山西省学年高二上学期期末考试数学理试题.docx

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山西省学年高二上学期期末考试数学理试题

山西省2020-2021学年高二上学期期末考试数学（理）试题

学校:

___________姓名：

___________班级：

___________考号：

___________

一、单选题

1．命题“

，

”的否定是（）

A．

，

B．

，

C．

，

D．

，

2．设直线

的方向向量为

，平面

的法向量为

，则使

成立的是（）

A．

，

B．

，

C．

，

D．

，

3．已知直线

过点

，且在

轴上的截距为

，则直线

的方程为（）

A．

B．

C．

D．

4．刘徽注《九章商功》曰:

“当今大司农斛圆径一尺三寸五分五厘，深一尺，积一千四百四十一寸十分之三.王莽铜斛于今尺为深九寸五分五厘，径一尺三寸六分八厘七毫.以徽术计之，于今斛为容九斗七升四合有奇.”其中的“斛、斗、升”都是中国古代量器名，也是容量单位，并且形状各异，常见的斗叫“方斗”，“方斗”的形状是一种上大下小的正四棱台（两个底面都是正方形的四棱台）,如果一个方斗的三视图如图所示，则其容积为（）

正视图

侧视图

俯视图

A．

B．

C．

D．

5．抛物线

的准线经过双曲线

的左焦点，则抛物线

的焦点坐标为（）

A．

B．

C．

D．

6．设

，则“

”是“直线

与直线

平行”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

7．设

，

是两条不同的直线，

、

、

是三个不同的平面，下面四个命题中正确的是（）

A．若

，

，则

B．若

，

，则

C．若

，

，则

D．若

，

，

，则

8．正方体

中，异面直线

和

所成角为（）

A．

B．

C．

D．

9．若圆：

关于直线

对称，

，则

与

间的距离是（）

A．

B．

C．

D．

10．《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳌臑.在鳌臑

中，

平面

，

，

，鳌臑

的四个顶点都在同一个球上，则该球的表面积是（）

A．

B．

C．

D．

11．已知椭圆：

的左顶点为

，上顶点为

，右焦点为

，

，则椭圆

的离心率为（）

A．

B．

C．

D．

12．已知双曲线

的左、右焦点分别为

，

，离心率为

，过左焦点

引渐近线的垂线，垂足为

，

的面积是

，则双曲线

的方程为（）

A．

B．

C．

D．

二、填空题

13．以

为圆心，且与圆

外切的圆的标准方程是__________.

14．正四棱锥

中，

，

，则

与平面

所成角的正弦值为__________.

15．给出下列命题：

（1）直线

与线段

相交，其中

，

，则

的取值范围是

；

（2）点

关于直线

的对称点为

，则

的坐标为

；

（3）圆

上恰有

个点到直线

的距离为

；

（4）直线

与抛物线

交于

，

两点，则以

为直径的圆恰好与直线

相切.

其中正确的命题有_________.（把所有正确的命题的序号都填上）

三、双空题

16．倾斜角是

，且过点

的直线

交圆

于

，

两点，则直线

的一般式方程__________，

__________.

四、解答题

17．命题

：

直线

与圆

相交，命题

方程

表示焦点在

轴上的椭圆.

（1）若命题

为真，求

的取值范围；

（2）若命题

为真，求

的取值范围.

18．动点

到

的距离比到

轴的距离大

.

（1）求动点

的轨迹

的方程；

（2）过点

作斜率为

的直线

交曲线

于

，

两点，求

的面积.

19．如图，在四棱锥

中，四边形

是平行四边形，且

.

（1）证明：

平面

平面

；

（2）若

，

，求四棱锥

的体积.

20．已知直线

恒过定点

，过点

引圆

的两条切线，设切点分别为

，

.

（1）求直线

的一般式方程；

（2）求四边形

的外接圆的标准方程.

21．如图，已知三棱锥

，平面

平面

，点

，

分别为

、

的中点，

，

，

.

（1）证明：

平面

；

（2）求平面

与平面

所成角的大小.

22．已知椭圆

的左、右焦点分别为

，

，离心率为

，过右焦点

作直线

交椭圆

于

，

两点，

的周长为

，点

.

（1）求椭圆

的方程；

（2）设直线

、

的斜率

，

，请问

是否为定值？

若是定值，求出其定值；若不是，说明理由.

参考答案

1．C

【解析】

【分析】

否定命题的结论，同时把存在量词改为全称量词．

【详解】

命题“

，

”的否定是“

，

”．

故选：

C．

【点睛】

本题考查命题的否定，命题的否定除结论否定外，存在量词与全称量词需互换．

2．B

【解析】

【分析】

验证哪个选项中直线的方向向量与平面的法向量平行，则直线与平面垂直．

【详解】

计算

，A,C,D中都是

=0，只有B中

且

，即

，

故选：

B．

【点睛】

本题考查用向量法判断直线与平面垂直．直线的方向向量与平面的法向量平行时，直线与平面垂直，直线的方向向量与平面的法向量垂直时，如果直线不在平面内，则直线与平面平行．

3．B

【分析】

截距为3，说明直线过点（0,3），由此求得直线斜率，由斜截式写出直线方程并整理为一般式．

【详解】

由题意，直线l过点（0,3），∴其斜率为

，直线方程为y=-2x+3，即2x+y-3=0，

故选：

B.

【点睛】

本题考查直线方程，求直线方程可先求出直线斜率，然后由斜截式或点斜式写出直线方程，再化为一般式．

4．C

【分析】

由三视图观察尺寸，由棱台体积公式计算体积．

【详解】

由三视图，棱台体积为

．

故选：

C.

【点睛】

本题考查棱台的体积，掌握台体体积公式是解题基础．

5．A

【分析】

求出双曲线的左焦点坐标，从而求得抛物线的参数p，得抛物线焦点坐标．

【详解】

双曲线

中，

，∴双曲线的左焦点为

，右焦点

就是抛物线的焦点．

故选：

A．

【点睛】

本题考查求抛物线的焦点坐标，考查双曲线的几何性质．属于基础题．

6．A

【分析】

先求出两直线平行时的a值，然后再根据充分必要条件的概念判断．

【详解】

直线

与直线

平行，则

，

，

时，两直线方程分别为

，平行，

时，两直线方程分别为

，平行，

∴直线

与直线

平行的充要条件是

，

则“

”是“直线

与直线

平行”的充分不必要条件．

故选：

A.

【点睛】

本题考查充分必要条件的判断，判断充分必要条件一种是证明两个命题的真假，一种是求出命题成立的参数范围，利用集合的包含关系判断充分必要条件．

7．D

【分析】

根据面面垂直的性质判断A，B，由线面平行的性质判断C，由面面平行的性质判断D．

【详解】

若

，

，

与

也可以垂直，如正方体有公共点的三个面，A错；

若

，

，但

不与

的交线垂直时，

不与

垂直，还可以平行，B错；

若

，

，m与n可能异面，可能平行，C错；

若

，

，

，则

，这是面面平行的性质定理，D正确．

故选：

D.

【点睛】

本题考查空间线面间的位置关系，掌握面面垂直的性质定理，线面平行的性质定理，面面平行的性质定理是解题基础．

8．C

【分析】

由

可得异面直线所成的角，在三角形中求解即可．

【详解】

正方体中，

，∴

是异面直线

和

所成的角，而

是正三角形，∴

，∴异面直线

和

所成的角是

．

故选：

C.

【点睛】

本题考查异面直线所成的角，解题时需先作出这个角（必须证明），然后解三角形得结论．

9．D

【分析】

由圆心在直线l上求得m，然后由平行间距离公式求得距离．

【详解】

由题意

，圆

关于直线

对称，则

，

，即l方程为

，

所求距离为

．

故选：

D.

【点睛】

本题考查两平行线间的距离，解题时需由圆关于直线对称，即直线过圆心求出参数m，再则平行间距离公式计算．

10．C

【分析】

四个面都是直角三角形，由

得

，然后证明

，这样PC中点O，就是

外接球球心，易求得其半径，得面积．

【详解】

四棱锥

的四个面都是直角三角形，

∵

，∴

，又

平面

，∴AB是PB在平面ABC上的射影，

，∴

，取PC中点O，则O是

外接球球心．

由

得

，又

，则

，

，

所以球表面积为

．

故选：

C．

【点睛】

本题考查求球的表面积，解题关键是寻找外接球的球心：

三棱锥的外接球的球心一定在过各面外心且与此面垂直的直线上．

11．D

【解析】

【分析】

表示出各点坐标，由

得出

的等式，变形后可求离心率．

【详解】

由题意

，则

，

∴

，

，

，

∴

（

舍去）．

故选：

D．

【点睛】

本题考查求椭圆的离心率，解题关键是找到一个关于

的等量关系．本题中由已知

可得．

12．B

【分析】

离心率为

可得

，

与渐近线垂直，则有

，从而

，由

的面积是

，可得

，这样可求得

，得双曲线方程．

【详解】

如图，渐近线

方程是

，即

，由于

且

，

所以

，所以

，

，

，又

，即

，

∴

，

，

∴

，

，

双曲线方程为：

．

故选：

B.

【点睛】

本题考查双曲线的标准方程，按照题意列出关于

的两个等量关系即可求．题中如果掌握双曲线的性质，求解更加方便：

双曲线的焦点到渐近线的距离为

.

13．

【分析】

由圆心距离等于两圆半径之和求出所求圆的半径．

【详解】

设所求圆半径为

，则由题意

，

，

所以所求圆方程为：

．

故答案为：

．

【点睛】

本题考查求圆的标准方程，解题关键是掌握两圆外切的条件，由此求出圆半径．

14．

【分析】

作AE⊥PB，连接CE，则CE⊥PB，于是有PB⊥平面ACE，作

交

延长线于

，可得

平面PBC，从而

是直线PA与平面PBC所成的角．在

中计算出这个角的正弦值即可．

【详解】

在正四棱锥

中，取BC中点M，连接PM，则PM⊥BC，

，

作AE⊥PB，连接CE，则CE⊥PB，

，

由

得

．∴

，

，由

，得

是钝角，

作

交

延长线于

，连接PH，

由CE⊥PB，AE⊥PB，得PB⊥平面ACE，

平面ACE，∴PB⊥AH，

，∴

平面PBC，∴

是直线PA与平面PBC所成的角．

△ACE中，取AC中点O，连接EO，则EO⊥AC，且

，

，

在

中，

．

故答案为：

．

【点睛】

本题考查求直线与平面所成的角，解题关键是作出直线与平面所成的角，就是所谓的一作二证三计算．作图证明计算缺一不可．

15．

（2）（3）（4）

【分析】

根据两直线相交，点关于直线对称，直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系对各个命题进行判断．

【详解】

（1）由于直线

与线段AB有公共点，因此k的范围是

，

（1）错；

（2）

的中点坐标为

，

，即中点在直线

上，又

，直线

的斜率是2，相乘等于

，

与直线

垂直，

（2）正确；

（3）圆心C到直线l的距离为