统计学第七章第八章课后题答案.docx

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统计学第七章第八章课后题答案

统计学复习笔记

第七章参数估计

一、思考题

1．解释估计量和估计值

在参数估计中，用来估计总体参数的统计量称为估计量.估计量也是随机变量.如样本均值，样本比例、样本方差等.

根据一个具体的样本计算出来的估计量的数值称为估计值.

2．简述评价估计量好坏的标准

（1）无偏性:

是指估计量抽样分布的期望值等于被估计的总体参数。

（2）有效性：

是指估计量的方差尽可能小。

对同一总体参数的两个无偏估计量，有更小方差的估计量更有效。

（3）一致性：

是指随着样本量的增大，点估计量的值越来越接近被估总体的参数。

3．怎样理解置信区间

在区间估计中，由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间。

置信区间的论述是由区间和置信度两部分组成.有些新闻媒体报道一些调查结果只给出百分比和误差（即置信区间），并不说明置信度,也不给出被调查的人数，这是不负责的表现.因为降低置信度可以使置信区间变窄（显得“精确”）,有误导读者之嫌。

在公布调查结果时给出被调查人数是负责任的表现。

这样则可以由此推算出置信度（由后面给出的公式），反之亦然。

4．解释95％的置信区间的含义是什么

置信区间95%仅仅描述用来构造该区间上下界的统计量（是随机的）覆盖总体参数的概率。

也就是说，无穷次重复抽样所得到的所有区间中有95％（的区间）包含参数。

不要认为由某一样本数据得到总体参数的某一个95%置信区间，就以为该区间以0。

95的概率覆盖总体参数。

5．简述样本量与置信水平、总体方差、估计误差的关系。

1.估计总体均值时样本量n为

2.样本量n与置信水平1—α、总体方差、估计误差E之间的关系为

▪与置信水平成正比，在其他条件不变的情况下，置信水平越大，所需要的样本量越大；

▪与总体方差成正比,总体的差异越大，所要求的样本量也越大；

▪与与总体方差成正比，样本量与估计误差的平方成反比，即可以接受的估计误差的平方越大，所需的样本量越小。

二、练习题

1．从一个标准差为5的总体中采用重复抽样方法抽出一个样本量为40的样本,样本均值为25。

1）样本均值的抽样标准差等于多少？

2）在95％的置信水平下，估计误差是多少？

解:

已知总体标准差σ=5，样本容量n=40，为大样本,样本均值=25,

（1）样本均值的抽样标准差===0.7906

（2）已知置信水平1－=95%，得=1。

96，

于是，允许误差是E==1.96×0.7906=1.5496。

2．某快餐店想要估计每位顾客午餐的平均花费金额，在为期3周的时间里选取49名顾客组成了一个简单随机样本。

1）假定总体标准差为15元，求样本均值的抽样标准误差。

2）在95%的置信水平下，求估计误差。

3）如果样本均值为120元，求总体均值µ的95％的置信区间。

解：

（1）已假定总体标准差为=15元，

则样本均值的抽样标准误差为===2.1429

（2）已知置信水平1－=95％，得=1.96,

于是，允许误差是E==1.96×2.1429=4。

2000.

（3）已知样本均值为=120元，置信水平1－=95％，得=1。

96，

这时总体均值的置信区间为=120±4。

2=

可知，如果样本均值为120元，总体均值95%的置信区间为（115.8，124。

2）元。

3．从一个总体中随机抽取n=100的随机样本，得到=104560，假定总体标准差σ=85414,试构建总体均值µ的95％的置信区间。

解：

已知n=100，=104560，σ=85414,1—α＝95%，

由于是正态总体,且总体标准差已知.总体均值μ在1—α置信水平下的置信区间为

104560±1。

96×85414÷√100

=104560±16741.144

4．从总体中抽取一个n=100的简单随机样本，得到=81，s=12.要求：

1）构建µ的90％的置信区间.

2）构建µ的95％的置信区间。

3）构建µ的99％的置信区间。

解：

由于是正态总体，但总体标准差未知。

总体均值μ在1—α置信水平下的置信区间公式为

81±×12÷√100=81±×1。

2

1）1-α＝90％，1.65

其置信区间为81±1。

98

2）1—α＝95％，

其置信区间为81±2.352

3）1-α＝99％，2.58

其置信区间为81±3.096

5．利用下面的信息，构建总体均值的置信区间.

1）=25，σ=3.5，n=60，置信水平为95％

2）=119，s=23.89，n=75，置信水平为98％

3）=3。

149，s=0.974,n=32，置信水平为90％

解：

∵

∴1）1—α＝95％，

其置信区间为：

25±1.96×3。

5÷√60

=25±0.885

2）1-α＝98%,则α=0.02,α/2=0。

01,1-α/2=0.99，查标准正态分布表，可知：

2。

33

其置信区间为：

119±2.33×23.89÷√75

=119±6.345

3）1-α＝90％，1.65

其置信区间为:

3。

149±1.65×0.974÷√32

=3.149±0。

284

6．利用下面的信息，构建总体均值µ的置信区间：

1）总体服从正态分布,且已知σ=500,n=15，=8900,置信水平为95%。

解:

N=15，为小样本正态分布,但σ已知。

则1-α＝95%，.其置信区间公式为

∴置信区间为：

8900±1.96×500÷√15=（8646.7，9153.2）

2）总体不服从正态分布，且已知σ=500，n=35,=8900,置信水平为95％。

解：

为大样本总体非正态分布,但σ已知。

则1—α＝95%，。

其置信区间公式为

∴置信区间为:

8900±1。

96×500÷√35=（8733。

99066.1）

3）总体不服从正态分布，σ未知，n=35,=8900，s=500，置信水平为90％。

解：

为大样本总体非正态分布,且σ未知，1-α＝90％，1.65.

其置信区间为：

8900±1.65×500÷√35=（87619039）

4）总体不服从正态分布，σ未知，n=35，=8900，s=500，置信水平为99％。

解：

为大样本总体非正态分布，且σ未知,1-α＝99%，2。

58.

其置信区间为：

8900±2。

58×500÷√35=（8681。

99118.1）

7。

某大学为了解学生每天上网的时间,在全校7500名学生中采取不重复抽样方法随机抽取36人，调查他们每天上网的时间,得到下面的数据（单位：

小时）:

3。

3

3。

1

6.2

5。

8

2.3

4。

1

5。

4

4.5

3.2

4.4

2.0

5。

4

2。

6

6。

4

1。

8

3.5

5.7

2。

3

2.1

1.9

1.2

5.1

4。

3

4。

2

3。

6

0。

8

1.5

4.7

1.4

1。

2

2.9

3。

5

2。

4

0.5

3。

6

2。

5

求该校大学生平均上网时间的置信区间,置信水平分别为90％、95％和99％。

8。

从一个正态总体中随机抽取样本量为8的样本，各样本值分别为：

10，8,12,15,6,13，5，11。

求总体均值µ的95％置信区间.

解：

本题为一个小样本正态分布，σ未知。

先求样本均值：

=80÷8=10

再求样本标准差：

=√84/7=3.4641

于是，的置信水平为的置信区间是

    ，

已知，n=8，则，α/2=0。

025,查自由度为n-1=7的分布表得临界值2。

45

所以,置信区间为：

10±2。

45×3.4641÷√7

9.某居民小区为研究职工上班从家里到单位的距离，抽取了由16个人组成的一个随机样本，他们到单位的距离分别是：

10，3,14,8,6，9，12，11，7，5，10，15，9，16，13，2。

假设总体服从正态分布，求职工上班从家里到单位平均距离的95%的置信区间。

10。

从一批零件是随机抽取36个，测得其平均长度是149。

5，标准差是1。

93.

2）求确定该种零件平均长度的95％的置信区间。

3）在上面估计中，你使用了统计中的哪一个重要定理？

请解释。

解：

1）这是一个大样本分布.已知N=36，=149。

5，S=1.93，1—α=0.95，。

其置信区间为：

149.5±1。

96×1.93÷√36

2）中心极限定理论证：

如果总体变量存在有限的平均数和方差，那么，不论这个总体的分布如何，随着样本容量的增加,样本均值的分布便趋近正态分布。

在现实生活中，一个随机变量服从正态分布未必很多，但是多个随机变量和的分布趋于正态分布则是普遍存在的。

样本均值也是一种随机变量和的分布，因此在样本容量充分大的条件下，样本均值也趋近于正态分布，这为抽样误差的概率估计理论提供了理论基础。

11.某企业生产的袋装食品采用自动打包机包装，每袋标准重量为100克,现从某天生产的一批产品中按重复抽样随机抽取50包进行检查，测得每包重量如下：

（略）

已知食品包重服从正态分布，要求：

1）确定该种食品平均重量的95％的置信区间。

2）如果规定食品重量低于100克属于不合格，确定该批食品合格率的95％的置信区间。

12.假设总体服从正态分布，利用下面的数据构建总体均值μ的99％的置信区间。

解:

样本均值

样本标准差:

尽管总体服从正态分布，但是样本n=25是小样本，且总体标准差未知,应该用T统计量估计。

1—α=0.99，则α=0。

01，α/2=0.005，查自由度为n—1=24的分布表得临界值2。

8

的置信水平为的置信区间是    ,

13.一家研究机构想估计在网络公司工作的员工每周加班的平均时间，为此随机抽取了18个员工.得到他们每周加班的时间数据如下（单位：

小时）：

6

3

21

8

17

12

20

11

7

9

0

21

8

25

16

15

29

16

假定员工每周加班的时间服从正态分布。

估计网络公司员工平均每周加班时间的90％的置信区间。

解:

小样本，总体方差未知,用t统计量

均值=13.56，样本标准差s=7.801

置信区间：

=0.90,n=18，==1.7369

==（10。

36，16。

75）

14.利用下面的样本数据构建总体比例丌的置信区间：

3）n=44，p=0.51,置信水平为99%

4）n=300，p=0。

82，置信水平为95%

5）n=1150，p=0.48，置信水平为90％

解：

1）1-α=99%，α=0.01，α/2=0.005，1—α/2=0.995，查标准正态分布表，则2.58

2）1-α＝95%，

3）1-α＝90%，1。

65

分别代入

15.在一项家电市场调查中，随机抽取了200个居民户，调查他们是否拥有某一品牌的电视机,其中拥有该品牌电视机的家庭占23%.求总体比例的置信区间，置信水平分别为90%和95%。

已知样本容量n=200，为大样本，拥有该品牌电视机的家庭比率p=23%，

拥有该品牌电视机的家庭比率的抽样标准误差为

===2。

98%

⑴双侧置信水平为90％时，通过2－1=0.90换算为单侧正态分布的置信水平=0。

95，查单侧正态分布表得=1。

64，

此时的置信区间为=23％±1.64×2.98%=

可知,当置信水平为90％时，拥有该品牌电视机的家庭总体比率的置信区间为（18.11%，27.89%）。

⑵双侧置信水平为95％时，得=1。

96，

此时的置信区间为