数值计算石瑞民.docx

1、数值计算石瑞民习题一1、取3.14,3.15, 22 , 355作为 的近似值，求各自的绝对误差，相7 113对误差和有效数字的位数。解：x1 3.14| 对丄 10 2 1 10132 2所以，X1有三位有效数字 绝对误差：e 3.14，相对误差：er 空绝对误差限:1 102，相对误差限：r 二 1031 102x2 3.153.15 0.00840174 0.84074 10 2 0.5 10 1 0.5 101 2所以，x2有两位有效数字绝对误差：e 3.15，相对误差：er 注绝对误差限： RO1，相对误差限：r1X2227所以，X3有三位有效数字绝对误差：e绝对误差限：22，相对误

2、差:er1102，相对误差限:22710X13551133551136所以，X4有七位有效数字绝对误差：e芸，相对误差：*0.5 101 7355113绝对误差限:1 106，相对误差限:r 1 10 663、下列各数都是对准确数四舍五入后得到的近似数，试分别指出它 们的绝对误差限和相对误差限，有效数字的位数。X1 0.0315, X2 0.3015, X3 31.50, X4 5000m=-14 1 10 132X1有三位有效数字110 4，相对误差:2解:x1 0.03151 -102所以，n=3,绝对误差限:x x112a102X20.3015x x2m=01 102n=4.所以， 绝对

3、误差限:1 10042X1有四位有效数字110 4，相对误差:212a10丄10 36X331.50x X3m=21 1022n=4.所以， 绝对误差限:1 10242X1有四位有效数字110 2，相对误差:212a10丄10 36X45000m=41-102n=4.X x4所以，绝对误差限:14 4104 42X1有四位有效数字1100 0.5 ,2r丄102an 1 1 10 3 10 22 5计算J0的近似值，使其相对误差不超过 解：设取n位有效数字，由定理1.1知，由.10 10 0.3162 ，所以，a1 3由题意，应使1 10 n 1 0.1%，即10 10n6所以，n=4,即10

4、的近似值取4位有效数字相对误差:4、0.1%。丄 10n12a近似值x 3.1626、在机器数系下F(10,8,L,U)中取 三个数x 0.23371258 10 4 , y 0.33678429 102 , z 0.33677811 102，试按(x y) z禾口 x (y z)两 种算法计算x y z的值，并将结果与精确结果比较。(x y) z4 2 2(0.23371258 10 0.33678429 10 ) 0.33677811 10解：(0.00000023371258 102 0.33678429 102) 0.33677811 1020.33678452371258 102 0

5、.33677811 1022 20.33678452 10 0.33677811 100.00000641102 0.6410000010 3(y z)0.2337125810 42(0.33678429 100.33677811102)0.2337125810 40.61800000000 10 30.02337125810 30.6180000000010 30.64137125810 30.6413712610 3y z0.2337125810 40.33678429 1020.336778111020.00000023371258102 0.33678429102 0.33677811

6、0.000006413712581020.6413712610 3xx102所以，x (y z)比(x y) z精确，且x (y z)与x y z相同;因此，在做三个以上的数相加时，需要考虑相加的两个同号数的阶数 尽量接近。&对于有效数X13.105，X20.001 ， x30.100，估计下列算式的相对误差限。y1X1X2X3，y1X1X2X3， y3X2X3解：x1 3.105，m1=1；*x x1103 110 1422所以(X1)12103同理(X2)丄210 3(X3)110 32e(xj1210 3er(xje(xjX1eg)110 3er(xjeg)2X2eg110 3erg)e

7、(X3)2X31 10 312或r(Xj10 33.1025|2 31 3-1012或1000.0012 1丄10 312或r(X3)10 30.1002 1er(X1 X2 X3)X1X2X3e X1e X2e X3X2X3X1X2X33(yjer(X1X2 X3) 0.49975 10eg)er(X1X2X3) er (X1X2) er(X3)所以，eg)0.50516er (y3)x2er (丄)X3er(X2)er ( X3 )所以，eg)0.505e(Xi) er(X2) er(X3)综合得： r(y1) 0.49975 10 3 , r(y2) 0.50516 , r(y3) 0.

8、5059、试改变下列表达式，使其结果比较精确 接近0， x1表示x充分大）。（1）In x1In x2，X-I x2（2）11X|x1 X1X（3）Jx1- :X1_， xVX 11X（4）1 cc)SXX0且 xX（5）1cotx，X0且 xX答案:（1）.X1In 1 ；（3）X2（4）法一:用1cosx2 X3 X X3 X -X2得出结果为：2cosx sin x1x sin x cosx sin xsin x1 cosx（其中1X21 cosx Xsin x sin x1表示X充分111法二： 1 cosx12、试给出一种计算积分In e1 0xnexdx近似值的稳定性递推算法 解：

9、显然，In 0, n=1,2,当 n=1 时，得，I1 1xex1dx 10 e当n2时，由分部积分可得：1I n 0xnex 1dx 1 nln1 , n=2,3, In 1 nIn 1 n=2,3 In1n 2,3,.,n下面比较两种算法的稳定性若已知| n 1的一个近似值I n 1，则实际算得的I n的近似值为I n 1 n I n 1所以，In I n ( n)(ln 1 In 1)InI nnI n 1I n 1由此可以看出In1的误差放大n倍传到了 In，误差传播速度逐 步放大由 In 计算 In 1 In 1 1 h n N,N 1, 1n若已知In的一个近似值是In，则实际计算

10、的人1的近似值为 1 I nI n 1 n 1 所以，In 1 In 1 (I n I n)n1I n 1I n 1I nI nn由此可以看出In的误差将缩小n倍传到了 In，误差传播速度逐 步衰减。1综上可看出，计算积分In e1 0xnexdx的一种稳定性算法为习题二解：令 f(x) x3 2x2 4x 7f(3) 10 0, f(40 9 0,说明在3，4内有根,利用二分法计算步骤得出 x10 3.632324219， x11 3.63218359381bn an & 心 0.4882181 10 3 10 3满足精度要求2所以，x* X11 3.6321，共用二分法迭代11次。2、证明

11、1 x si nx 0在0,1内有一个根，使用二分法求误差不大于110 4的根。2证明：令 f(x) 1 x sinxf(0) 1 0; f (1) sin1 0，所以，f(0) f(1) 0由零点定理知，f (x)在0,1内有一根根据计算得出：x* X15 0.98283，此时共迭代15次。4、将一元非线性方程2cosx ex 0写成收敛的迭代公式，并求其在X。0.5附近的根，精确到10 2。解：令 f (x) 2cosx ex令f (x) =0，得到两种迭代格式x e1 arccos一2In (2cosx)1(x) 2，不满足收敛定理。2 1 e 22(x)上沁 tanx2cosx2(x0

12、) I 2(0.5) 0.008727 1，满足收敛定理由方程写出收敛的迭代公式为xk 1 ln (2cosxk)取初值为X。0.5，得出近似根为：x* X2 0.693074175、为方程x3 x2 1 0在X。1.5附近的一个根，设方程改写为下列等收敛(2)局部收敛(3)不满足局部收敛条件但由于丨1(x)|. I 2(x)，所以1(X)比2(X)收敛的慢取第二种迭代格式 Xk 1 (Xk2 1)1/3取初值X0 1.5，迭代9次得x* X9 1.466由牛顿迭代法知：迭代结果为：Xk 1Xk 3f (Xk)3Xk3 123(Xk 1)k0123Xk21.881.879451.87889939满足了精度要求，x* x3 1.87939&用牛顿法解方程1xC 0，导出计算C的倒数而不用除法的一种