暑假新高考新教材初升高数学讲义初中部分教师版.docx

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暑假新高考新教材初升高数学讲义初中部分教师版

新高考新教材初升高数学讲义（初中部分）

教师用

（2019版）

编著：

数学教研室

时间：

2019年7月

第一讲：

复习一元二次方程

第二讲：

复习一元二次函数

第三讲：

复习不等式、不等式组

第一讲：

复习一元二次方程

一、知识点与例题讲解

根的判别式

我们知道，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），用配方法可以将其变形为

．①

因为a≠0，所以，4a2＞0．于是

（1）当b2－4ac＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根

x1，2＝

；

（2）当b2－4ac＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根

x1＝x2＝－

；

（3）当b2－4ac＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边

一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．

由此可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况可以由b2－4ac来判定，我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．

综上所述，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有

（1）当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根

x1，2＝

；

（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根

x1＝x2＝－

；

（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．

例1判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．

（1）x2－3x＋3＝0；

（2）x2－ax－1＝0；

（3）x2－ax＋（a－1）＝0；（4）x2－2x＋a＝0．

解：

（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根．

（2）该方程的根的判别式Δ＝a2－4×1×（－1）＝a2＋4＞0，所以方程一定有两个不等的实数根

，

．

（3）由于该方程的根的判别式为

Δ＝a2－4×1×（a－1）＝a2－4a＋4＝（a－2）2，

所以，

①当a＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根

x1＝x2＝1；

②当a≠2时，Δ＞0，所以方程有两个不相等的实数根

x1＝1，x2＝a－1．

（3）由于该方程的根的判别式为

Δ＝22－4×1×a＝4－4a＝4（1－a），

所以

①当Δ＞0，即4（1－a）＞0，即a＜1时，方程有两个不相等的实数根

，

；

②当Δ＝0，即a＝1时，方程有两个相等的实数根

x1＝x2＝1；

③当Δ＜0，即a＞1时，方程没有实数根．

说明：

在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题．

根与系数的关系（韦达定理）

若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根

，

，

则有

；

．

所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：

如果ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x1，x2，那么x1＋x2＝

，x1·x2＝

．这一关系也被称为韦达定理．

特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知

x1＋x2＝－p，x1·x2＝q，

即p＝－（x1＋x2），q＝x1·x2，

所以，方程x2＋px＋q＝0可化为x2－（x1＋x2）x＋x1·x2＝0，由于x1，x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2－（x1＋x2）x＋x1·x2＝0．因此有

以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是

x2－（x1＋x2）x＋x1·x2＝0．

例2已知方程

的一个根是2，求它的另一个根及k的值．

分析：

由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k的值．

解法一：

∵2是方程的一个根，

∴5×22＋k×2－6＝0，

∴k＝－7．

所以，方程就为5x2－7x－6＝0，解得x1＝2，x2＝－

．

所以，方程的另一个根为－

，k的值为－7．

解法二：

设方程的另一个根为x1，则2x1＝－

，∴x1＝－

．

由（－

）＋2＝－

，得k＝－7．

所以，方程的另一个根为－

，k的值为－7．

例3已知关于x的方程x2＋2（m－2）x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值．

分析：

本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m的方程，从而解得m的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零．

解：

设x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得

x1＋x2＝－2（m－2），x1·x2＝m2＋4．

∵x12＋x22－x1·x2＝21，

∴（x1＋x2）2－3x1·x2＝21，

即[－2（m－2）]2－3（m2＋4）＝21，

化简，得m2－16m－17＝0，

解得m＝－1，或m＝17．

当m＝－1时，方程为x2＋6x＋5＝0，Δ＞0，满足题意；

当m＝17时，方程为x2＋30x＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去．

综上，m＝17．

说明：

（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m的值，取满足条件的m的值即可．

（1）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式Δ是否大于或大于零．因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根．

例4已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．

分析：

我们可以设出这两个数分别为x，y，利用二元方程求解出这两个数．也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解．

解法一：

设这两个数分别是x，y，

则x＋y＝4，①

xy＝－12．②

由①，得y＝4－x，

代入②，得

x（4－x）＝－12，

即x2－4x－12＝0，

∴x1＝－2，x2＝6．

∴

或

因此，这两个数是－2和6．

解法二：

由韦达定理可知，这两个数是方程

x2－4x－12＝0

的两个根．

解这个方程，得

x1＝－2，x2＝6．

所以，这两个数是－2和6．

说明：

从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷．

例5若x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根．

（1）求|x1－x2|的值；

（2）求

的值；

（3）x13＋x23．

解：

∵x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根，

∴

，

．

（1）∵|x1－x2|2＝x12+x22－2x1x2＝（x1＋x2）2－4x1x2＝

＝

＋6＝

，

∴|x1－x2|＝

．

（2）

．

（3）x13＋x23＝（x1＋x2）（x12－x1x2＋x22）＝（x1＋x2）[（x1＋x2）2－3x1x2]

＝（－

）×[（－

）2－3×（

）]＝－

．

说明：

一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：

设x1和x2分别是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），则

，

，

∴|x1－x2|＝

．

于是有下面的结论：

若x1和x2分别是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），则|x1－x2|＝

（其中Δ＝b2－4ac）．

今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论．

例6若关于x的一元二次方程x2－x＋a－4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a的取值范围．

解：

设x1，x2是方程的两根，则

x1x2＝a－4＜0，①

且Δ＝（－1）2－4（a－4）＞0．②

由①得a＜4，

由②得a＜

．

∴a的取值范围是a＜4．

二、课堂练习

1．选择题：

（1）方程

的根的情况是（）

（A）有一个实数根（B）有两个不相等的实数根

（C）有两个相等的实数根（D）没有实数根

（2）若关于x的方程mx2＋（2m＋1）x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）

（A）m＜

（B）m＞－

（C）m＜

，且m≠0（D）m＞－

，且m≠0

2．填空:

（1）若方程x2－3x－1＝0的两根分别是x1和x2，则

＝．

（2）方程mx2＋x－2m＝0（m≠0）的根的情况是．

（3）以－3和1为根的一元二次方程是．

3．已知

，当k取何值时，方程kx2＋ax＋b＝0有两个不相等的实数根？

4．已知方程x2－3x－1＝0的两根为x1和x2，求（x1－3）（x2－3）的值．

三、课后巩固提升

A组

1．选择题:

（1）已知关于x的方程x2＋kx－2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（）

（A）－3（B）3（C）－2（D）2

（2）下列四个说法：

①方程x2＋2x－7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7；

②方程x2－2x＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；

③方程3x2－7＝0的两根之和为0，两根之积为

；

④方程3x2＋2x＝0的两根之和为－2，两根之积为0．

其中正确说法的个数是（）

（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个

（3）关于x的一元二次方程ax2－5x＋a2＋a＝0的一个根是0，则a的值是（）

（A）0（B）1（C）－1（D）0，或－1

2．填空:

（1）方程kx2＋4x－1＝0的两根之和为－2，则k＝．

（2）方程2x2－x－4＝0的两根为α，β，则α2＋β2＝．

（3）已知关于x的方程x2－ax－3a＝0的一个根是－2，则它的另一个根是．

（4）方程2x2＋2x－1＝0的两根为x1和x2，则|x1－x2|＝．

3．试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程m2x2－（2m＋1）x＋1＝0有两个不相等的实数根？

有两个相等的实数根？

没有实数根？

4．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x2－7x－1＝0各根的相反数．

B组

1．选择题:

若关于x的方程x2＋（k2－1）x＋k＋1＝0的两根互为相反数，则k的值为（）

（A）1，或－1（B）1（C）－1（D）0

2．填空:

（1）若m，n是方程x2＋2019x－1＝0的两个实数根，则m2n＋mn2－mn的值等于．

（2）如果a，b是方程x2＋x－1＝0的两个实数根，那么代数式a3＋a2b＋ab2＋b3的值是．

3．已知关于x的方程x2－kx－2＝0．

（1）求证：

方程有两个不相等的实数根；

（2）设方程的两根为x1和x2，如果2（x1＋x2）＞x1x2，求实数k的取值范围．

4．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根为x1和x2．求：

（1）|x1－x2|和

；

（2）x13＋x23．

5．关于x的方程x2＋4x＋m＝0的两根为x1，x2满足|x1－x2|＝2，求实数m的值．

答案

二、课堂练习

1．

（1）C

（2）D

2．

（1）－3

（2）有两个不相等的实数根（3）x2＋2