北京海淀首师大附中高二上期中理数学真题卷.docx
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北京海淀首师大附中高二上期中理数学真题卷
首都师大附中2017-2018学年第一学期期中考试
高二（理科）数学
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求）
1．已知椭圆的一个焦点为
，离心率
，则该椭圆的标准方程为（）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由已知可得
，
，
故
，
又
，
所以椭圆的标准方程为
．
故选
．
2．已知抛物线
上的点
到准线的距离为
，则点
的横坐标为（）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】抛物线
的准线为
，
设点
的横坐标为
，
由于点
到准线的距离为
，
所以
，解得
．
故选
．
3．执行如图所示的程序框图，输出的
值为（）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，
，
，
，
，
循环结束，输出
的值
．
故选
．
4．直线
被椭圆
所截得的弦中点坐标是（）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】将直线方程
代入椭圆
得
，
设交点坐标为
，
，
则
，
，
∴
，
，
即直线被椭圆所截得的弦中点坐标为
．
故选
．
5．“椭圆的离心率为
”是“椭圆的方程为
”的（）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若椭圆的方程为
，则
，
，
，
椭圆的离心率
，
故必要性成立，
若椭圆的离心率
，
则
，
，
但
不一定等于
，故充分性不成立，
因此“椭圆的离心率为
”是“椭圆的方程为
”的必要不充分条件．
故选
．
6．如图，直线
与双曲线
的渐近线交于
，
两点，记
，
，任取双曲线
上的点
，若
，则
，
满足的一个等式是（）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意有
，
是渐近线方向向量，
又
，
点
在双曲线上，
所以
，
化简得
．
故选
．
7．已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，点
是双曲线右支上一点，且
，延长
交双曲线
于点
，若
，则双曲线
的离心率为（）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据题意，画出图形，如图所示，
设
，由双曲线的定义可得
，
，
，
由
，可得
，
即
，
解得
，
又
，
所以
，即
，
所以离心率
．
故选
．
8．如图，两个椭圆
，
内部重叠区域的边界记为曲线
，
是曲线
上的任意一点，给出下列四个判断：
①
到
，
，
，
四点的距离之和为定值；
②曲线
关于直线
，
均对称；
③曲线
所围区域面积必小于
；
④曲线
总长度不大于
．
上述判断中正确命题的序号为（）．
A．①②B．②③C．②③④D．①②③④
【答案】B
【解析】对于①，考虑点
不是交点的情况，若点
在椭圆
上，
到
，
两点的距离之和为定值，到
，
两点的距离之和不是定值，故①错误；
对于②，两个椭圆关于直线
，
均对称，故曲线
关于直线
，
均对称，故②正确；
对于③，曲线
所围区域在边长为
的正方形内部，所以面积必小于
，故③正确；
对于④，曲线
所围区域在半径为
的圆外部，所以曲线的总长度大于圆的周长
，故④错误．
综上所述，正确命题的序号是②③．
故选
．
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
9．
，
的否定是__________．
【答案】
，
【解析】全称命题的否定需将全称量词改为存在量词，
同时否定结论，故“
，
”的否定是
，
．
10．已知双曲线的右焦点为
，一条渐近线方程为
，则此双曲线的标准方程是__________．
【答案】
【解析】根据题意可知
，
，
又
，
计算可得
，
，
故双曲线的标准方程为
．
11．如下图，程序输出的是
，则判断框中应填__________．
【答案】
？
（或
？
）
【解析】第一次运行：
，判断成立，
，
；
第二次运行：
，判断成立，
，
；
第三次运行：
，判断不成立，故输出
，
故判断框中应填
？
（或
？
）．
12．若曲线
与曲线
有四个不同的交点，则实数
的取值范围是__________．
【答案】
【解析】由题意可知曲线
可化为
，
所以曲线
表示圆心为
，半径为
的圆，
表示两条直线
和
，
若曲线
与曲线
有
个不同的交点，
则
，且
与圆相交，
故圆心到直线的距离
，
即
，
解得
，
又
，
故实数
的取值范围是
．
13．设
，
分别为
和椭圆
上的点，则
，
两点间的最大距离是__________．
【答案】
【解析】设椭圆上的点为
，
∵圆
的圆心为
，半径为
，
∴椭圆上的点
到圆心
的距离为
，
∴
，
两点间的最大距离是
．
14．在平面直角坐标系
中，点
不与点
重合，称射线
与圆
的交点
为点
的“中心投影点”．
（
）点
的“中心投影点”为__________．
（
）曲线
上所有点的“中心投影点”构成的曲线的长度是__________．
【答案】（
）
（
）
【解析】（
）由题意可得射线
方程为
，
与圆
联立，解得
，
，
故点
的“中心投影点”为
．
（
）双曲线
的渐近线方程为
，
代入圆
可得四个交点，
，
，
，
，
即有曲线
上所有点的“中心投影点”构成的曲线为两段圆弧，且圆心角为
，半径为
，弧长为
．
三、解答题（本大题共4小题，共50分）
15．（
分）设
方程
有两个不等的负根；
对于
，不等式
恒成立．若
或
为真，
且
为假，求
的取值范围．
【答案】见解析．
【解析】解：
由已知
、
中有且仅有一为真，一为假，
若
是真命题，则
，即
，
若
是真命题，则
，即
．
故若
假
真，则
，即
．
若
真
假，则
，即
，【注意有文字】
综上所述，
的取值范围是
．
16．（
分）在直角坐标系
中，点
到两点
，
的距离之和为
，设点
的轨迹为
，直线
与轨迹
交于
，
两点．
（
）求出轨迹
的方程．
（
）若
，求弦长
的值．
【答案】见解析．
【解析】解：
（
）设
，由椭圆定义可知，点
的轨迹是以
，
为焦点，长半轴长为
的椭圆，
它的短半轴
，
故曲线
的方程为
．
（
）联立
，消去
，
整理得
，
设
，
，
则
，
，
，
若
，则
，
解得
，
故
．
17．（
分）抛物线
的焦点坐标为
．
（
）求抛物线
的方程．
（
）如图，点
为抛物线
的准线上一点，过点
作
轴的垂线交抛物线于点
，连接
并延长交抛物线于点
，求证：
直线
过定点．
【答案】见解析．
【解析】解：
（
）由已知可得
，
，
故抛物线
的方程为
．
（
）证明：
由（
）知：
，则
，
直线
的方程为
，
代入抛物线
的方程有：
，
当
时，
，
∴直线
的方程为：
，
即
，
∴此时直线
过定点
，
当
时，直线
的方程为
，此时仍过点
，
综上所述，直线
过定点
．
18．（
分）为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距
的
，
两点各建一个考察基地．视冰川面为平行面，以过
，
两点的直线为
轴，线段
的垂直平分线为
轴建立平面直角坐标系．在直线
的右侧，考察范围是到点
的距离不超过
的区域
；在直线
的左侧，考察范围是到
，
两点的距离之和不超过
的区域
．
（
）求考察区域边界
，
的曲线方程，并在如图的平面直角坐标系中画出考察区域的边界简图．
（
）考察区域的边界线上存在几对关于点
对称的点？
并写出对称点的坐标．
（
）如图所示，设
，
是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），其中：
，
，
．当冰川融化时，冰川的边界线
，
所在直线分别沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，每年移动
，问第几年开始，考察区域的边界上不再存在关于
对称的点．
【答案】见解析．
【解析】解：
（
）设边界曲线上点
的坐标为
，
当
时，由题意知
，
当
时，由
知，
点
在以
，
为焦点，长轴长
的椭圆上，
此时短半轴长
，
故其方程为
．
综上，考察区域边界（曲线）的方程为：
，
．
（
）设
位于椭圆
上，其关于
对称的点
位于圆
上，则：
，解得
或
，
故考察区域的边界上有且只有
对关于点
对称的点，对称点为
，
．
（
）∵
，
，
∴
的方程为
，
则点
到直线
的距离
，
∵
，
，
∴
的直线方程为
，
点
到直线
的距离
，
设第七年开始，考察区域的边界上不再存在关于点
对称的点，由于
，
且
，
解得
，
故从第
年开始，考察区域的边界上不再存在关于点
对称的点．
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