第8章：广义函数和Dirac-Delta-函数.pptx

1、第8章：广义函数和Dirac Delta 函数11.广义函数的定义2.广义函数的运算法则3.广义函数的Fourier变换4.弱收敛和Dirac Delta 函数8.1 广义函数的定义 经典函数对每一个xE，有唯一确定的数 f(x)R1 与之对应，则称 f 是定义在 E 上的一个函数.R1E对应2经典函数数与数的对应关系！经典函数的困难“点源”、“点电荷”、“质点”，以及“脉冲”经典函数无法描述！例h0,if t h0,if t 0/h,if 0 t h1thh1/hO显然函数的积分为“1”并且与 h 无关3hh0dt 1h 1(t)dt 但当 h0,函数本身的变化h 0,if t h0,if

2、t 0h0lim,if t 0=(x)4显然，这样的极限无意义！但是，函数的积分与 h 无关，而有意义！物理上，可以认为 h0 的过程为：信号宽度变窄，但能量保持不变。因此，必须推广函数的定义，新的定义：(1)反映通常的数量关系,能包含经典函数在内,且又能反映物理上“点源”分布问题;(2)可求任意阶导数,对经典函数,新定义应与之一致;(3)推广的函数对求导、求积和求极限可任意交换运算.广义函数5 基本函数（试验函数）空间D为所有在Rn中无穷可微且在不同有界域外恒等于零的函数组成的空间0D(Rn)C (Rn)D中函数序列n收敛于零定义为(1)所有 n 在某同一有界域K外恒为零(2)n及其各阶导数

3、在K上一致收敛于零,记作 n 0(D)6D中函数例子x|x|a|x|a,expa220,b2(x,a,b)-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.810.20.150.10.0500.30.250.350.4b=1,a=17b=1.1,a=18 广义函数广义函数f 定为D上的连续线性泛函f()(f,)c(f,),D连续线性泛函(1)线性,对任意二个实或复数f()f()f(),和 D(2)连续性,即当时,有 n 0f(n)0对D中每个元素,有确定的实或复数 c(f,)与之相应.C9对应经典函数：数数的关系广义函数：函数数的关系严格地说,广函 f 不是x的函数,即对每一个x并不

4、对应一个值,而是对每一个检验函数对应一个值！正则广义函数一般的可积函数，可定义泛函为线性积分 D(f,)f(x)(x)dx,奇异广义函数不能用可积函数来表示的广义函数例：下列泛函定义一个广义函数(f,)(0)Dirac(x)泛函关系不能简单表示为线性积分关系10118.2 广义函数的运算法则加法(f g,)(f,)(g,),D乘法(f,)(f,)(f,)坐标扩展：首先考虑是可积函数1|c|f(x)1 f(x),(x/c)1c(x/c),c 0f(x)(x/c)dx,c 0f(cx)(x)dx c f(cx),(x)不是一般可积函数时,直接定义是下列泛函|c|f(cx),(x)1 f(x),(x

5、/c)11|c|(0)(x),(x)|c|c|c|12(cx)(x);(x)(x)对(x)函数(cx),(x)1(x),(x/c)函数相乘:考虑可积情形g(x)f(x),(x)f(x)g(x)(x)dx f(x),g(x)(x)当f(x)不是正则的广函时(gf,)(f,g)对(x)函数g(x)(x y),(x)(x y),g(x)(x)g(y)(y)g(y)(x y),(x)g(x)(x y)g(y)(x y)x(x)0 (x)013广义函数的相等：如果对所有的基本函数，恒有f()g(),D则我们说广义函数f和g相等，写成 f g.与经典函数相等的区别：经典函数相等强调逐点相等，而广义函数相等

6、强调的是对基本函数的整体作用。广义函数的卷积：对可积函数f g Rnf(y)g(x y)dy Rn g(y)f(x y)dy14对基本函数 D(Rn)nnRf(y)Rf(y)RnRng(x)(x y)dxdyg(x y)(x)dxdy f g,(x)Rn Rnf(y)g(x y)dy(x)dx f(x),g(y),(x y)对不是一般可积函数时,直接定义广义函数的卷积 f g,(x)f(x),g(y),(x y)15对g(x)=(x)函数 f g,(x)f(x),(y),(x y)f(x),(x)f f(x)广函的合复函数:设g(x)在x0为零,即g(x0)=000g(x)(x x)g(x)1

7、1nng(x)(x x)g(x)n1sin16()(cos cos)k (sin x)(x k)例：广义函数的导数:先考虑经典的连续可微函数,f(x)(x)dx dxdf(x)dx f(x)(x)dxdf f(x)(x)dx (f,)推广到任意广函(f,)(f,)(D f,)(1)|(f,D)例1：在广函意义下,求Heaviside函数的导数17x 01,x 0H(x)0,1800(x),(x)|(0)(x)dx H (x),(x)H(x)(x)例2：计算广函的导数(x a)(x a),(x)(x a),(x)(a)(k)(x a),(x)(1)k (k)(a)可见-函数的导数只能用泛函来表示

8、,而H(x)的导数可用-函数写成显式.形式上,-函数的导数可表示成微分算子d(x a)(x a)d dxdx例3：g(x)=(x)函数,卷积为 f g,(x)f(x),(y),(x y)f(x),(x)f(x),(x)f*f f(x)(n)*f f(n)(x)例4：对存在第一类间断点的函数f(x),证明卷积为2191f(y)(y x)dy f(x 0)f(x 0)证明：设f(x)在x0点存在第一类间断点f(x)x0 x0f(x)hfc(x)令：f(x)fc(x)hH(x x0)fc(x)是连续函数h f(x0 0)f(x0 0)20f(y)hH(y x)f(y)0c00 fc(y)(y x0)

9、dy h H(y x0)(y x0)dy(y x)dy(y x)dy 首先看第二个积分1221020200 2H(y x)dH(y x)dydy1dH(y x)H(y x)H(y x0)(y x0)dy因此22210 f(x 0)h 1 f(x 0)f(x 0)c00 f(y)(y x0)dy对连续点xx0，上式显然成立！22同样可得dxc0limdf(x)lim f(x)hH(x x)x x0 0 x x0 0 x x0 0 lim fc(x)f(x0 0)f(x0 0)(x x0)因此存在第一类间断点的函数f(x)的导数为000 f (x)f(x)0)f(x 0)dxdf(x)f(x右左(

10、x x)ln(|x|),x 0例5：求下列函数的导数ln x ln|x|,x 023因ln|x|,x 0ln(ex 0|x|),x 0ln|x|,ln x i ln|x|),x 0i由000 ff(x)(x)0)f(x 0)dxdf(x)f(x右左(x x)得到dxdxd ln x 1 i(x)dxxd ln x lim d ln(x i)lim1 0 x i 0又因此1lim 1 i(x)0 x ix例6:证明r2 1 4(x)(y)(z)4(r)挖去原点这个奇点r x2 y2 z 2证明：在广函意义下drr 2 0 222d lim,1 1r rr由于是局部函数，存在a,当 ra,=0,在

11、半径为r=a和r=的球壳内应用Green公式24dSr r r r r d rr 1 1 2 1 2在r区域：2 1 0r在r=a的球面上，=0。因此只有r=球面上的贡献r r dSr r r r d r2 1 1 在r=球面上25r r ddr r r rr r r 2dd 2 r 1 dS 1 2 dd O()1 dS 1 因此22,lim 0r 0r ddd limr1r 4(0,0,0)4(,)故得到r262 1 4(x)(y)(z)(r)8.3 广义函数的Fourier变换首先考虑经典函数因为1(2)n/2 Ff f(t)eirt d n tn27n/2 nn(2)(2)1n/2(F

12、f,)f(t)eirt d n t(r)d r1f(t)(r)eirtd r d t (f,F)于是，对一般的广函 f,可以定义其Fourier变换为广函(Ff,)(f,F)28问题：F 不一定属于D!因此 F 不一定都可作为 D 中的试验函数!寻找新的函数空间，定义广义函数！其Fourier变换仍属这个空间,这样就可以由上式定义广函的Fourier变换1、空间局域函数谱域扩散函数-1.5-1-0.50.511.500.20.40.80Frequency|h(f)|2PS D0.6Rect(t)t0t-t0000,|t|t1,|t|trect(t)002 sin t0 tF()t292、空间速

13、降函数谱域速降函数-6-4-224680-80.10.20.30.40kh(k)a=1.0a=2a=5-2-1.5-1-0.50.511.5200.30.60.91.20 xf(x)a=1.0a=2a=5e4a2a1k 2F(k)f(x)eax 2301、由速降函数组成的空间L(Rn)中的函数具有这样好的性质.显然D(Rn)是L(Rn)的一个子空间L(Rn)D(Rn)2、因为D中的元素总可视为速降函数.因此,我们定义广函 f 的Fourier变换为广函(Ff,)(f,F),L(Rn)3、因速降函数的Fourier变换仍是速降函数,故仍是试验函数.上式右边确实能定义一个广函,这个广函即是f的Fo

14、urier变换.31例1：求的Fourier变换.(x a)1()eix d (x a),1 ()eia d 1(eia,)222(F,)(x a),Fe ia21F(x a)21F(x)-函数的谱为常数.脉冲含有丰富的频率成分。3233例2：求f(x)=1的Fourier变换.根据经典的Fourier变换理论,f(x)=1的Fourier变换不存在,但在广函意义下则存在.121 edk 2 (x)ikxi0 x(x)edx(x)dx 证明:由定义F(1),(1,F)(1,)其中ikx1(k)edk12)(x)F()(k)F(即i 0k(k)edk12(0)因此2(0)2(,)F(1),(1,

15、F)(1,)于是ikx1 e dx122 (x)F(1)即34e dxikx(x)F(1)1 22对二维情况1(2)ei(kx xky y)dxdy2 (r)(x)(y)对三维情况311(2)(2)ei(kx xky ykz z)dxdydz3 (r)(x)(y)(z)eikr d 3r350,x 0例3 求Heaviside函数的Fourier变换H(x)1,x 0解：注意到符号函数1,x 01,x 0 sgn(x),x 00H(x)1 1 sgn(x)2H(x)36sgn(x)FH(x)1 F(1)Fsgn(x)2F(1)2 (x)关键：Fsgn(x)?注意到积分关系1,x 0sgn(x)

16、d 0,x 01,x 01sin x主值积分371,x 01,x 0sgn(x)d 0,x 02i21 eix因此22 1iiFsgn(x)所以38i i (x)1 21i 22(x)1 2 2 1 22 (x)FH(x)1 F(1)Fsgn(x)8.4 弱收敛和Dirac Delta 函数k 弱收敛给定D上的广函序列fk,当有lim(fk,)(f,),D说广函序列fk弱收敛到 f.如果收敛到-函数k 39 Dlim(fk,)(,)(0),称序列弱收敛到-函数.例1：函数序列显然有当故于是k|x|1/k0,|x|1/kf(x)k/2,f(x)kk(x)dx (x)(f,)k ,(x)(0)k

17、lim(f k,)(0)lim fk (x)40k 2411limlimlim 14a tt 02a tk 0 x2(x )2 exp (x )11 r 2 ()r 1 2 1 2r cos()r 2lim 1 sin kx (x)(x)x 2xifk xilim fk如果fk弱收敛到 f,则微分和极限运算能交换次序例：分析Fourier 级数20 xkksin nx nsin nx nn1f(x)f(x)n1因此fkx42k cos nxn1周期为2 的周期函数另一方面，直接求导所以nx2f 1 (x 2n)n432n1cos nx 1 (x 2n)Dirac Delta 函数(t)函数可看

18、作满足运算法则的算符(t)f(t)dt f(0)严格地，上式定义是一个极限过程0h f(t)hhh h f(0)dt lim limh0h0h0 f(h)(t)f(t)dt(t)f(t)dt lim事实上，有许多函数序列满足上列极限过程，因而可定义(t)。其中 f(t)是任意一个在 t=0 点连续的函数。44 0,t 0,(t)dt 1或者 (t),t 0且有：（1）sinc 函数序列tK (t)lim sin Kt-2-1.5-1-0.50.511.52-210-1324650t45s in Kt/(pi*t)K=16 K=8K=4（2）函数序列aa0 a2 t 2(t)lim-0.5-0.

19、3-0.10.1 0.30.5010 20 30 40 50 60 t46a/(a 2+t2)/pia=0.1a=0.04a=-0.02（3）函数序列t4a 12expa 0 2a(t)lim-1-0.6-0.20.2 0.6 10246810 t47a=0.001 a=0.0025 a=0.005 多维函数和其他形式的函 数一、多维函数定义为三、柱坐标xy(x1,x2,.,xn)(x1)(x2).(xn)二、平面极坐标r(x)(y)(r)()01002rdrd 1r(r)()(x)(y)dxdy 48(x)(y)(z)1 ()()(z)体积元d 3r dxdydz rdrddzd 3r dx

20、dydz r2 sindrddxyzo(x,y,z)r四、球坐标(x)(y)(z)49(r)()()1r 2 sin体积元例一、求 f(t)=sin0t 的 Fourier 变换解即00 1 (0 )(0 )2iiti()t ei(0 )t dte 1 2 14idtsinteF()0500)(2iF()1 (例二、求F()=sint0 的逆Fourier 变换解即000000dtd 1dt d dte e if(t)2i d (t t)(t t)de)dsint(ed i sinti(t t)i(t t)itit051d(t t)(t t)dt00sin t edf(t)it微分算符的形式！