值为（ ）
（A）
.（B）
.（C）
.（D）
.
三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
19．（本题满分12分）
如图，已知圆锥的底面半径为
，点Q为半圆弧
的中点，点
为母线
的中点．若直线
与
所成的角为
，求此圆锥的表面积．
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第
（1）小题满分4分，第
（2）小题满分10分．
设三角形
的内角
所对的边长分别是
，且
．
若
不是钝角三角形，求：
（1）角
的范围；
（2）
的取值范围．
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第
（1）小题满分6分，第
（2）小题满分8分．
某油库的设计容量为30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油
万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前
个月的需求量
（万吨）与
的函数关系为
，并且前4个月，区域外的需求量为20万吨．
（1）试写出第
个月石油调出后，油库内储油量
（万吨）与
的函数关系式；
（2）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定
的取值范围．
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第
（1）小题满分4分，第
（2）小题满分6分，第（3）小题满分6分．
已知两动圆
和
（
），把它们的公共点的轨迹记为曲线
若曲线
与
轴的正半轴的交点为
，且曲线
上的相异两点
满足：
．
（1）求曲线
的方程；
（2）证明直线
恒经过一定点，并求此定点的坐标；
（3）求
面积
的最大值．
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第
（1）小题满分4分，第
（2）小题满分7分，第（3）小题满分7分．
各项均为正数的数列
的前
项和为
，且对任意正整数
，都有
．
（1）求数列
的通项公式；
（2）如果等比数列
共有
项，其首项与公比均为
，在数列
的每相邻两项
与
之间插入
个
后，得到一个新的数列
．求数列
中所有项的和；
（3）如果存在
，使不等式
成立，求实数
的范围．
闵行区2014学年第二学期高三年级质量调研考试
数学试卷参考答案与评分标准（文理）
一.填空题1．
；2．
；3．
；4．
；5．（理）
，（文）
；
6．（理）
，（文）
；7．（理）4，（文）
；8．（理）
，（文）
；9．④；
10．（理）
，（文）
等；11．
；12．（文理）
；
13．（理）
，（文）
；14．（文理）
．
二.选择题15．B；16．D；17．B；18．C．
三.解答题
19．[解]取OA的中点M,连接PM,又点P为母线
的中点
所以
，故
为
与
所成的角．………………………2分
在
中，
，
，………………………4分
由点Q为半圆弧
的中点知
，
在
中，
故
，所以
，
．………………………8分
所以
，
………………10分
．…………………………………12分
20．[解]
（1）因为
，
…………………………………2分
由
得：
…………………………………4分
（2）
…………………………………6分
（
）……………10分
当
时，
当
时，
…………………………………12分
所以
.…………………………………14分
21．[解]
（1）由条件得
，所以
2分
，（
）．…………………………………6分
（２）因为
，
所以
恒成立………………………8分
恒成立………………………10分
设
，则：
恒成立，
由
恒成立得
（
时取等号）………………………12分
恒成立得
（
时取等号）
所以
．………………………14分
22．[解]
（1）（文理）设两动圆的公共点为Q，则有：
．由椭圆的定义可知
的轨迹为椭圆，
．所以曲线
的方程是：
．…4分
（2）（理）证法一：
由题意可知：
，设
，
当
的斜率不存在时，易知满足条件
的直线
为：
过定点
………………………6分
当
的斜率存在时，设直线
：
，联立方程组：
，把②代入①有：
……………8分
③，
④，
因为
，所以有
，
，把③④代入整理：
，（有公因式m-1）继续化简得：
，
或
（舍），
综合斜率不存在的情况，直线
恒过定点
．………………………10分
证法二：
（先猜后证）由题意可知：
，设
，
如果直线
恒经过一定点，由椭圆的对称性可猜测此定点在
轴上，设为
；
取特殊直线
，则直线
的方程为
，
解方程组
得点
，同理得点
，
此时直线
恒经过
轴上的点
（只要猜出定点的坐标给2分）……2分
下边证明点
满足条件
当
的斜率不存在时，直线
方程为：
，
点
的坐标为
，满足条件
；………………………8分
当
的斜率存在时，设直线
：
，联立方程组：
，把②代入①得：
③，
④，
所以
………………………10分
（文）由条件
，知道
，
=
得直线
:
………………………6分
解方程组
可得
……………………………8分
直线
:
所以交点
．……………………………10分
（3）（理）
面积
=
=
由第
（2）小题的③④代入，整理得：
……………………………12分
因
在椭圆内部，所以
可设
，
……………………………14分
，
（
时取到最大值）．
所以
面积
的最大值为
．…………………………………………16分
（注：
文科第（3）小题的评分标准参照理科第
（2）小题）
23．[解]
（1）（文理）当
时，由
得
…………1分
当
时，由
，
得
因数列
的各项均为正数，所以
………………………………3分
所以数列
是首相与公差均为
等差数列
所以数列
的通项公式为
．………………………………4分
（2）（理）数列
的通项公式为
……………………5分
当
时，数列
共有
项，其所有项的和为
………………………………8分
当
时，数列
共有
项，其所有项的和为
……………………………11分
（文）数列
的通项公式为
…………………………5分
数列
中一共有
项，其所有项的和为
……8分
……………………………11分
（3）（理）由
得
……………………………13分
记
由
递减（或
）………………………15分
得
，
所以实数
的范围为
即
．……………………………18分
（文）由
得
……………………………13分
记
因为
，当
取等号，所以
取不到
当
时，
的最小值为
（
）递减，
的最大值为
…………15分
所以如果存在
，使不等式
成立
实数
应满足
，即实数
的范围应为
．………………………18分
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