多元函数微分学一十七.docx
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多元函数微分学一十七
第十一章多元函数微分学
本章提要
基本题念
多元函数，二元函数、区域（开域、闭域、有界域、无界域等）、二元函数的极限、二元函数连续、二元函数的几何意义、偏导数、二阶偏导数、混合偏导数、全微分、切平面、多元函数的极值、驻点、条件极值、方向导数、梯度
基本公式及方法
1、用复合函数求导法：
设函数
在点
处有偏导数，函数
在相应点
处有连续偏导数，则复合函数
在点
处有偏导数，且
；
2、利用隐函数微分法：
设方程
确定了
是
的函数
，且
，
连续及
，则
；
3、全微分公式：
二元函数
在点
处的全微分可以写成如下形式：
.
第一节多元函数的极限及连续性
一、填空题：
1、二元函数
的定义域；
2、二元函数
的定义域；
3、若
在
连续，则
=；
4、
在
处的全增量
=；
5、若
在
连续，则
=.
二、判断题：
1、多元函数是多个变量之间的对应（依赖）关系（）
2、决定多元函数是其定义域和对应法则（）
3、二元函数有两个自变量（）
4、二元函数的定义域是平面上的区域（）
5、闭域和开域只能是有界域（）
6、
以一定的方式趋向于点
时，相应的函数值
无限接近于一个确定的常数
，则称当
时，函数
的极限为
（）
7、二元函数
在
有极限，则
在
连续（）
8、在区域
内
和
都连续，则
在
内亦连续（）
三、计算题：
1、求下列函数的定义域并画出定义域的图形
（1）
；
（2）
.
2、已知
，求
和
.
3、已知
，求
.
4、求下列极限
（1）
；
（2）
；
（3）
.
5、判断函数
是否连续，并说明理由.
第二节偏导数
（一）
一、填空题
1、设函数
在点
的某个领域内有定义，固定自变量
，而自变量
在
处有改变量
时，相应地函数改变量为，
函数关于自变量的改变率为；
2、函数
在点
存在关于
的偏导数，可表示为，，，；
3、已知
，则
=，
=；
4、已知
，则
=，
=.
二、判断题
1、二元函数的偏导数就是只有一个自变量变化（另一个变量看成常数）时函数的变化率（）
2、偏导数记号
也可同一元函数导数的记号
一样，看成
之商（）
3、
（）
4、二元函数
在
存在偏导数，则
在
处连续（）
三、计算题
1、求下列偏导数：
（1）
；
（2）
；
（3）
；（4）
.
2、设
=
，求
，
.
四、证明题
设
，试证
.
第二节偏导数
（二）
一、填空题
1、二阶偏导数共有四个，分别表示为
，
，
，
；
2、已知
，则
=，
=，
=.
二、判断题
1、二阶偏导数包括二阶混合偏导数（）
2、二阶混合偏导数不属于高阶偏导数（）
3、二元函数两个混合偏导数一定是相等的（）
4、设函数
，有
（）
5、若二元函数
的两个二阶混合偏导数在点
连续，则在该点两个混合偏导数肯定相等（）
三、计算题
1、已知二元函数
，求其二阶偏导数.
2、已知二元函数
，求其二阶偏导数.
四、证明题
已知二元函数
，求证
.
第三节全微分
一、填空题
1、二元函数
在点
的全增量
，若二元函数在点
处可微，则全增量可表示为
；
2、二元函数
在点
处的全微分可以写成：
；
3、二元函数
在点（2，1）处，当
时的全
，
在点（2，1）处的全微分为
；
4、若三元函数
具有连续的偏导数，则其全微分为
.
二、判断题
1、若二元函数
在点
处可微，则函数
在点
处一定连续（）
2、若函数
在点
可微，则函数
在点
处的两个偏导数必定存在（）
3、若函数
在点（
）处可偏导，则函数
在点
处可微（）
三、解答题
1、求二元函数
的全微分.
2、求二元函数
在（0，1）处的全微分的值.
3、一柱形零件，直径为5cm，高为15cm，在此零件的表面镀上厚度为0.02cm的一层铜，估计所需铜的质量为多少（包括上、下底）？
（已知铜的密度为
）
4、利用全微分近似计算
的值.
第四节多元复合函数微分法及偏导数的几何应用
（一）
一、填空题
1、设函数
在点
处有偏导数，函数
在相应点
处有连续偏导数，则复合函数
在点
处的偏导数
，
；
2、设
，其复合关系如图所示：
则
，
；
3、设
，其复合关系如图所示：
则
，
；
4、设
，其复合关系如图所示：
则
.
二、计算题
1、已知
，
，求偏导数
，
.
2、设
，而
，求偏导数
，
.
3、设
，而
求偏导数
，
.
4、设
，而
，求全导数
.
三、证明题
设
，而
，证明
.
第四节多元复合函数微分法及偏导数的几何应用
（二）
一、填空题
1、设方程
确定了
是
的函数
，且
，
连续及
，则
，
；
2、设方程
，则
，
，
；
3、若
，则
.
二、判断题
1、设方程
确定了
是
的函数
连续及
则
（）
2、方程
，确定了一个二元函数（）
三、计算题
1、设方程
，求
.
2、设方程
，求
.
3、设方程
，求
.
四、证明题
设方程
，试证
.
第四节多元复合函数微分法及偏导数的几何应用（三）
一、填空题
1、若果点
，
为曲线上的两点，则割线
的极限（
）即为曲线在
点的；
2、若曲线
的参数方程为
（
），则割线
的方向向量割线
，割线
的方程为；假定函数
可导，且
不同时为零,则曲线
在点
处的切向量（即切线的方向向量）为，且曲线在该点的法平面方程为；
3、曲面∑的方程
为∑上的一点，
在点
处连续,且不同时为零,则该曲面在点
处的切平面的法向量为；曲面∑在
处的切平面与法向量的关系为，其方程为，过
点与切平面垂直的直线成为曲面∑在
点处的，其方程为；
4、若曲面方程由显函数
给出，可令
，此时，曲面在点
处的切平面方程为，法线方程为.
二、计算题
1、求球面
在点（1，2，4）处的切平面及法线方程.
2、求曲面
平行于
的切平面方程.
3、求曲线
在对应于
的点处的切线及法平面方程.
4、求曲面
在点（1，2，0）处的切平面及法线方程.
第五节多元函数的极值
（一）
一、填空题
1、设函数
在点
的某个邻域内有定义，如果函数在
点取极大值，则对在此邻域内除点
外的任意点
均有；
2、极值包括和；
3、若点
为函数
的驻点，、同时成立的点；
4、设函数
在点
的某个邻域内具有二阶连续偏导数，且
是驻点.设
，
，则当
时，点
是极值点，且当
时，点
是；当
时，点
是；若点
不是极值点，则；若不能判断点
是否是极值点，则；
5、函数
在点（0，0）取得，且其值为.
二、判断题
1、多元函数在某个区域内的极值（或极值点）是唯一的（）
2、极值唯一的情况下，极值点可以不唯一（）
3、多元函数的驻点不一定是极值点（）
4、多元函数的极值点必定是驻点（）
5、极大值一定要大于极小值（）
6、可导函数的极值点必定为驻点（）
三、计算题
1、求函数
的极值.
2、求函数
的极值.
3、求函数
的极值.
第五节多元函数的极值
（二）
一、判断题
1、有界闭区域上的连续二元函数一定能在该区域上取得最值（）
2、最值必在驻点中取得（）
3、最大值一定大于最小值（）
4、最大值或最小值只有一个（）
5、二元函数最值只能在区域中的一点中取得（）
6、函数的极值是个局部性概念，而最值是个全局性概念（）
7、若果函数的最大、最小值在区域内部取得，则它一定就是该函数的极大、极小值（）
8、若二元函数在区域内只有一个极值，则其极大值就是最大值，极小值就是最小值（）
9、条件极值化成无条件极值是将其化成原函数的无条件极值（）
10、函数
在点（0，0）取得最小值（）
二、计算题
1、求函数
在闭区域
上的极值.
2、现在要用铁板做成一个体积为
的有盖长方体水箱，问如何设计（即长、宽、高为多少时？
）才能最省料.（用两种方法求解）
3、在平面
上求一点，使它与坐标原点的距离最短.
4、某工厂生产
两种糖果，生产成本每500g分别为0.70元与0.80元，设售价分别为
（元），且已知
需求量为
，问如何定
才能使总利润最大.
5、设断面面积为
（常数）的等腰梯形渠道，当两岸倾角
，高
，底边边长
为多少时才能使湿周最小（如图）.
*第九节方向导数与梯度
一、填空题
1、设
为二元函数，若
，则函数
沿
方向，若
，则函数
沿
方向；
2、设
为二元函数在点
可微，
的方向余弦为
，则
在此点的沿
的方向导数为
；
3、设函数
，则在直角坐标系中梯度设
；
4、设
是曲面
在点（1，1，1）处指向外侧的法矢量，则
在此点沿
方向的方向导数=；
5、函数
在点（1，2，-2）处的梯度=.
二、判断题
1、多元函数的偏导数也是一种变化率（）
2、偏导数表示了多元函数沿任意方向的变化率（）
3、在同一点沿不同方向的方向导数一般是不相同的（）
4、梯度是方向导数最大的方向（）
5、多元函数在某点的梯度一定是唯一的（）
三、计算题
1、求函数
在点（1，1，1）处沿
方向的方向导数.
2、求函数
在点（2，-1，0）处的梯度，并求
方向的方向导数.
自测题
（限时120分钟）
一、选择（给出的四个选项中只有一个是最符合题意的，请将其填入题目后面的括号中，每题2分，共20分）
1、函数
在点
处具有偏导数是它在该点存在全微分的（）
A.必要条件；B.充分条件；C.充要条件；D.即非充分又非必要条件.
2、如果
在
的某领域内
存在，则
在
处（）
A.连续；B.可微；C.间断；D.不确定.
3、函数
在点
处对
的偏导数为（ ）
A.
； B.
；
C.
； D.
.
4、设函数
，则
（ ）
A.7； B.1； C.－7； D.－1.
5、函数
对于
的偏导数为（ ）
A.
； B.
； C.
； D.
.
6、设
，则
（）
A.
；B.
；C.
；D.
.
7、二元函数
的定义域为（ ）
A.
； B.
；C.
； D.
.
8、设
，则
（）
A.
；B.
；C.
；D.
.
9、设
，且
可导，则
（）
A.
；B.
；C.
；D.
.
10、已知函数
，则
（）
A.
；B.
；C.
；D.
.
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