积分变换课后答案docx.docx

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积分变换课后答案docx

1-1

1．试证：

若ft满足Fourier积分定理中的条件，则有

ft

a

costd

b

sin

td

0

0

1

f

cos

d,b

1

sind.

其中a

f

π

π

分析：

由Fourier积分的复数形式和三角形式都可以证明此题，请读者试用三角形式证明.

证明：

利用Fourier积分的复数形式，有

ft

1

f

ejtej

td

2π

1

1

f

cos

jsin

dejtd

2π

1

jb

costjsintd

a

2

由于aa,b

b

所以

f

1

a

costd

1

b

sintd

t

2

2

a

costd

b

sintd

0

0

2．求下列函数的Fourier

积分：

1）f

1

t2,

t2

1

2）

f

0,

t

0

t

t2

;

t

;

0,

1

et

sin2t,t

0

0,

t

1

3）

f

1,

1

t

0

t

0

t

1

1,

0,

1

t

分析：

由Fourier

积分的复数形式和三角形式都可以解此题，

请读者试用三

角形式解.

解：

1）函数f

1

t2,t2

1

t

t2

为连续的偶函数，其Fourier变换为

0,

1

F（

）

F[f（t）]

f（t）ejtdt

2

f（t）cos

tdt2

1

t2）costdt

（1

0

0

—

sint

2tcost

2sintt2sint

1

cos）

4（sin

（

偶函

2

2

3

3

0

数）

f（t）的Fourier积分为

f（t）

1

F（

）ejtd

1

F（

）cos

td

2π

π0

4

（sin

cos

）

td

π0

3

cos

2）所给函数为连续函数，其

Fourier

变换为

FωF

f（t）

f（t）ejtdt

et

sin2

tejtdt

0

0

ete2tj

e2tj

ejtdt

1

0

[e（12j

j）t

e（12j

j）t]dt

2j

2j

1e（12jj

）t

e（12jj

）t

2j

12j

j

12j

j

0

j

1

1

25

2

1（2

）j1（2

）j

256

2

2j

24（实部为偶函数，虚

数为奇函数）

f（t）的Fourier

变换为

ft

1

F（

）ej

td

2π

1

2

5

2

2

j

cost

jsin

td

2π

25

6

2

4

1

5

2cos

t

2

sin

t

1

5

2sin

t

2cos

t

π

25

6

2

4

d

π

256

2

4

d

2

5

2cos

t

2

sin

t

π0

25

6

2

4

d

这里用到奇偶函数的积分性质.

3）所给函数有间断点-1，0，1

且f（-t）=-f（t）是奇函数，其Fourier

变换为

F

F

f（t）

f（t）e

jtdt

2j

0

f（t）sin

tdt

欢迎下载2

—

2j

1

tdt

2j（cos

1）（奇函数）

1sin

0

f（t）的Fourier

积分为

f（t）=

1

F

ejtd

j

Fsintd

2π0

π0

2

1

cos

td

sin

π0

其中t

-1

，，（在间断点

f

t0

0f

t0

0代替）

.

0

1

t0处，右边f（t）应以

2

3．求下列函数的Fourier

变换，并推证下列积分结果：

1）ft

e

t

（

0）,证明：

cos

t

π

t

0

2

2d

2

e

;

t

2

2cos

πetcost;

2）f（t）

e

cost，证明：

0

4

td

4

2

sint,

t

π

sin

πsin

t

π

π

3）f（t）

sint,t

0,

t

，证明：

0

1

2

d

2

π

0,

t

π

证明：

1）函数ft

e

t

为连续的偶函数，其Fourier

变换为

F

F

ft

e

tej

tdt

2

et

cos

tdt

0

e

t

cos

t

sin

t

t

2

2

2

2

2

2

t

0

再由Fourier

变换得

f

t

1

F

e

j

t

d

1

2

2cos

tdt

2π

π0

2

即

cos

t

π

e

t

0

2

2d

2

2）函数

f

t

etcos为连续的偶函数，其

Fourier

变换为

t

F（）ftejtdtetcostejtdt

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—

et

ejt

ejt

ejtdt

2

1

0

j）tdt

0

e（1j

j）tdt

e（1j

）tdt

e（1jj）tdt

e（1j

j

2

0

0

1e（1j

j）t

0

e（1jj）t

0

e（1