121 解决有关测量距离的问题.docx

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121解决有关测量距离的问题

1.2.1解决有关测量距离的问题

施．如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性．于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的．今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离．

推进新课

解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确作出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解.

［例题剖析］

【例1】如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，∠BAC=51°，∠ACB=75°．求A、B两点的距离.（精确到0.1m）

师（启发提问）1：

△ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较恰当？

师（启发提问）2：

运用该定理解题还需要哪些边和角呢？

请学生回答．

生从题中可以知道角A和角C，所以角B就可以知道，又因为AC可以量出来，所以应该用正弦定理．

生这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角，应用正弦定理算出AB边．

解：

根据正弦定理，得

，

≈65.7（m）.

答:

A、B两点间的距离为65.7米.

[知识拓展]

变题：

两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于Akm,灯塔A在观察站C的北偏东30°，灯塔B在观察站C南偏东60°，则A、B之间的距离为多少？

老师指导学生画图，建立数学模型．

解略：

km.

【例2】如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法

[教师精讲]

这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题．首先需要构造三角形，所以需要确定C、D两点．根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边即可求出另两边的方法，分别求出AC和BC，再利用余弦定理可以计算出A、B的距离．

解：

测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=A，并且在C、D两点分别测得∠BCA=α,∠ACD=β,∠CDB=γ,∠BDA=δ，在△ADC和△BDC中，应用正弦定理得

，

.

计算出AC和BC后，再在△ABC中，应用余弦定理计算出A、B两点间的距离

.

[活动与探究]

还有没有其他的方法呢？

师生一起对不同方法进行对比、分析．

[知识拓展]

若在河岸边选取相距40米的C、D两点，测得∠BCA=60°，∠ACD=30°，∠CDB=45°，∠BDA=60°,略解：

将题中各已知量代入例2推出的公式，得AB=206.

[教师精讲]

师可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式．

〔学生阅读课本14页，了解测量中基线的概念，并找到生活中的相应例子〕

师解三角形的知识在测量、航海、几何、物理学等方面都有非常广泛的应用,如果我们抽去每个应用题中与生产生活实际所联系的外壳,就暴露出解三角形问题的本质,这就要提高分析问题和解决问题的能力及化实际问题为抽象的数学问题的能力.

下面,我们再看几个例题来说明解斜三角形在实际中的一些应用.

【例3】如下图是曲柄连杆机构的示意图，当曲柄CB绕C点旋转时，通过连杆AB的传递，活塞做直线往复运动，当曲柄在CB0位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在A0处，设连杆AB长为340mm，曲柄CB长为85mm，曲柄自CB0按顺时针方向旋转80°，求活塞移动的距离（即连杆的端点A移动的距离A0A）.（精确到1mm）

师用实物模型或多媒体动画演示，让学生观察到B与B0重合时，A与A0重合，故A0C=AB＋CB＝425mm，且A0A=A0C-AC．

师通过观察你能建立一个数学模型吗？

生问题可归结为：

已知△ABC中，BC＝85mm，AB＝34mm，∠C＝80°，求AC．

师如何求AC呢？

生由已知AB、∠C、BC，可先由正弦定理求出∠A，再由三角形内角和为180°求出∠B，最后由正弦定理求出AC．

解：

（如图）在△ABC中，由正弦定理可得

≈0.2462.

因为BC＜AB，所以A为锐角.

∴A=14°15′，∴B＝180°-（A＋C）＝85°45′.

又由正弦定理，

≈344.3（mm）.

∴A0A=A0C–AC=（AB+BC）-AC=（340+85）-344.3=80.7≈81（mm）.

答：

活塞移动的距离为81mm．

师请同学们设AC=x，用余弦定理解之，课后完成.

[知识拓展]

变题：

我舰在敌岛A南偏西50°相距12海里的B处，发现敌舰正由岛沿北偏西10°的方向以10海里/时的速度航行．问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？

师你能根据方位角画出图吗？

生（引导启发学生作图）

师根据题意及画出的方位图请大家建立数学模型．

生例题归结为已知三角形的两边和它们的夹角，求第三边及其余角.

解：

如图，在△ABC中,由余弦定理得

BC2=AC2+AB2-2·AB·AC·cos∠BAC

=202+122-2×12×20×（-

）=784,

BC=28,

∴我舰的追击速度为14海里/时.

又在△ABC中,由正弦定理得

∴

.

答：

我舰航行的方向为北偏东50°-arcsin

.

[方法引导]

师你能归纳和总结解斜三角形应用题的一般方法与步骤吗？

生

①分析：

理解题意，分清已知与未知，画出示意图．

②建模：

根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型．

③求解：

利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解．

④检验：

检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．

生即解斜三角形的基本思路：

师解斜三角形应用题常见的会有哪几种情况？

生实际问题经抽象概括后，已知与未知量全部集中在一个三角形中，一次可用正弦定理或余弦定理解之．

生实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个三角形中，这时需按顺序逐步在两个三角形中求出问题的解．

生实际问题经抽象概括后，涉及的三角形只有一个，但由题目已知条件解此三角形需连续使用正弦定理或余弦定理．

某人在M汽车站的北偏西20°的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶．公路的走向是M站的北偏东40°．开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A的距离缩短了10千米．问汽车还需行驶多远，才能到达M汽车站？

解：

由题设，画出示意图，设汽车前进20千米后到达B处．在△ABC中，AC=31，BC=20，AB=21，由余弦定理得

则

所以sin∠MAC=sin（120°-C）=sin120°cosC-cos120°sinC=

.

在△MAC中，由正弦定理得

，从而有MB=MC-BC=15.

答：

汽车还需要行驶15千米才能到达M汽车站．

课堂小结

通过本节学习,要求大家在了解解斜三角形知识在实际中的应用的同时,掌握由实际问题向数学问题的转化,并提高解三角形问题及实际应用题的能力.

布置作业

课本第14页练习1、2.

板书设计

解决有关测量距离的问题

1.提出问题

2.分析问题　　　　　　　　　演示反馈

3.解决问题　　　　　　　　　总结提炼