积分变换课后答案docx.docx

1、积分变换课后答案docx1-11 试证：若 f t 满足 Fourier 积分定理中的条件，则有f tacos tdbsintd001fcosd , b1sin d .其中 af分析：由 Fourier 积分的复数形式和三角形式都可以证明此题，请读者试用三角形式证明 .证明：利用 Fourier 积分的复数形式，有f t1fe j t ejt d211fcosj sind ej t d21j bcos t j sin t da2由于 aa, bb, 所以f1acos td1bsin tdt22acos tdbsin t d002求下列函数的 Fourier积分：1） f1t 2 ,t 212)

2、f0,t0tt 2;t;0,1e tsin 2t, t00,t13)f1,1t0t0t11,0,1t分析：由 Fourier积分的复数形式和三角形式都可以解此题，请读者试用三角形式解 .解： 1）函数 f1t 2 , t 21tt 2为连续的偶函数，其 Fourier 变换为0,1F ()F f (t )f (t)e j td t2f (t )costdt 21t 2 )cos tdt(100sin t2t cos t2sin t t 2 sin t1cos )4(sin(偶 函22330数)f(t)的 Fourier 积分为f (t )1F ()ej t d1F ()costd2 04(si

3、ncos)td 03cos2) 所给函数为连续函数，其Fourier变换为F Ff (t )f (t )e j t dte tsin 2te j t dt00e t e2tje 2tje j t dt10e( 1 2jj ) te (1 2jj )t d t2j2j1e( 1 2j j)te (1 2j j)t2j1 2jj1 2jj0j112 521 (2)j 1 (2)j25 622 j2 4 （实部为偶函数， 虚数为奇函数）f (t)的 Fourier变换为f t1F ()ejt d212522jcos tjsint d225624152 cost2sint152 sint2 cost2

4、5624d25 624d252 cost2sint 025624d这里用到奇偶函数的积分性质 .3）所给函数有间断点 -1 ，0，1且 f(- t)= - f(t)是奇函数，其 Fourier变换为FFf ( t )f ( t)ej t dt2j0f (t )sintdt欢迎下载 22j1tdt2j(cos1) （奇函数）1 sin0f(t)的 Fourier积分为f ( t) =1Fej t djFsin td2 0 021costdsin0其中 t-1， ， （在间断点ft00 ft 00 代替）.01t0 处，右边 f(t)应以23求下列函数的 Fourier变换，并推证下列积分结果：1

5、） f tet(0), 证明：costt022 d2e;t22 cose t cos t;2） f ( t)ecost，证明：04td42sin t,tsinsint3） f ( t)sin t , t0,t，证明：012d20,t证明： 1）函数 f tet为连续的偶函数，其 Fourier变换为FFf tet e jt dt2e tcostdt0etcostsintt222222t0再由 Fourier变换得ft1Fejtd122 costdt2 02即costet022 d22）函数fte t cos 为连续的偶函数，其Fourier变换为tF ( ) f t e j t dt e t cos te j t dt欢迎下载 3e tej te j te j t dt210j )t dt0e(1 jj )t dte( 1 j) t dte (1 j j ) t dte( 1 jj2001e(1 jj )t0e (1 j j ) t0e( 1