高二上学期第一次月考数学试题解析版19.docx
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高二上学期第一次月考数学试题解析版19
高二（上）第一次月考数学试卷
一、选择题：
（共60分）
1．（5分）下列命题正确的是（ ）
A．四条线段顺次首尾连接，所得的图形一定是平面图形
B．一条直线和两条平行直线都相交，则三条直线共面
C．两两平行的三条直线一定确定三个平面
D．和两条异面直线都相交的直线一定是异面直线
2．（5分）斜率为4的直线经过点A（3，5），B（a，7），C（﹣1，b）三点，则a，b的值为（ ）
A．a=
B．a=﹣
，b=﹣11C．a=
，b=﹣11D．a=﹣
，b=11
3．（5分）直线mx+ny+3=0在y轴上的截距为﹣3，而且它的倾斜角是直线
x﹣y=3
倾斜角的2倍，则（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（5分）如图，α∩β=l，A，B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l=M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过（ ）
A．点AB．点BC．点C但不过点MD．点C和点M
5．（5分）过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥侧面分成的三部分的面积之比为（ ）
A．1：
2：
3B．1：
3：
5C．1：
2：
4D．1：
3：
9
6．（5分）已知水平放置的△ABC的直观图△A′B′C′（斜二测画法）是边长为
a的正三角形，则原△ABC的面积为（ ）
A．
a2B．
a2C．
a2D．
a2
7．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．1
8．（5分）直线2xcosα﹣y﹣3=0（α∈[
，
]）的倾斜角的变化范围是（ ）
A．[
，
]B．[
，
]C．[
，
）D．[
，
]
9．（5分）若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（5分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是（ ）
A．CC1与B1E是异面直线
B．AC⊥平面ABB1A1
C．AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1
D．A1C1∥平面AB1E
11．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为
，Q到α的距离为
，则P、Q两点之间距离的最小值为（ ）
A．1B．2C．
D．4
12．（5分）已知球O，过其球面上A，B，C三点作截面，若O点到该截面的距离等于球半径的一半，且AB=BC=2，∠B=120°，则球O的表面积为（ ）
A．
B．
C．4πD．
二、填空题：
（共20分）
13．（5分）设α，β为不重合的两个平面，给出下列命题：
①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；
②若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；
③设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；
④若l与α内的两条直线垂直，则直线与α垂直．
上面命题中，正确的序号是 ．（写出所有正确命题的序号）
14．（5分）过点M（﹣3，5）且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为 ．
15．（5分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是 ．
16．（5分）将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A﹣BD﹣C，有如下四个结论：
①AC⊥BD；
②△ACD是等边三角形；
③AB与平面BCD成60°的角；
④AB与CD所成的角为60°；
其中正确结论是 （写出所有正确结论的序号）
三、解答题：
（共70分）
17．（10分）如图是一个几何体的正视图和俯视图．
（Ⅰ）试判断该几何体是什么几何体？
（Ⅱ）画出其侧视图，并求该平面图形的面积．
18．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且
．
（1）求∠B的大小；
（2）若
的面积为
，求△ABC的周长．
19．（12分）已知直线l：
kx﹣y+1+2k=0（k∈R）．若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S（O为坐标原点），求S的最小值并求此时直线l的方程．
20．（12分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS=AB，过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：
（1）平面EFG∥平面ABC；
（2）BC⊥SA．
21．（12分）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1，点O1为B1D1的中点．
（1）求证：
AB1∥面A1O1D；
（2）若AB=
AA1，试问在线段BB1上是否存在点E使得A1C⊥AE，若存在求出
，若不存在，说明理由．
22．（12分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．
（1）若PA=PD，求证：
平面PQB⊥平面PAD；
（2）点M在线段PC上，PM=
PC，若平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD=AD，三棱锥M﹣BCQ的体积为
，求点Q到平面PAB的距离．
高二（上）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：
（共60分）
1．（5分）下列命题正确的是（ ）
A．四条线段顺次首尾连接，所得的图形一定是平面图形
B．一条直线和两条平行直线都相交，则三条直线共面
C．两两平行的三条直线一定确定三个平面
D．和两条异面直线都相交的直线一定是异面直线
【分析】对4个命题分别进行判断，即可得出结论．
【解答】解：
对于A，四条线段顺次首尾连接，可以是空间四边形，不正确；
对于B，一条直线和两条平行直线都相交，则三条直线共面，根据公理3的推理，可知正确；
对于C，两两平行的三条直线一定确定一个或三个平面，不正确；
对于D，和两条异面直线都相交的直线是异面直线或相交直线，不正确，
故选B．
【点评】本题考查平面的基本性质，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
2．（5分）斜率为4的直线经过点A（3，5），B（a，7），C（﹣1，b）三点，则a，b的值为（ ）
A．a=
B．a=﹣
，b=﹣11C．a=
，b=﹣11D．a=﹣
，b=11
【分析】利用AB和AC的斜率相等，把点的坐标代入两点表示的斜率公式计算即可．
【解答】解：
斜率为4的直线经过三点A（3，5），B（a，7），C（﹣1，b），
则
=
=4，
解得a=
，b=﹣11．
故选：
C．
【点评】本题考查了由两点坐标求斜率的应用问题，是基础题．
3．（5分）直线mx+ny+3=0在y轴上的截距为﹣3，而且它的倾斜角是直线
x﹣y=3
倾斜角的2倍，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】对于直线mx+ny+3=0，令x=0求出y的值，即为直线在y轴上的截距，根据截距为﹣3求出n的值，再由已知直线的斜率求出倾斜角，确定出所求直线的倾斜角，求出所求直线的斜率，即可求出m的值．
【解答】解：
对于直线mx+ny+3=0，令x=0，得到y=﹣
，即﹣
=﹣3，
解得：
n=1，
∵
x﹣y﹣3
=0的斜率为60°，
∴直线mx+ny+3=0的倾斜角为120°，即斜率为﹣
，
∴﹣
=﹣m=﹣
，即m=
．
故选D
【点评】此题考查了直线的倾斜角，以及直线的截距式方程，熟练掌握倾斜角与斜率的关系是解本题的关键．
4．（5分）如图，α∩β=l，A，B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l=M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过（ ）
A．点AB．点BC．点C但不过点MD．点C和点M
【分析】直线AB∩l=M，过A，B，C三点的平面记作γ，可得β∩γ=MC，即可得出结论．
【解答】解：
∵直线AB∩l=M，过A，B，C三点的平面记作γ，
∴β∩γ=MC，
∴γ与β的交线必通过点C和点M，
故选：
D．
【点评】本题考查平面与平面之间的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
5．（5分）过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥侧面分成的三部分的面积之比为（ ）
A．1：
2：
3B．1：
3：
5C．1：
2：
4D．1：
3：
9
【分析】先从得到的三个圆锥入手，根据“过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面”，结合相似比：
可知底面半径之比：
r1：
r2：
r3=1：
2：
3，母线长之比：
l1：
l2：
l3=1：
2：
3，侧面积之比：
S1：
S2：
S3=1：
4：
9，从而得到结论．
【解答】解：
由此可得到三个圆锥，
根据题意则有：
底面半径之比：
r1：
r2：
r3=1：
2：
3，
母线长之比：
l1：
l2：
l3=1：
2：
3，
侧面积之比：
S1：
S2：
S3=1：
4：
9，
所以三部分侧面面积之比：
S1：
（S2﹣S1）：
（S3﹣S2）=1：
3：
5
故选B
【点评】本题主要考查圆锥的结构特征，特别考查了截面问题，三角形相似比，属中档题．
6．（5分）已知水平放置的△ABC的直观图△A′B′C′（斜二测画法）是边长为
a的正三角形，则原△ABC的面积为（ ）
A．
a2B．
a2C．
a2D．
a2
【分析】根据斜二测法画直观图的步骤，把给出的直观图还原回原图形，然后直接利用三角形的面积公式求解．
【解答】解：
把边长为
a的正三角形A′B′C′还原回原三角形如图，
过C′作C′D垂直于x′轴于D，因为△A′B′C′是边长为
a的正三角形，
所以
，
过C′作C′E平行于x′轴交y′轴于E，则
，
所以，C′对应的原图形中的点C在平面直角坐标系xoy下的坐标为
，
即原三角形ABC底边AB上的高为
，
所以，
．
故选D．
【点评】本题考查了斜二测画直观图的方法，运用斜二侧画法画水平放置的平面图形的直观图时，在原坐标系下平行于坐标轴或在坐标轴上的线段在新系下仍然平行于坐标轴或在坐标轴上，平行于x轴或在x轴上的长度不变，平行于y轴或在y轴上的，长度变为原来的一半，该类问题有个二级结论，即原平面图形的面积和其直观图的面积比为
，此题是基础题．
7．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．1
【分析】由已知中的三视图可得：
该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，进而可得答案．
【解答】解：
由已知中的三视图可得：
该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，
棱锥的底面面积S=
×1×1=
，
高为1，
故棱锥的体积V=
=
，
故选：
A
【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．
8．（5分）直线2xcosα﹣y﹣3=0（α∈[
，
]）的倾斜角的变化范围是（ ）
A．[
，
]B．[
，
]C．[
，
）D．[
，
]
【分析】找出直线的斜率为2cosα，由α的范围确定出斜率的范围，设倾斜角为θ，tanθ即为下来范围，求出θ的范围即可．
【解答】解：
因为直线2xcosα﹣y﹣3=0的斜率k=2cosα，
由于α∈[
，
]，所以
≤cosα≤
，因此k=2cosα∈[1，
]．
设直线的倾斜角为θ，则有tanθ∈[1，
]，由于θ∈[0，π），
所以θ∈[
，
]，即倾斜角的变化范围是[
，
]．
故选B
【点评】让学生理解倾斜角的正切值为直线的斜率，会利用三角函数值确定角
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