数值计算石瑞民.docx
《数值计算石瑞民.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数值计算石瑞民.docx（30页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
数值计算石瑞民
习题一
1、取3.14,3.15,22,355作为的近似值，求各自的绝对误差，相
7113
对误差和有效数字的位数。
解：
x13.14
|对丄10211013
22
所以，X1有三位有效数字绝对误差：
e3.14，相对误差：
er—空
绝对误差限:
1102，相对误差限：
r二1031£102
x23.15
3.150.008401740.840741020.51010.51012
所以，x2有两位有效数字
绝对误差：
e3.15，相对误差：
er—注
绝对误差限：
RO1，相对误差限：
r「°1
X2
22
7
所以，X3有三位有效数字
绝对误差：
e
绝对误差限：
22，相对误差:
er
1102，相对误差限:
22
7
10
X1
355
113
355
113
6
所以，X4有七位有效数字
绝对误差：
e芸，相对误差：
*
0.51017
355
113
绝对误差限:
1106，相对误差限:
r1106
6
3、下列各数都是对准确数四舍五入后得到的近似数，试分别指出它们的绝对误差限和相对误差限，有效数字的位数。
X10.0315,X20.3015,X331.50,X45000
m=-1
411013
2
X1有三位有效数字
1104，相对误差:
2
解:
x10.0315
1-10
2
所以，n=3,
绝对误差限:
xx1
1
2a
10
>2
X2
0.3015
xx2
m=0
110
2
n=4.
所以，绝对误差限:
11004
2
X1有四位有效数字
1104，相对误差:
2
1
2a
10
丄103
6
X3
31.50
xX3
m=2
1102
2
n=4.
所以，绝对误差限:
11024
2
X1有四位有效数字
1102，相对误差:
2
1
2a
10
丄103
6
X4
5000
m=4
1
-10
2
n=4.
Xx4
所以，
绝对误差限:
144
1044
2
X1有四位有效数字
11000.5,
2
r丄10
2a
n11103102
25
计算J0的近似值，使其相对误差不超过解：
设取n位有效数字，由定理1.1知，
由.10100.3162…，所以，a13
由题意，应使110n10.1%，即1010n
6
所以，n=4,
即10的近似值取4位有效数字
相对误差:
4、
0.1%。
丄10n1
2a
近似值x3.162
6、在机器数系下F（10,8,L,U）中取三个数x0.23371258104,y0.33678429102,z0.33677811102，试按（xy）z禾口x（yz）两种算法计算xyz的值，并将结果与精确结果比较。
（xy）z
422
（0.23371258100.3367842910）0.3367781110
解：
（0.000000233712581020.33678429102）0.33677811102
0.336784523712581020.33677811102
22
0.33678452100.3367781110
0.00000641
1020.64100000
103
（yz）
0.23371258
104
2
（0.3367842910
0.33677811
102）
0.23371258
104
0.61800000000103
0.023371258
103
0.61800000000
103
0.641371258
103
0.64137126
103
yz
0.23371258
104
0.33678429102
0.33677811
102
0.00000023371258
1020.33678429
1020.33677811
0.00000641371258
102
0.64137126
103
x
x
102
所以，x（yz）比（xy）z精确，且x（yz）与xyz相同;
因此，在做三个以上的数相加时，需要考虑相加的两个同号数的阶数尽量接近。
&对于有效数
X1
3.1
05，
X2
0.001，x3
0.100，估计下列算式的相
对误差限。
y1
X1
X2
X3，
y1
X1X2X3，y3
X2
X3
解：
x13
.105
，m
1=1；
*
xx1
10
31
101
4
2
2
所以
（X1
）
1
2
10
3
同理
（X2）
丄
2
103
（X3）
1103
2
e（xj
1
2
103
er（xj
e（xj
X1
eg）
1
103
er（xj
eg）
2
X2
eg
1
103
erg）
e（X3）
2
X3
1103
1
2
「或
r（Xj
103
3.1025|
23
13
-10
1
2
或
100
0.001
21
丄103
1
2
或
r（X3）
103
0.100
21
er（X1X2X3）
X1
X2
X3
eX1
eX2
eX3
X2
X3
X1
X2
X3
3
©（yj
er（X1
X2X3）0.4997510
eg）
er（X1X2X3）er（X1X2）er（X3）
所以，
eg）
0.50516
er（y3）
x2
er（丄）
X3
er（X2）er（X3）
所以，
eg）
0.505
e「（Xi）er（X2）er（X3）
综合得：
r（y1）0.49975103,r（y2）0.50516,r（y3）0.505
9、试改变下列表达式，使其结果比较精确接近0，x
1表示x充分大）。
（1）
Inx1
Inx2，
X-Ix2
（2）
1
1
X
|x
1X
1
X
（3）
Jx
1-\
:
X
1
_，x
V
X11
X
（4）
1cc
）SX
X
0且x
X
（5）
1
—c
otx，
X
0且x
X
答案:
（1）
.X1
In1；
（3）
X
2
（4）
法一
:
用
1
cosx
2
X3XX3X'
-X2得出结果为：
2
cosxsinx
1
xsinxcosxsinx
sinx
1cosx
（其中
1
X
2
1cosxX
sinxsinx
1表示X充分
1
1
1
法二：
1cosx
12、试给出一种计算积分Ine10xnexdx近似值的稳定性递推算法解：
显然，In>0,n=1,2,…
当n=1时，得，I11xex1dx1
0e
当n》2时，由分部积分可得：
1
In0xnex1dx1nln1,n=2,3,…
①In1nIn1n=2,3…
②In1」n2,3,...,
n
下面比较两种算法的稳定性
①若已知|n1的一个近似值In1，则实际算得的In的近似值为
In1nIn1
所以，InIn（n）（ln1In1）
~
~
In
In
n
In1
In1
由此可以看出In1的误差放大n倍传到了In，误差传播速度逐步放大
②由In计算In1In11hnN,N1,1
n
若已知In的一个近似值是In，则实际计算的人1的近似值为
~1In
In1
n
~1~
所以，In1In1（InIn）
n
■
■
1
~
In1
In1
In
In
n
由此可以看出In的误差将缩小n倍传到了In，误差传播速度逐步衰减。
1
综上可看出，计算积分Ine10xnexdx的一种稳定性算法为
习题二
解：
令f（x）x32x24x7
f（3）100,f（4090,说明在［3，4］内有根,
利用二分法计算步骤
得出x103.632324219，x113.6321835938
1
bnan&心0.4882181103103满足精度要求
2
所以，x*X113.6321，共用二分法迭代11次。
2、证明1xsinx0在［0,1］内有一个根，使用二分法求误差不大于
1104的根。
2
证明：
令f（x）1xsinx
f（0）10;f
（1）sin10，
所以，f（0）f
（1）0
由零点定理知，f（x）在［0,1］内有一根
根据计算得出：
x*X150.98283，此时共迭代15次。
4、将一元非线性方程2cosxex0写成收敛的迭代公式，并求其在
X。
0.5附近的根，精确到102。
解：
令f（x）2cosxex
令f（x）=0，得到两种迭代格式
xe
1arccos一
2
In（2cosx）
1（x）\2，不满足收敛定理。
21e
\2
2（x）上沁tanx
2cosx
2（x0）I2（0.5）0.0087271，满足收敛定理
由方程写出收敛的迭代公式为xk1ln（2cosxk）
取初值为X。
0.5，得出近似根为：
x*X20.69307417
5、为方程x3x210在X。
1.5附近的一个根，设方程改写为下列等
收敛
（2）局部收敛
（3）不满足局部收敛条件
但由于丨1（x）|.I2（x），所以1（X）比2（X）收敛的慢
取第二种迭代格式Xk1（Xk21）1/3
取初值X01.5，迭代9次得x*X91.466
由牛顿迭代法知：
迭代结果为：
Xk1
Xk3
f（Xk）
3Xk31
2
3（Xk1）
k
0
1
2
3
Xk
2
1.88
1.87945
1.87
889
939
满足了精度要求，
x*x31.87939
&用牛顿法解方程1
x
C0
，导出计算
C的倒数而不用除法的一种
升级会员 